含三次非線性阻尼特性的分子彈簧隔振系統

余慕春， 陳 前

(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室 振動工程研究所，南京 210016)

含三次非線性阻尼特性的分子彈簧隔振系統

余慕春， 陳 前

(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室 振動工程研究所，南京 210016)

對含有三次非線性阻尼特性的分子彈簧隔振系統的隔振性能進行了仿真研究和理論分析。分子彈簧隔振器是一種具有高靜低動剛度特性的新型隔振器，將MR阻尼器和分子彈簧隔振器并聯，并對MR阻尼器實施PI反饋控制來模擬指定的三次非線性阻尼特性，得到兼具高靜低動剛度特性和非線性阻尼特性的隔振系統。通過動力學仿真和理論分析研究了三次非線性阻尼特性對分子彈簧隔振系統的隔振性能的影響，通過諧波平衡法深入分析三次阻尼特性的隔振機理。結果表明：三次非線性阻尼特性適用于隔力，可有效抑制共振峰值同時不改變隔振頻率區的隔振性能，而三次阻尼特性不適合于隔幅。

隔振；三次阻尼；分子彈簧隔振器；MR阻尼器

分子彈簧隔振器是本文作者發明的一類具有高靜低動剛度特性的新型隔振器[1-2]，分子彈簧隔振器采用水和含納米級孔道的疏水沸石混合而成的分子彈簧功能材料作為工作介質，利用水分子在高壓下進出疏水納米微孔并儲存、釋放能量的原理實現隔振[3-4]。由于毛細管作用，水在常壓下無法進入疏水微孔，此時分子彈簧隔振器具有極高靜剛度，直到壓強增加到某一臨界值時，水分子克服毛細管力大量進入疏水微孔，分子彈簧隔振器剛度迅速降低，因此分子彈簧隔振器具有高靜低動的分段非線性剛度特性[5-6],可克服線性隔振器高承載能力和低固有頻率無法兼顧的固有矛盾[7-8]。

阻尼器是隔振系統中的耗能元件，傳統線性阻尼增加可有效降低共振頻率區傳遞率幅值，然而阻尼增大會導致隔振頻率區的傳遞率增加，為解決這一問題，非線性阻尼特性受到了越來越多的關注。Lang等[9]發現三次非線性阻尼可有效改善共振頻率區力傳遞率，而對隔振頻率區力傳遞率不產生影響；Ho[10]發現通過對MR阻尼器實施PI反饋控制可實現目標非線性阻尼特性，并通過試驗研究了反對稱1/2次阻尼對隔振的影響；彭志科等[11]證明了一類反對稱非線性阻尼特性對隔振均有改善作用。

余慕春等驗證了具有高靜低動剛度特性的分子彈簧隔振器具有優于線性隔振系統的隔振性能，因此，若能將非線性阻尼特性引入的分子彈簧隔振系統，將有望提供更優的隔振性能。本文將MR阻尼器引入分子彈簧隔振系統，通過對MR阻尼器實施PI反饋控制來模擬指定的三次阻尼特性，實現了兼具高靜低動剛度特性和非線性阻尼特性的隔振方案。目前三次阻尼特性對于力傳遞率的改善效果已被證實，然而三次阻尼對于基礎激勵下的位移傳遞率的影響、三次阻尼影響力傳遞率和位移傳遞率的作用機理等問題尚不清楚。本文首先研究了通過MR阻尼器實現三次阻尼特性的PI反饋控制方法；隨后通過Matlab/Simulink仿真研究了分子彈簧隔振系統中的三次阻尼特性對隔力和隔幅的影響；最后通過諧波平衡法深入研究了三次阻尼隔振機理，發現了三次阻尼特性對隔力和隔幅效果不同的原因。值得一提的是，由于MR阻尼器通過速度反饋模擬指定的阻尼特性，而不是像傳統半主動控制系統提供作動力以直接抑制振動，因此該基于MR阻尼器的分子彈簧隔振系統本質還是被動隔振系統。

1 MR阻尼器反饋控制

本節通過對MR阻尼器實施PI控制模擬三次非線性阻尼特性，具體過程如圖1所示。將分子彈簧隔振器和MR阻尼器并聯形成隔振系統，實測MR阻尼器的阻尼力和負載速度響應，通過計算目標阻尼力和實測的MR阻尼力的偏差，對MR阻尼器實施反饋控制，從而模擬目標阻尼特性。

圖1 含MR阻尼器的分子彈簧隔振系統

對MR阻尼器的研究常用模型有Bingham模型、Bouc-Wen模型、修正Dahl模型、Sigmoid模型等力學模型，本節采用文獻[12]中的MR阻尼器的Nonparametric模型進行仿真研究，該Nonparametric模型由多項式方程、構型方程、延遲方程和補償方程等四個方程組成，其中多項式方程將MR阻尼器的最大阻尼力表述為輸入電流的函數，構型方程構建阻尼力和速度的波形關系，延遲方程構建遲滯環，補償方程修正阻尼力偏差，該模型具有易于仿真和方便實施控制的特點，在MR阻尼器的控制研究中有廣泛應用。

MR阻尼器的反饋控制方法如圖2所示，仿真模型的輸入信號為速度信號；方框A為目標三次阻尼特性參數，方框B為PI控制器。方框C為MR阻尼器子系統，該MR阻尼器子系統中采用了上述Nonparametric模型，該模型利用輸入的速度信號和來自PI控制器的電流信號計算阻尼力并輸出。通過Matlab/Simulink對MR阻尼器的PI控制進行仿真結果如圖3所示，圖3分別對比了在不同類型輸入信號下MR阻尼器輸出力和目標三次阻尼特性的阻尼力，可見通過PI控制，在各種信號下MR阻尼器均可以較好的模擬三次非線性阻尼特性。

圖2 MR阻尼器PI控制Simulink仿真

(a) 正弦信號

(b) 方波信號

(c) 三角波信號

(d) 隨機信號

2 含三次阻尼分子彈簧隔振器隔振性能

2.1 力傳遞率

分子彈簧隔振器是具有“高-低-高”分段非線性剛度和等效線性阻尼的新型隔振器(圖4)，加載負載后形成分子彈簧隔振系統，合適的負載將使系統的靜平衡狀態處于分子彈簧隔振器的低剛度段，因此分子彈簧表現出高靜低動的剛度特性，即同時具有高承載能力和低固有頻率。

圖4 分子彈簧隔振器剛度曲線

在工程實際中，分子彈簧隔振器工作段范圍足夠大，可保證振幅可始終保持在低剛度段內。分子彈簧隔振器的低剛度段具有非線性剛度，且分子彈簧隔振器本身具有弱線性阻尼特性，通過MR阻尼器引入三次非線性阻尼特性后(見圖1)，在外力激勵下分子彈簧隔振系統的動力學方程為

(1)

式中:M是負載質量;c01是一次阻尼系數;c03是三次阻尼系數;k1、k2、k3是剛度系數;F是激勵力幅值;ω是激勵角頻率;φ是未知相位;化簡式(1)后得

(2)

采用圖2所示控制方法對MR阻尼器實施反饋控制并模擬式(2)中的三次阻尼特性，建立基于MR阻尼器的分子彈簧隔振系統的Matlab/Simulink動力學仿真模型。圖5對比基于MR阻尼器的分子彈簧隔振系統的仿真模型的位移時域響應和對式(2)進行數值計算得到的位移時域響應，得到完全吻合的結果，證明通過PI反饋控制，MR阻尼器可在隔振系統中實現三次阻尼特性。

圖5 位移時域響應

改變Matlab/Simulink動力學仿真模型中的三次阻尼系數，可以得到系統隔振性能隨三次阻尼特性的變化關系,如圖6所示。共振頻率區力傳遞率幅值隨著三次非線性阻尼系數的增大而降低，然而隔振頻率區力傳遞率不受三次阻尼系數的影響；而在力傳遞率峰值相同的情況下，含三次非線性阻尼的分子彈簧隔振系統隔振性能明顯優于只含有線性阻尼的分子彈簧隔振系統。

圖6 不同阻尼系數下分子彈簧隔振系統力傳遞率

Fig.6 Force transmissibility of molecular spring isolation system with different damping coefficient

為研究三次阻尼特性的隔振機理，對式(2)運用諧波平衡法[13-15]。考慮到激勵力已包含未知相位，可假設響應形式為x=acos(t)，代入式(8)并忽略直流項和含cos(2ωt)、cos(3ωt)的項得

(3)

式中,λ=ω/ω0。

力傳遞率可表示為

(4)

即

(5)

力傳遞率對三次阻尼系數求導可得

(6)

由式(3)可以得到系統的響應幅值a的表達式，把a的表達式代入式(6)，分別在共振頻率區和隔振頻率區分析dTf/dc3，結果如圖7所示。在共振頻率區(λ=1)時dTf/dc3值為負，因此力傳遞率Tf隨著三次阻尼系數c3的增加而降低；而在隔振頻率區(λ=4和λ=100)時dTf/dc3值為0，因此力傳遞率Tf不隨著三次阻尼系數c3的改變而改變。

圖7 不同激勵頻率下dTf/dc3

2.2 位移傳遞率

基礎簡諧激勵下的含三次阻尼特性的分子彈簧隔振系統運動方程為

(7)

式中:z是基礎與被保護設備之間的相對位移;xb是基礎位移激勵幅值。化簡后得

(8)

采用MR阻尼器模擬式(8)中的三次阻尼特性并通過Matlab/Simulink對該基于MR阻尼器的分子彈簧隔振系統進行仿真計算，得到不同阻尼特性下系統的位移傳遞率,如圖8所示。由圖8可見三次非線性阻尼可以抑制共振頻率區傳遞率幅值，而同時三次阻尼增加了隔振頻率區傳遞率；對比具有相同共振峰的三次阻尼分子彈簧隔振系統和線性阻尼分子彈簧隔振系統的位移傳遞率，發現三次阻尼對高頻區隔幅有不利影響，而且這一不利影響隨著激勵頻率增加而加劇。因此，三次阻尼特性不適合隔幅。

圖8 不同阻尼系數下分子彈簧隔振系統位移傳遞率

Fig.8 Displacement transmissibility of molecular spring isolation system with different damping coefficient

為研究三次阻尼特性對位移傳遞率產生不利影響的機理，假設解位移激勵下解的形式為z=acos(ωt)，對式(8)運用諧波平衡法可得幅頻關系為

(9)

激勵力相頻關系為

(10)

位移傳遞率可表示為

(11)

由式(9)可求出響應幅值a的表達式，并將其和式(10)代入式(11)，得到Td表達式，隨后對三次阻尼系數求導得dTd/dc3。分別在共振頻率區和隔振頻率區分析dTd/dc3,如圖9所示，在共振頻率區(λ=1)時dTd/dc3值為負，因此傳遞率Td隨著三次阻尼系數的增加而降低，而在隔振頻率區(λ=4和λ=100)時dTd/dc3值為大于0，因此傳遞率Td隨著三次阻尼系數的增大而增加。與隔力不同，三次阻尼特性對基礎激勵下隔幅有不利影響。

圖9 不同激勵頻率下dTd/dc3

3 結 論

本文對三次非線性阻尼特性的實現及其對系統隔振性能的影響進行了研究。結果表明，基于PI控制的MR阻尼器可以較好的模擬三次阻尼特性，而三次非線性阻尼特性比傳統線性阻尼更適合于隔力，三次阻尼可在共振頻率區可有效降低力傳遞率的幅值，同時不影響隔振頻率區力傳遞率的幅值，這一特性將提高系統隔振性能，拓寬隔振頻帶，抑制非線性系統的跳躍現象。然而三次阻尼特性并不適合于基礎激勵情況下的隔幅。

將分子彈簧隔振系統與MR隔振器配合使用，實現含三次非線性阻尼特性的高靜低動隔振系統，該系統將在重載低頻隔振領域具有廣闊應用前景。本文研究可為工程人員進行隔振系統設計提供參考。

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Molecular spring isolation system with cubic nonlinear damping

YU Muchun, CHEN Qian

(State Key Lab of Mechanics & Control of Mechanical Structures, Institute of Vibration Engineering, Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, Nanjing 210016, China)

Here, theoretical analysis and simulation for vibration isolation performances of molecular spring isolation systems with cubic nonlinear viscous damping were conducted. Molecular spring isolator is a novel vibration isolator with high-static-low-dynamic stiffness property. To build a vibration isolation system with both high-static-low-dynamic stiffness property and a nonlinear damping one, a MR damper and a molecular spring isolator were connected in parallel, the MR damper implemented the PI feed-back control method to simulate the desired cubic nonlinear damping property. The effects of cubic nonlinear damping on vibration isolation performances of the system were studied using dynamic simulation and theoretical analysis. The vibration isolation mechanism of the cubic nonlinear damping was analyzed with the harmonic balance method. The results showed that the cubic nonlinear damping property can isolate the transmission of forces, effectively reduce resonant force peaks and not change the vibration isolation performances of vibration isolation frequency areas, but it can’t isolate the transmission of vibration displacement amplitudes.

vibration isolation; cubic damping; molecular spring isolator; MR damper

國家自然科學基金(11272145；11472127)

2015-11-06 修改稿收到日期：2016-04-05

余慕春 男，博士，1989年生

陳前 男，博士，教授，博士生導師，1951年生

文獻標志碼： A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2017.11.027