物盡其用，變“廢”為“寶”

沈亞芳

摘 要：學生的學習是一個從不懂到懂，從不會到會的過程，在這個過程中，無論是哪個年齡段的學生，都會出現這樣或那樣的錯誤，這些都是正常現象。錯誤并不可怕，可怕的是面對錯誤時學生陷入“一錯再錯”的困境，教師困于“一講再講”的局面。這就要求教師在平時的課堂教學和作業批改中，要善于找出學生錯誤的真正原因，并且能有效篩選錯誤資源，物盡其用，達到以“錯”治“錯”，變“廢”為“寶”的效果，使學生真正領悟數學知識的真諦，促進思維的進一步發展，從而使學生的學習負擔和教師的教學負擔都得到一定的減輕。

關鍵詞：物盡其用；以“錯”治“錯”；變“廢”為“寶”；減輕負擔

從教以來，聽了很多公開課。發現在許多課堂中，我們老師往往滿足于學生的一路凱歌，陶醉于學生的盡善盡美，而視學生的差錯為洪水猛獸，因而也常常容易忽略另一種精彩：“教與學錯誤碰撞的火花。”新的課堂提出了大量新的理念，而理想的課堂應該是真實的課堂，真探究必然伴隨著大量差錯的生成，“錯誤”具有刺激、醒悟、陪襯、免疫的功能。利用課堂上和作業批改中的錯誤資源發揮錯誤的價值，將使課堂因差錯而更精彩。

一、以“錯”為起點，分析錯誤原因，提高錯誤免疫力

錯誤并不可怕，可怕的是面對錯誤時學生陷入“一錯再錯”的困境，教師困于“一講再講”的局面。如果我們關于“錯”之所以“錯”了解得越深，那么關于“對”之所以“對”也就認識得越“透”。

1.學生對基本概念理解不透徹而產生的錯誤

數學概念是數學基礎知識的重要組成部分，要求學生能夠不同程度上進行記憶、了解、理解、運用。在解題過程中，直接考查概念的很少，絕大部分是在考查概念的內涵和外延，要求學生對數學概念不只是記憶，更要理解。學生在解題過程中所出現的由于對概念、規律的內容認識不清或不能正確理解它們的確切含義而產生的一些錯誤就是概念性錯誤。例如，有三個表達式y=x，y=x2，x=y2，問其中哪個表達式的圖形是拋物線？很多學生都認為只有y=x2是拋物線，但其實不然。這反映出的就是學生對拋物線的概念掌握不清晰，因而容易在這類題中出現錯誤。

2.學生的知識建構不完善而產生的錯誤

學習不是簡單的知識傳遞，而是學生建構知識經驗的過程。學生的知識建構不完整，往往會導致學習中出現錯誤。例如，求函數y=kx2+（k+2）x+1與x軸的交點個數時，很多學生往往一看有x2就認為是二次函數，然后利用Δ=k2+4>0得出與x軸有2個交點，卻不知自己遺漏了當k=0時為一次函數與x軸只有1個交點的情況。這種情況就屬于學生對知識的建構不完善導致的錯誤。

3.學生的思維定式而產生的錯誤

數學思維的培養是非常有必要的，但是教師也要時常注意學生思維的引導，從而更好地讓學生利用舊知識，靈活地應對新知識習題；但是很多學生并沒有做好心理防備，形成了古板、機械化的解題思維，利用以往的知識詮釋新知識，必然會導致習題解釋的缺陷，從而出現錯題的情況。例如有一次我批改作業發現有這樣一個題目錯誤率有點高。“小明參加鉛球比賽，鉛球飛行的高度y與水平距離x之間的函數關系式為y=-■x2+■x+■，求小明這次擲鉛球的成績為多少？鉛球出手時的高度是多少？”因為二次函數以往的許多練習題要我們算的都是拋物線截x軸的線段長和頂點坐標居多，所以不少學生也把擲鉛球的成績算成了拋物線截x軸的線段長，把鉛球出手時的高度算成了拋物線頂點的縱坐標。這種錯誤就是由思維定式造成的。

4.學生的實際生活經驗不足而產生的錯誤

對于初中學生而言，數學知識很多并非“新知識”，在他們的生活中會有許多與數學知識相關的經驗。因為學生生活在信息豐富的社會里，無處不在的生活現象時時刻刻會進入他們的認知領域，成為他們的生活經驗，并作為學習者原有經驗的一部分構成進一步學習新知的“數學現實”。學生已有的數學知識或生活經驗不足，就會引發數學學習的錯誤。例如，用一個鐵圈在一個地球儀的赤道上圍一圈，如果將其半徑增加1米，則一共需增加m米長的鐵絲；現假設在地球的赤道上用鐵圈圍一圈，同樣將其半徑增加1米，共需增加n米長的鐵絲。那么m與n的大小關系如何？在看到這道題目時，很多學生都會想到在實際生活中地球儀比地球小很多，因而認為n肯定比m大，但其實這是錯誤的思維。如果我們設地球儀和地球的半徑分別為r和R則m=2π（r+1）-2πr=2π，n=2π（R+1）-2πR=2π，所以正確答案是m與n一樣長。

二、以“錯”為轉折點，改進教學策略，提升思維品質

1.正視錯誤，包容學生“課堂出錯”

俗話說：“失敗是成功之母。”一節真實的課堂教學，學生不可能不出現錯誤，就因為有了這種、那種錯誤，才使我們的教學環節更精彩。學生在學習過程中，正確很可能是一種模仿，可錯誤絕對是一種經歷，并且真實而自然。它是通往正確和成功的必經之路。作為教師要認可學生的錯誤，也允許學生出錯，錯誤出現后，關鍵在于要讓學生意識到錯誤，找到原因，以后避免犯同樣的錯誤。有時學生的錯誤不可能單純依靠下面的示范和反復練習得以糾正，而必須是一個自我否定的過程，因此，教師就必須幫助學生進行有意義的“自我否定”。教學中，我們這樣告訴學生：“課堂是你出錯的地方，不管是多么簡單幼稚的問題，只要你敢提出來，就是好樣的！”給學生制造一張營造寬松氣氛、構建良好師生關系的“保險單”。在課堂上我們有幾個允許：錯了允許重答；答得不完整的允許再想；不同意見的允許隨時爭論……這張“保險單”使廣大學生的自尊心得到了切實保護，人格得到了充分尊重。在這樣的課堂上，學生沒有答錯題被老師斥責的憂慮，更沒有被同學恥笑的苦惱，他們在民主的氣氛中學習，思維活躍，敢說敢做敢問、勇于大膽創新，以健康向上的情感態度投入學習，師生間有了認識上的溝通和心靈上的對話，才會出現“忽如一夜春風來，千樹萬樹梨花開”那樣一幅生機勃勃、生動活潑的教育畫卷。

【案例1】有一次學了冪的乘方后，我讓學生計算：（-1）2016-23-（-3）2，我叫了一位后進生上來板演：（-1）2016-23-（-3）2解：原式=1-6-9=-14。他回座位的時候，好多學生在說：“錯了錯了……”他回到座位上很失落，耷拉著頭。我發現他雖然錯了但板書時也反復檢查了好幾遍，說明他也很希望能做對。為了尊重他的人格，不打擊他學習的積極性，我先叫了一位班級里成績和他不相上下的同學回答，湊巧這位學生居然也找不到他錯在哪里。這時我發現他坐直了，眼睛看著我。于是我先對他的解題格式和（-1）2016能做對加以贊賞，并指出其他學生可能也不一定能做對，他頓時感到受寵若驚，更專注了。然后我讓另一名學生對23的意義作解釋，表示3個2相乘，再邀請他自己糾錯，這之后這位學生在以后的課堂上專注多了，當然學習成績也進步了。

其實，一些學困生在課堂上出差錯是常見的現象，我們在教學過程中巧妙利用這些錯誤資源，不僅能增強他們學習數學的信心，還能給其他學生起到加深印象的作用，一舉兩得。

2.預設錯誤，提高學生思辨力

數學家波利亞說過：“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發現和創造因素，發現的方法就是試錯的方法。”所以在教學中，教師可以在易錯的環節中設置“陷區”，故意使學生“落入陷阱”，再引導學生“走出誤區”，從而有助于學生鞏固正確的解題思路和方法，培養學生思維的嚴謹性，預防錯誤的再次出現。

【案例2】在剛學完勾股定理第一課時后，一般會先出現一組簡單的練習題來鞏固公式：a2+b2=c2，而筆者在教學中則是先出示這樣一道題：已知直角三角形一邊長為3，另一邊長為4，求第三邊長。

學生一般會馬上說出答案是5。理由∵根據題意可知，a=3，b=4，三角形又是直角三角形，∴第三邊長c=■=■=5。

筆者沒有說什么，只是分成小組，在小組內進行討論：第三邊長5到底對不對？為什么？

教師通過這樣一討論，一下子引起了學生的進一步思考：難道答案5有問題嗎？為什么會有問題呢？他們只能去回顧老師在引入勾股定理這個公式時的一些場景。知道了“在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”。當3和4是直角三角形的兩直角邊時，第三邊長才是5，于是答案就有兩種情況：

（1）當兩條直角邊為3，4時，則第三邊為斜邊等于5。

（2）當一條直角邊為3，斜邊為4，則第三邊為直角邊等于■。

我們知道，這個題目在許多考試中頻頻出現，而大部分老師在上課時一般先舉一些常規題，如“在直角三角形中，兩條直角邊為3，4，求第三邊長。”這樣的題目反復強化訓練以后，在學生的思維中占據了很大的成分，時間一長，形成了思維定式。再出一道題“直角三角形一邊長為3，另一邊長為4，求第三邊長。”一般都會出錯的，任憑教師作多么艱辛的解釋，學生在下一次考試出錯的幾率依然很高。因為當時可能聽懂了，但由于“先入為主”思維的影響，一段時間過后又忘記了。而筆者的做法避開了學生產生思維定式的條件，先打“預防針”，那么“犯病”的可能性就會大大降低。

3.捕捉錯誤，培養學生思維品質

隨著課程改革和課堂的開放，學生在自主學習、探究學習、小組合作學習中，質疑、爭論、反駁的機會大大增強，隨之出現的信息量也大增，師生、生生在交流互動的過程中，出錯是不可避免的。教師要善于及時捕捉錯誤，把錯誤當作難得的生成資源加以開發利用，將錯就錯地引導和化解，那么課堂就會碰撞出智慧的火花。

【案例3】在“用字母表示數”一課的教學中，出示題目：“一輛長途客車上有乘客a人，途中下車15人，又上車18人，這時車上還有幾人？”其中我不小心把問題“這時車上還有幾名乘客？”誤寫成“這時車上還有幾人？”片刻后，許多學生報出答案為（a+3）人，我便追問：怎么做？大部分學生是通過列式計算或直接觀察上下車人數差而得。我及時肯定了學生的想法，話音剛落。生1：我有不同意見。條件中說的是乘客，而問題中說的是車上有多少人？那么就應該再加上司機和售票員，這樣車上應該有（a+5）人。此時我才發現自己寫錯了問題，剛想改正，又有學生發言了。生2：也不一定呀！現在許多車子是無人售票，這時車上應該有（a+4）人。生3：老師，這題有3種答案，我們該怎么辦？我將錯就錯，發自內心地表揚他們。師：你們真棒，想得非常完整。以后做作業或考試，只要你寫清楚了，每種都對。沒想到此次錯誤，錯的那么有價值，開拓了學生的思維。

【案例4】如教學“平行與相交”后，單元練習中出現這樣一道選擇題：“在同一平面內，兩條直線的位置關系有（ ）A.相交與垂直，B.垂直與平行，C.相交與平行。結果發現學生的答案大體分成兩大派，有選B的，也有選C的。評講時，我沒有直接評價對錯，而是讓學生針對自己的選擇開展小小的“辯論賽”，必須用有力的數學語言證明自己的選擇是正確的。同學們躍躍欲試、斗志昂揚，他們開展了激烈而深入的思考辨析活動。選擇B的論證是：“兩條直線互相平行就是不相交的，而兩條直線互相垂直時就相交了。”選擇C的馬上反駁道：“兩條直線的位置關系要么相交要么不相交，互相平行就是不相交，而相交里面不僅僅是互相垂直，還有一種一般相交的（跑上來在黑板上畫出了這種情況），垂直只是其中的一種情況，如果選B的話，就把一般相交這種情況丟掉了”……在聽了雙方的辯論之后，我讓學生再一次選擇，結果剛才選B的同學紛紛“投降”了。可見，讓學生經歷錯誤又何妨？學習是從問題開始的，甚至是從錯誤開始的。

在這一教學過程中，教師沒有輕易地否定學生出現的錯誤，而是讓學生充分地展示了思維過程，把解決問題的主動權還給學生，引導他們比較、思辨，體驗知識的內在聯系與區別，深化知識的內在本質。

4.暴露錯誤，培養學生的發現意識

俗話說：“金無足赤，人無完人。”在學習中出錯是難免的，當學生出錯時，教師不要急于指出錯誤，說明正確答案。如果直接給出正確答案，可能造成學生一聽就懂，一過就忘，一用就錯。若教師把學生的錯誤暴露出來，讓學生自我發現錯誤，并找到致錯的原因，可以充分發揮學生在學習中的主體作用。暴露錯誤自我發現是學生對自己錯誤的一種反思，同時也是教師對自己教學的一種反思。從心理學的角度來說，反思是一種主動“再認識”的過程，是思維的高級形式。課堂教學中積極培養學生的反思習慣，讓學生在自我發現的過程中，放松思維，體驗成功。

【案例5】學生在學習解一元一次方程時，我發現許多學生解方程總是解不對，我把學生在平時做錯的解方程題一一作了記錄，并總結歸納出了學生在解含有分母的方程時主要出現如下錯誤：（1）漏乘；（2）去括號時符號出錯；（3）去分母時忘記加上括號；（4）分配律使用時，分配不公。我針對以上問題，設計了下面的題目。

判斷下列解方程的過程是否正確？說出錯誤原因并訂正。

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學生對于這些錯誤表現得有點害怕、討厭、不喜歡，沒有頭緒。他們感到似對非對，很不自信。我從學生的心理因素入手，先給他們充足的時間思考，讓學生自己找錯，再分小組讓學生評析產生錯誤的原因。學生各抒己見，很快就找到了原因并進行了訂正。我沒有就此打住，教育學生應把粗心的原因去掉，體現錯題的價值所在，告訴他們學會從錯題中找到知識漏洞，避免下次再犯。使學生在自我發現錯誤的過程中總結經驗，養成良好的學習習慣。

這節課我始終圍繞錯誤展開，并時時關注學生的心理變化，讓學生在糾錯改錯、自我發現的過程中感受學習的成功和快樂。

5.反思錯誤，師生共同提高

美國心理學家波斯納曾提出成長的公式是：經驗+反思=成長。沒有反思的經驗是狹隘的經驗，只能形成膚淺的知識，學習需要反思，沒有反思的學習是不可能深刻的。在平時的教學中，大部分老師都有一種感受，同一類型題，甚至同樣一道題，做了好幾遍，但過段時間再拿來做，還是有很多學生會做錯。究其原因，就在于學生對已出現的錯誤，只會訂正，不會反思，也沒有反思的習慣，從而不清楚自己的錯因，以至于在往后的做題中一錯再錯。針對這種情況，“糾錯本”是不錯的選擇。

“糾錯本”是實實在在的錯誤的整理、解題的反思、方法的積累。教師要引導學生將錯題摘抄到“糾錯本”上，在出錯的地方進行標注，并將正解用紅筆寫在一旁，詳細分析錯誤的原因，還要求學生定期翻看自己的錯誤反思，不斷地總結反思，感悟新方法，達到自主建構數學知識和思維方法的目的。不僅學生要準備糾錯本，教師也要準備一本糾錯本：教師每批改一次作業或試卷，都要對學生中的典型錯題做摘錄，整理在教師自己的糾錯本上。

例如下面是教師糾錯本的某一頁：

解方程2x-■=0.4-■

錯解1：2x-■=0.4-■

錯解2：20x-■=4-■

錯解3：2x-■=4-■…

分析：在解分母中含有小數的一元一次方程時，應先利用分數的基本性質將小數分母轉化為整數分母，而此時要與利用等式的基本性質去分母加以區分，不能混淆。

試行此教學研究后，對學生的錯誤有了系統的記錄，整理有了第一本資料，在教學方式上可以及時調整，對癥下藥，有的放矢，教師從題海戰術中解脫出來，同時也減輕了學生的負擔，減少了自己的壓力，使自己有更多的時間與機會真正準備好每堂課。

當前，不少人都認為，現在的課難上，在沒有教學前，有些學生的錯誤是你根本預料不到的。因此，當課堂上出現來不及處理的錯誤時，教師需要在課后認真反思，尤其是帶有普遍性的錯誤。大面積學生的錯誤在一定程度上折射出教師教學方法的偏差。反思是為了更好地解決教學中的失誤，尋找存在的問題，發現留下的遺憾，這是教師自我教育、不斷成長的最佳途徑，從而追求教學水平的提升、完善，最終形成自己獨特的教學風格。

總之，在新課程的數學課堂教學中，我們時時都會遭遇“錯誤”的伏擊。教師應用資源的眼光看待學生的錯誤，精心預設錯誤，篩選錯誤，充分利用學生在學習中出現的錯誤，因勢利導，變“錯誤”為重要的學習資源，物盡其用，以“錯”治“錯”，變“廢”為“寶”，使課堂因錯誤而更加精彩、更加有效。使學生和教師一起在“糾錯”“思錯”“改錯”的過程中不斷進步，并在一定程度上減輕學生的學習負擔和教師的教學負擔。

參考文獻：

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