特征函數在概率論及數理統計中的簡單應用

陳曉

摘 要 在概率論和數理統計課程中，經常求獨立隨機變量和分布的問題，分布函數發較為繁瑣，是處理這些問題的有力工具是特征函數，它能把尋求獨立隨機變量和分布運算轉換成乘法運算，本文闡述了特征函數的基本概念以及特征函數的一些簡單應用。

關鍵詞 特征函數 獨立性 指數分布 卡方分布

1特征函數的定義

設是一個隨機變量，稱， 為的特征函數。因為，所以總是存在的，即任一隨機變量的特征函數總是存在的。特征函數只依賴于隨機變量的分布，分布相同則特征函數也相同，所以常稱為某分布的特征函數。

2特征函數的應用

2.1指數分布的數學期望和方差

已知隨機變量服從參數的指數分布，隨機變量的特征函數，，由此可得 ， 。

用特征函數求指數分布的數學期望和方差， 要比從定義計算反常積分簡便不少。

2.2 利用特征函數方法證明泊松定理

證：設隨機變量，則隨機變量的特征函數為，又，所以

而是參數為的泊松分布的特征函數，又有特征函數的唯一性可知結論成立。

2.3在求獨立隨機變量和的分布上的應用

設是個相互獨立的隨機變量，且均服從標準正態（0，1）分布的正態隨機變量，求隨機變量由于，根據隨機變量數學期望的計算公式可得相應隨機變量的特征函數為

。

由特征函數的性質可得隨機變量的特征函數為。

有概率論知識可知這是的特征函數可以看出卡方分布是伽馬分布的特例，通過特征函數的算法結果更直觀，也更能揭示本質。同樣地，我們可以按照以上推導方法，可以得到正態分布二項分布，泊松分布和伽馬分布也具有可加性，利用特征函數就要方便得多，而且對多個隨機變量的和可直接討論。

2.4證明分布函數的弱收斂性

設隨機變量服從參數為€%Z，€%d的伽馬分布，當時，隨機變量按分布收斂于標準正態分布。 即 .

證：設的特征函數為，兩邊取對數，，并將展開為級數形式，

所以 ，而正是標準正態分布的特征函數，由特征函數的唯一性可得：。

在求獨立隨機變量和的分布上的應用，利用獨立隨機變量和的特征函數為特征函數的乘積性質的推廣，往往能使問題得到簡化。

參考文獻

[1] 茆詩松，程依明，等.概率論與數理統計教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社.2011.

[2] 浙江大學.盛驟等概率論與數理統計（第四版）[M].北京：高等教育出版社.2008.

[3] 李賢平.概率論基礎（第三版）[M].北京：高等教育出版社.1997.

[4] 同濟大學數學系.高等數學（第七版）[M].北京：高等教育出版社.2002.