周期復合板的帶隙特性和輻射噪聲衰減特性分析

徐 青， 張俊杰

(1.中國艦船研究設計中心，武漢 430064； 2.船舶振動噪聲重點實驗室，武漢 430064)

周期復合板的帶隙特性和輻射噪聲衰減特性分析

徐 青1， 張俊杰2

(1.中國艦船研究設計中心，武漢 430064； 2.船舶振動噪聲重點實驗室，武漢 430064)

對周期復合板的帶隙特性和輻射噪聲衰減特性進行了研究。運用傳遞矩陣法建立了周期復合板的運動方程，對于有限周期復合板，將復合板細化為小單元，利用各個單元之間的輻射阻抗，建立了周期復合板的輻射聲功率預報模型。數值計算表明，周期復合板輻射噪聲存在衰減阻帶，在阻帶頻率范圍內的輻射噪聲被極大的抑制。研究了復合結構寬度和材料對阻帶衰減特性的影響。

周期復合板；輻射噪聲；帶隙；傳遞矩陣

彈性波受到周期性復合材料或結構的調制，會產生彈性波帶隙，并且在阻帶頻率范圍內，振動會得到極大的衰減[1]。據此特性，可以運用周期復合材料衰減特定頻率范圍的振動。國內外專家學者[2-7]對于周期復合結構的振動衰減特性進行了大量研究，取得了豐富的研究成果。

上述研究成果中，一般是通過頻響函數或速度傳遞率來評價周期復合結構的帶隙衰減特性。當周期復合結構處于聲場介質中時，會向介質中輻射噪聲，從人主觀感受和聲信號探測角度來說，用輻射噪聲來評價周期結構對振動噪聲的控制效果更有意義。Shen給出了周期結構內外場聲壓的分布圖，但沒有對其機理進行深入分析。從表征整個聲場特性來說，運用輻射聲功率表征更有意義。為此，本文對周期復合板的帶隙特性和輻射噪聲的衰減特性進行研究，分析周期復合板的參數對輻射噪聲衰減特性的影響。

1 理論建模

1.1 周期復合板耦合方程建模

(1) 對邊簡支的無限周期復合板[8]

材料A和B沿著x方向交叉排列組成的無限周期復合板如圖1所示，其中周期復合板在y=0和y=Ly為簡支邊界條件。設材料A和B在一個周期中的長度分別為a和b，y方向的長度為Ly。

圖1 無限周期復合板

采用薄板理論分別建立A材料和B材料板的運動控制方程，

(1)

(2)

式中，νi為材料的泊松比。

簡諧振動下，頻率為ω時方程(1)的解可以表示為

(3)

當ω<(nπ/Ly)2(Di/ρihi)1/2時，k1i和k2i均為實數，板中的波均為近場衰減波；ω>(nπ/Ly)2(Di/ρihi)1/2時，k1i為實數，k2i為純虛數，板中才有傳播波。由式(2)和式(3)，可以得到

(4)

在第m-1個單元內A材料和B材料，以及第m-1個單元B材料和第m個單元A材料的交界面處，根據位移相等、轉角連續、有效剪力和彎矩相等得到如下方程

(5)

由此得到遞推關系式和傳遞矩陣T的表達式為

(6)

根據Bloch定理，建立周期結構在x方向一個周期內待定系數的關系表達式如下：

(7)

(2) 對邊簡支的有限周期復合板

對于一對邊簡支、一對邊自由的有限周期復合板如圖2所示，設周期數為N，設激勵力作用于第m個周期的材料A,B交界處，以激勵點所在的x坐標為分界線，把周期復合板分為左、右兩部分，利用式(6)可建立待定系數之間的關系

(8)

式中，Ti是第i個周期單元的傳遞函數。

圖2 有限周期復合板

根據激勵點處的位移連續和力平衡邊界條件w0、左右兩端的邊界條件w1、wN建立如下關系：

(9)

式中，L是元素為0或1的系數矩陣。組合得到

(10)

式中：Φ=[ΨA,1,ΨB,N]；L8×8是矩陣；R8×1外力構成的向量。求解式(10)得到

(11)

1.2 外部激勵力

對于有限周期復合板，設外力為點激勵力，沿著板寬度方向展開，根據三角函數正交性得到：

(12)

式中，F0和y0分別是激勵力的幅值和位置。

對于每一簡諧波n，把式(12)代入式(11)求出Φ，根據式(8)求得任意周期的待定系數ΨA,m和ΨB,m，進一步根據式(3)求出周期復合板任意點的位移。對所有的簡諧波n進行疊加可獲得有限周期復合板任意點的位移。

1.3 輻射聲功率

采用輻射聲功率評價有限周期復合板的輻射噪聲控制效果。分析周期復合板在空氣中的聲輻射，不考慮空氣介質和板的聲固耦合。通過把板分成小單元，運用各個單元之間的輻射阻抗，得到整個板的輻射聲功率：

(13)

式中，V是求得的有限周期復合板的速度響應；

聲功率級為

(14)

式中，W0=10-12(W)。

2 數值分析

研究周期復合板的材料和幾何參數對輻射噪聲帶隙衰減頻率的影響。其中材料A(鋼材)楊氏模量EA=2.1×1011N/m2，νA=0.3，密度ρA=7 850 kg/m3；材料B(橡膠)楊氏模量EB=2.1×109N/m2，νB=0.48，密度ρB=1 200 kg/m3；板的厚度為h=0.01 m；外部激勵力F0=1 N，激勵位置y0=Ly/6。周期復合板的幾何參數不特殊說明為a=0.5 m，b=0.2 m，Ly=0.6 m。

2.1 周期復合板的輻射噪聲

運用文獻[9]的方法確保輻射聲功率收斂的情況下，計算了由材料A和材料B組成的無限周期復合板的帶隙特征，以及有限周期復合板在單位點激勵(此時參與模態包括n=1，n=2和n=3)時的輻射聲功率，如圖3所示，由圖可知：

(1) 對于無限周期復合板，由式(7)可知，特征值為4個，分別為2種向左、向右傳播彎曲波。這2種彎曲波中，一種對應彎曲波的傳播波，另一種對應彎曲波的近場衰減波。其中，傳播波會表現出通帶和阻帶的特性；近場衰減波表現為整個頻率范圍內的很高的衰減因子，即整個頻率范圍內都是阻帶。而彎曲波在復合材料板結構中能否傳播取決于這兩種彎曲波阻帶的交集。由于近場衰減波在整個頻段內均為阻帶，傳播波的阻帶范圍即兩種波的阻帶范圍的交集，為此圖中僅給出傳播波。

(2) 由式(3)可知，每階模態低頻段有一截止頻率，這段頻率內，波傳播被衰減，這是由于頻率滿足ω>(nπ/Ly)2(Di/ρihi)1/2時，復合材料板A，B中才存在傳播波。由于振動響應是所有的簡諧波數n疊加的結果，因此只有當所有的簡諧波n都表現出阻帶時，才是周期復合板的阻帶，即圖3所示加粗實線區域為n=1，n=2和n=3的阻帶疊加區域。在阻帶范圍內，周期復合板的輻射聲功率被極大的抑制。利用此特性，可以設計周期復合板來衰減特定頻段的輻射噪聲。

圖4給出了周期復合板和均勻板(由材料A組成)輻射聲功率的對比圖，在阻帶頻率范圍，均勻板的輻射聲功率線譜被極大抑制，離散線譜幅值顯著降低，因此周期復合板在阻帶頻率范圍內能夠降低輻射聲功率。

圖3 周期復合板輻射噪聲

圖4 周期復合板輻射噪聲控制效果

2.2 周期復合板材料和幾何參數對輻射噪聲帶隙衰減頻率的影響

周期復合結構的阻帶頻率與周期復合板的幾何和材料參數相關，針對不同頻段的輻射噪聲控制要求，可設計出能衰減相應頻段的周期復合板結構。下面對影響周期復合結構阻帶頻率范圍的因素進行分析。

2.2.1 周期復合板的寬度

圖5、圖3和圖6分別給出周期復合板寬度為Ly=0.4m、Ly=0.6 m和Ly=0.8 m時的輻射聲功率和帶隙頻率分布。由圖可知，隨著寬度的增加，板結構的橫向剛度減小，參與振動的模態數增加。由于周期復合結構的阻帶頻率是參與振動各個模態阻帶頻率的交集，因此寬度增加后周期復合板阻帶頻率范圍總體趨勢上會變窄。

2.2.2 周期復合板的材料參數

將材料B變更為環氧樹脂(ρB=1 180 kg/m3、EB=4.35×109N/m2、νB=0.37)和鋁(ρD=2 730 kg/m3、ED=7.76×1010N/m2、νD=0.35)，得到的輻射聲功率和帶隙頻率分布分別如圖7和圖8所示。通過與圖3對比可知，周期復合板的兩種材料參數差異越大，輻射噪聲的阻帶頻率范圍越寬，也即越容易產生輻射噪聲阻帶。但是從周期復合結構承載功能角度來說，兩者材料參數不能相差太大，因此需要綜合考慮周期復合結構功能和聲學性能，以設計出滿足需求的周期復合結構。

圖5 周期復合板寬度

圖6 周期復合板寬度Ly=0.8 m

圖7 材料B改為環氧樹脂的輻射聲功率

圖8 材料B改為鋁的輻射聲功率

3 結 論

(1) 周期復合板結構存在輻射噪聲帶隙頻段，在帶隙頻率范圍內，周期復合板的輻射噪聲得到極大抑制；

(2) 隨著周期復合板結構寬度增加，參與振動的模態數增加，周期復合板帶隙頻率范圍總體上變窄；

(3) 周期復合板結構材料參數差異越大，越容易產生輻射噪聲帶隙。

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Research on the band gap and attenuation characteristic of sound radiation for periodic compound plate

XU Qing1, ZHANG Junjie2

(1. China Ship Development and Design Center, Wuhan 430064, China; 2. National Key Laboratory on Ship Vibration & Noise, Wuhan 430064, China)

The band gap and attenuation characteristics of sound radiation for periodic compound plate were investigated. The coupled equations were established by transfer matrix method, and radiation sound was calculated by radiation impedance through meshing the plate into equal squares. Calculations showed that there are stop bands for the radiation sound, and the level of sound radiation is greatly suppressed in the frequency ranges of the stop bands. The influence of the material and geometric parameters on band gap was discussed.

periodic compound plate; radiation sound; band gap; transfer matrix

國家自然科學基金(51409238;61503354)

2016-03-08 修改稿收到日期：2016-07-12

徐青 男，研究員，1960年生

TB535

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.11.030