基于能量泛函的開口矩形板自由振動特性分析

李 凱， 何書韜， 吳國民， 毛藝達， 李天勻

(1. 中國艦船研究設計中心， 武漢 430064; 2. 華中科技大學 船舶與海洋工程學院， 武漢 430074)

基于能量泛函的開口矩形板自由振動特性分析

李 凱1， 何書韜1， 吳國民1， 毛藝達2， 李天勻2

(1. 中國艦船研究設計中心， 武漢 430064; 2. 華中科技大學 船舶與海洋工程學院， 武漢 430074)

基于能量泛函方法，建立了開口矩形板自由振動分析模型。計算了開口矩形板的固有頻率和振型函數。在處理開口問題時，利用對稱性和反對稱性只研究四分之一塊板，并將其分割成三個區域，通過位移連續條件建立區域之間的聯系，并用梁函數模擬位移場，最終得到整體能量泛函。對其變分后得到廣義特征值矩陣方程，求解方程可以求出各階固有頻率。結果對比表明本文方法的準確性，為在方案設計階段快速分析開口矩形板振動及其相關問題提供了理論基礎。

開口矩形板； 梁函數； 能量變分； 固有頻率

含開口矩形板在工程領域中有廣泛地應用，大量的被應用在航空、船舶、機械制造等領域。尤其在船舶結構上。在保證船體強度和剛度的前提下，保證船舶結構的穩定性，盡量減輕船體重量，提高經濟效益，往往在船舶板材上設置眾多的開口結構。而這些開口改變了船舶原有的振動特性，對板架固有頻率的影響是不容忽視的。有關板的自由振動問題，國內外學者作了很多基礎研究。Leissa[1]對不同邊界條件下經典Voigt解進行了討論，給出了自由振動的固有頻率解。曾子平等[2]利用拉格朗日乘子法給出了加筋矩形板的自由振動分析。Shastry[3]對任意方向的加筋矩形板的自由振動進行了研究。彭林欣[4]將加筋板視為平板和筋條的集合，用最小二乘無單元分析對加筋板進行了自由振動分析。戈海玉[5]利用有限元法和邊界元法混合分析，計及剪切的影響，對板的自由振動進行了計算。葉開浣等[6]給出了四邊固支的復合材料層合板的自由振動的解法。滕兆春等[7]基于二維彈性理論和Hamilton原理做了FGM圓環板的面內自由振動分析的相關研究。但對于開口板，國內學者的理論解法研究相對較少。Sivasubramonian等[8]用有限元方法研究了縱向加筋方板對稱開口的自由振動特性。Boay[9]用有限元方法研究了不同的參數(孔的尺寸、邊界條件等)對板的自由振動的影響。Laura等[10]處理了旋轉彈性邊界的矩形板上存在自由邊界的矩形、圓孔的問題。Huang等[11]對帶多種不同形狀的孔的矩形板的自由振動特性進行了研究。Paramasivam[12]對矩形板進行分割，來處理板開口的問題。Mundkur等[13]使用正交多項式函數利用瑞利-里茲法分析了開口板的振動。

本文采用能量變分法，計算了對稱邊界中心開口矩形板的固有頻率。利用結構及邊界的對稱性，僅研究中心開口矩形板的1/4區域，從而對問題進行簡化。本文考慮了正對稱和反對稱兩種對稱邊界的情況，使得到的模態振型更加全面。對開口矩形板的1/4區域進行研究。在開口處沿開口的延長線將把開口矩形板分割成3個區域，每個區域都為規則的矩形板，利用分割后的相鄰板位移的連續性條件，表示出各塊板之間位移函數中系數之間的關系。把位移函數代入板的應變能和動能和方程中，運用變分法，應用應變能和動能的變分之差為零的條件，建立中心開口矩形板的自由振動方程。令系數矩陣的行列式為0，對結構的固有頻率進行求解，并通過提取出系數矩陣的特征向量，繪制出開口板自由振動的固有振型。并與經典的FEM方法的結果進行對比，結果表明本文方法是準確有效的。

1 理論分析

如圖1所示，開口矩形板的長度為a，寬度為b，矩形開口位于板的中心，開口的長度為a1，寬度為b1，板厚為h，利用對稱性，將四分之一的薄板分為3個區域。

由于板振動時兩個正交方向的振型和梁函數的形狀相對比較相近，因此每個區域的位移(撓度)函數用如下的一系列的梁函數來表達：

(1)

(2)

不妨設：

(3)

(4)

可以構造轉換矩陣[A]，使得{C′[i]}=[A]{C[i]}

(5)

(6)

圖1 開口矩形板示意圖

(7)

(8)

(9)

(10)

在1,2板的交線上選取等距且均分交線長度的P1個點(P1=N)，即把交線分為N+1等份，并利用1,2板的交線處的位移相等條件：

(12)

把上述方程寫成矩陣的形式：

(13)

(14)

在2,3板的交線上選取等距且均分交線長度的P2個點(P2=M)，即把交線分為M+1等份，并利用2,3板的交線處的位移相等條件：

(16)

把上述方程寫成矩陣的形式：

(17)

(19)

fm(x*)=Asinkx*+Bcoskx*+Csinhkx*+Dcoshkx*

(20)

gm(y*)=Asinky*+Bcosky*+Csinhky*+Dcoshky*

(21)

式中，x*,y*是無因次化坐標。

各個不同邊界需滿足的條件，如表1所示。

表1 不同邊界下的條件

表1中，C、F、SS、Sym、Asym分別代表固支邊界條件、自由邊界條件、簡支邊界條件、對稱邊界條件和反對稱邊界條件。

對于各向同性的簡諧振動板來說，僅考慮彎曲變形，其應變能為

(22)

其動能為

(23)

(24)

其中，

(25)

(26)

(27)

2 數值計算

本文通過兩個算例，分別說明了本文方法在計算開口大小不同的矩形板時的適用性和計算不同邊界長條形板各階固有頻率時的準確性。其中，C-F邊界表示板的外邊界的邊界條件為固支，內孔的邊界是自由；SS-SS邊界表示板的外邊界的邊界條件為簡支，內孔的邊界也是簡支。

在以下兩個算例中，中心開口方板的材料參數的取值如下：材料密度ρ=7 850 kg/m3，泊松比μ=0.3，彈性模量E=2.1×1011Pa。中心開口方板的幾何參數的取值如下：算例1中板長a=5 m，板寬b=5 m，板厚h=0.02 m；算例2中板長a=10 m，板寬b=5 m，板厚h=0.02 m，孔長a1=2.5 m，孔寬b1=2.5 m。

表2 C-F邊界下不同開口大小方板的首階固有頻率

算例1 C-F邊界下不同開口大小方板的振動分析:

本算例用本文方法和有限元方法分別計算了C-F邊界不同開口的方板的首階固有頻率，以FEM方法為基準，計算了相對誤差，并進行了對比。在使用能量法時，由于板的應變能僅計入了彎曲的影響，忽略了剪切和轉動慣量的影響，故計算得到的剛度偏小，故比FEM方法偏小。從另一個方面來講，FEM方法使用了特定的形狀函數，使得單元邊界處的變形及其導數的連續性也受到限制，從而使單元之間連接剛度增加，計算得到的固有頻率偏大。因此，本文方法計算的固有頻率從整體上比有限元方法略小。

計算結果表明：該方法的計算誤差比較小。從計算表格可以進一步看出，隨著開口大小的增加，結構的首屆固有頻率整體上也是不斷增加的。本文方法可以計算的開口范圍比較大，具有較強的適用性。

算例2 C-F和SS-SS邊界下開口矩形板的振動分析:

在計算開口矩形板時，充分利用其對稱性條件，將其對稱條件分成四種情況進行討論。不妨設平行于y軸和x軸的四種對稱邊界分別是：正對稱-正對稱(類別1)、正對稱-反對稱(類別2)、反對稱-正對稱(類別3)、反對稱-反對稱(類別4)，并分別計算其固有頻率，得到表3、表4。

表3 C-F邊界下開口矩形板的各階固有頻率

由此可見，對于C-F和SS-SS邊界長條形板前10階固有頻率和經典的FEM方法差別不大，計算準確度較高。

由以上對比圖可以得到，本文方法經典的FEM方法的振型的吻合度也非常好，進一步證明了本文方法的正確性。

表4 SS-SS開口矩形板的各階固有頻率

仿真分析振型(FEM)本文方法振型

圖2 C-F開口矩形板首階振型對比圖(類別1)

圖3 C-F開口矩形板首階振型對比圖(類別2)

Fig.3 The first set mode with the 2nd category of rectangular plate at C-F boundary with an opening

從以上數據可以看出，本方法所設的梁函數和真實的位移函數十分接近，故即使在取得的梁函數的數目比較少時，也可以得出比較精確地固有頻率，并得到比較準確、比較全面的模態振型。

3 總 結

仿真分析振型(FEM)本文方法振型

圖4 C-F開口矩形板首階振型對比圖(類別3)

圖5 C-F開口矩形板首階振型對比圖(類別4)

Fig.5 The first set mode with the 4th category of rectangular plate at C-F boundary with an opening

本文基于能量變分法，使用梁函數，對中心開口矩形板進行了自由振動特性分析。利用對稱性，在對稱邊界處考慮正對稱和反對稱兩種情況，對四分之一塊板進行研究，對問題進行簡化。并把這四分之一塊板分割成三個區域，利用位移連續條件建立三個區域之間的位移函數轉換關系。將位移函數代入能量方程中，得到整體的能量泛函，再對其求變分，求解頻散特性方程，得到結構各階的固有頻率。

本文以C-F邊界下不同大小開口方板和C-F 、SS-SS開口矩形板為例，給出了算例驗證，和經典的FEM方法的仿真模型進行對比，該方法的準確性良好，計算出的固有頻率和固有振型均比較吻合，在國內對研究開口板振動問題的較少的前提下，為解決板開口問題提供了新的思路。

[1] LEISSA A W. The free vibration of rectangular plates[J]. Journal of Sound and Vibration, 1973, 31(3): 257-293.

[2] 曾子平, 黃田. 任意加筋矩形板的振動分析[J]. 振動與沖擊, 1988, 7(4): 50-56.

ZENG Ziping, HUANG Tian. The vibration analysis of random stiffened rectangular plates[J]. Journal of Vibration

and Shock, 1988, 7(4): 50-56.

[3] SHASTRY B P, RAO G V. Vibrations of thin rectangular plates with arbitrarily oriented stiffeners[J]. Computers & Structures, 1977, 7(5): 627-629.

[4] 彭林欣. 加肋板自由振動的移動最小二乘無單元分析[J]. 振動與沖擊, 2011, 30(6): 67-73.

PENG Linxin, Moving-least-square meshless analysis on free vibration behavior of ribbed plates[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(6): 67-73.

[5] 戈海玉. 計入剪切變形板的自由振動求解方法[J]. 合肥工業大學學報(自然科學版), 2004, 27(4): 438-441.

GE Haiyu. Solution of the free vibration of plates allowing for shear deformation[J]. Journal of Hefei University of Technology (Naturral Science), 2004, 27(4): 438-441.

[6] 葉開沅, 鄧梁波. 四邊固支的復合材料層合板的自由振動[J]. 科學通報, 1988, 33(4): 254.

YE Kaiyuan, DENG Liangbo. The free vibration of composite laminated Plates with clamped supported boundary[J]. Chinese Science Bulletin, 1988, 33(4): 254.

[7] 滕兆春, 蒲育. 溫度影響下FGM圓環板的面內自由振動分析[J]. 振動與沖擊, 2015,34(9):210-217.

TENG Zhaochun, PU Yu. In-plane free vibration of FGM annular plates considering temperature effect[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015,34(9):210-217.

[8] SIVASUBRAMONIAN B, RAO G V, KRISHNAN A. Free vibration of longitudinally stiffened curved panels with cutout[J]. Journal of Sound and Vibration, 1999, 226(1): 41-55.

[9] BOAY C G. Free vibration of laminated composite plates with a central circular hole[J]. Composite Structures, 1996, 35(4): 357-368.

[10] LAURA P A A, GROSSI R. Transverse vibration of a rectangular plate elastically restrained against rotation along three edges and free on the fourth edge[J]. Journal of Sound and Vibration, 1978, 59(3): 355-368.

[11] HUANG M, SAKIYAMA T. Free vibration analysis of rectangular plates with variously-shaped holes[J]. Journal of Sound and Vibration, 1999, 226(4): 769-786.

[12] PARAMASIVAM P. Free vibration of square plates with square openings[J]. Journal of Sound and Vibration, 1973, 30(2): 173-178.

[13] MUNDKUR G, BHAT R B, NERIYA S. Vibration of plates with cut-outs using boundary characteristic orthogonal polynomial functions in the Rayleigh-Ritz method[J]. Journal of Sound and Vibration, 1994, 176(1): 136-144.

The free vibration characteristics analysis of rectangular plate with central opening using energy functional method

LI Kai1, HE Shutao1, WU Guomin1, MAO Yida2, LI Tianyun2

(1. China Ship Development and Design Center， Wuhan 430064， China;2. School of Naval Architecture and Ocean Engineering， Huazhong University of Science and Technology， Wuhan 430074， China)

This article based on the energy functional method to establish a free vibration analysis model and calculate the natural frequency of rectangular plate with an opening. When considering the opening, only a quarter of the plate is available by using symmetry and antisymmetry conditions，which is divided into three regions. Then find connections between regions through continuity conditions of displacement. Displacement field is simulated by beam functions and get the overall energy function. After that，natural frequencies are obtained by solving dispersion characteristic equations yielding by variational method. The results show that the accuracy of the method by comparison. The method provides theoretical foundation on the issue of vibration of rectangular plate with opening and problem related.

rectangular plate with opening; beam functions; energy variational method; natural frequency

2015-03-24 修改稿收到日期：2016-04-28

李凱 男，博士，1983年生

U663.4

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.11.025