親歷建構之旅體悟模型之美

鐘麗梅

【教學內容】人教版義務教育教科書小學數學四年級下冊第17—18頁“加法運算定律”.

【教學目標】

1.讓學生在自主建構加法交換律和加法結合律模型的過程中，理解并掌握加法交換律和加法結合律，初步感受到應用加法運算定律可以使一些計算簡便.

2.在運算定律模型建構的過程中，發展學生的分析、比較、抽象、概括能力，培養學生的符號感.

3.讓學生在數學活動中獲得成功的體驗，進一步增強對數學學習的興趣和信心，初步形成獨立思考和探究問題的意識和習慣.

【教學重點】幫助學生逐步建立“加法交換律”和“加法結合律”的模型.

【教學難點】探索并準確概括加法交換律、加法結合律.

【教學過程】

一、依托情境，提出問題

1.素材呈現.同學們，咱們廈門市是一座著名的風景旅游城市，素有“東方夏威夷”之稱.有國家5A級旅游景區“鼓浪嶼”，4A級景區“同安影視城”和“萬石植物園”，有9個島16座橋梁相互連接的國際園林博覽苑……導游小姐介紹道：“鼓浪嶼到園博苑相距約21千米，園博苑到同安影視城相距約34千米.”

2.提出問題.根據以上信息，你想解決什么數學問題？

3.生成材料.選取“鼓浪嶼到園博苑相距約21千米，園博苑到同安影視城相距約34千米，鼓浪嶼到同安影視城相距多遠”作為學習材料.

二、自主探索，建構模型

（一）探索“加法交換律”

1.解決問題.要解決這個問題，該怎么列式？21+34或34+21.

2.觀察思考.分析比較，明確這兩個算式的異同處.這兩個算式中的“加數”和“和”是一樣的，只是兩個加數的位置進行了調換.可以用“=”把“21+34和34+21”連接起來，即“21+34=34+21”.

3.豐富材料.你能再寫幾個這樣的等式嗎？學生寫在小紙條上，教師有序呈現學生所列舉的等式.（關注例子的全面性，除整數例子外，還有小數、分數等情況）

4.大膽猜想.寫這樣的等式，有什么秘訣？你們發現這些等式的共同規律了嗎？兩個數相加，交換加數位置，和不變.

5.線段驗證.這兩條線段不管用哪兩個數表示，它的總長都是“第一條長度+第二條長度=第二條長度+第一條長度”.

6.構建模型.你能用自己喜歡的方式來表示加法交換律嗎？根據學生回答，教師相機引導學生用“a+b=b+a”表征加法交換律.

7.抽象概括.兩個數相加，交換加數位置，和不變這個規律叫作“加法交換律”，用字母公式來表示就是“a+b=b+a”.

（二）探索“加法結合律”

1.提出問題.剛才我們研究兩個數相加存在這樣的規律.如果三個數相加會不會產生新的規律，我們接著研究它.

2.計算得數.你想怎么算？請在本子上用“遞等式”計算出得數.

3.算法交流.并引導學生聯系線段圖，說一說每一種算式的意義.

算法一：21+34+66=（21+34）+66（先算第一條線段加上第二條線段，再加上第三條線段，算出了正確答案）.

算法二：21+34+66=21+（34+66）（先算第二條線段加上第三條線段，再加上第一條線段，也算出了正確答案）.

4.分析等式.在剛才的學習中，我們發現不管用哪種方法計算，結果都等于121，都是求三條線段的總長，這兩個算式可以用“=”連成一個等式.教師相機板書：（21+34）+66=21+（34+66）.

5.部落建構.同學們，這個等式里面藏著小秘密，我們以部落為單位，根據學習單上的提示來研究它.

學習單部落長：觀察1（21+34）+66=21+（34+66）

觀察等號左右兩邊的式子，說一說你的發現猜想1部落討論，形成猜想驗證1想辦法驗證你們的猜想概括1符號表示：6.部落反饋.引導學生緊緊抓住“等式兩邊哪變了，哪不變”進行交流，從而發現：三個數相加，“先算第一、二兩個加數，再加上第三個加數與先算第二、三個加數，再加上第一個加數”的最后答案是一樣的.在計算過程中，加數的先后位置不發生變化，變的只是運算的先后順序.

7.歸納規律.三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變，這叫作加法結合律.并追問：“前兩個”“后兩個”分別是什么意思？最后呈現字母表征公式：“（a+b）+c=a+（b+c）”.

三、完善認知，深化模型

1.尋找規律.師生共同回憶、尋覓加法交換律和加法結合律在前面教材中的身影.

2.運用提升.

（1）基礎題：填填說說，下面的算式分別運用了什么運算定律？

15+20=20+；

（44+67）+33=44+（67+）；

15+34+85+66=（+）+（+）.

（2）拓展題：第三個加數印刷模糊，請你猜猜是幾？

30+58+（）=30+60.

3.比較異同.比較加法交換律和加法結合律異同點：“什么不變？什么變了？”使學生明確：這兩個定律相同的地方就是“和不變”；而加法交換律變的是加數的位置，加法結合律變的是運算順序.正如德國數學家開普勒所說：“數學就是研究千變萬化中不變的關系.”

4.引申猜想.“在加法中，交換兩個加數的位置和不變.”關于這個結論，你還能提出哪些猜想？仿照加法結合律，你又會做出怎樣的猜想呢？課后可以嘗試舉例驗證.

【板書設計】

加法運算定律

觀察21+34=34+21（21+34）+66=21+（34+66）

猜想100+2=2+100（102+136）+144=102+（136+144）

驗證78+50=50+78（207+25）+45=207+（25+45）

概括……

加法交換律

兩個數相加，

交換加數的位置，

和不變.

a+b=b+a

加法結合律

三個數相加，

先把前兩個數相加，

或者先把后兩個數相加，

和不變.

（a+b）+c=a+（b+c）

【教學評析】

運算定律在數學中具有重要的地位和作用，被譽為“數學大廈的基石”.在運算定律的探索與理解過程中，其模型建構的過程是學生數學學習的重要內容之一.學生學習加法交換律和結合律的過程，其實就是對模型思想的感悟過程.因此，教學中要更多地引導學生經歷探索，體驗知識的產生，主動發現數學規律，學會數學表達，發現數學模型，進而體悟模型之美.在本節課的設計中，筆者重視以下幾點：

一、依托生活情境，滲透模型

新課標指出：模型思想的起點是從現實生活或具體情境中抽象出信息，對問題進行必要的簡化.加法運算定律雖然是一種高度抽象的數學模型，但它仍源于實踐，與生活現實有著密切的關系.教學時，教師引導學生對現實生活中的問題進行感知理解，重視生活問題的抽象概括和數學化過程，使“生活問題”上升為“數學問題”，為模型思想的初步滲透奠定基礎.

對于加法交換律的發現與概括過程，筆者創設廈門風景區旅游的情境，在解決“鼓浪嶼到同安影視城相距多遠”的具體問題中發現運算定律的原型，初步體會運算規律.同時，也借助現實情境的素材來理解運算定律.借助情境，學生很容易就列出了“21+34=55”和“34+21=55”，這兩個式子都能解決“鼓浪嶼到同安影視城有多遠”這一問題，并理解到“鼓浪嶼到同安影視城的路程與同安影視城到鼓浪嶼的路程是一致的”.結合線段圖，學生抽象理解到了這里的每一段除了可以表示整數，還可以表示小數或分數.但不管它表示的是什么數，“第一段長度加第二段長度”一定會等于“第二段長度加第一段的長度”.加法結合律的教學亦是如此，即“前兩條線段長度加第三條線段長度”也一定會等于“后兩條線段長度加第一條線段長度”.這樣的設計，依托具體的生活情境幫助學生將原來零散的感性認識上升為理性認識，促使學生對原有知識進行更新、深化、突破和超越，準確把握從現實“生活原型”到抽象的“數學模型”的過渡過程，有效滲透模型思想，促進模型的構建.

二、重視自主探索，建構模型

數學活動是讓學生經歷“數學化”和“再創造”過程的活動，教師要引導學生從實際生活原型或具體問題情境出發，引導學生充分地開展觀察、比較、舉例、歸納、概括等數學活動，去掉數學問題中非本質的東西，用數學語言或數學符號進行表述，提煉出數學模型.

在探索加法交換律時，首先從生活情境出發，通過列式、計算、對比，得出“21+34=34+21”這組等式.在理解算式意義的基礎上，讓學生再寫幾個這樣的等式，進而引導學生觀察思考、分析比較，發現等式之間蘊含的規律.進而大膽猜想、線段驗證.而后讓學生用自己喜歡的方法來表示規律，讓學生初步構建具有“個性”的加法交換律模型.最終將個性化的加法交換律模型抽象成字母的模型“a+b=b+a”.教學中不僅注意思想方法的滲透，還讓學生從字母表示中感受數學的簡約美與對稱美.加法結合律學習則引導學生借助探究加法交換律的研究方法，加大對學生的放手力度，設計開放的部落活動探究，讓學生按照學習單上提示的四個步驟進行自主探索、合作交流.學生再次經歷運算定律的形成過程，從而獲得成功的學習體驗.這樣的教學，需要引導學生從大量的同類事物的不同例證中發現它的本質屬性，概括出等式的共同特征，并用數學方式表達，這是一個從感性到理性、從具體到抽象的過程，其實質就是一個數學建模的過程.

三、完善認知結構，凸顯模型

模型思想的形成是一個綜合性的過程，在回顧反思中建立模型是形成模型思想的核心.教師要善于從學生的實際出發，突出運算定律產生的現實背景，精心設計活動，及時捕捉課堂生成，凸顯模型的應用價值.

本節課加法交換律和結合律雖是小學運算定律的起始課，而運算定律在計算中的應用學生已然有所接觸，比如，10以內的分與合的看圖列式，加法驗算及湊十法的解題思路，等等.只不過前面教學沒有出現定律的名稱.教學中，師生共同回憶、尋覓加法運算定律在前面教材中的身影.這樣的“參透”處理，由淺入深、由表及里地再次認識數學模型、感悟模型思想.同時，在學生充分理解加法運算定律內涵的基礎上，引導學生進行加法交換律和加法結合律之間的對比和辨析，明確這兩個運算定律之間的相同點和不同點，為加法運算定律的建模和應用提供了可能.分析比較中，學生發現：這兩條運算定律的共同點是——和不變；不同點是——加法交換律中變的是加數的位置，加法結合律中變的是運算順序.教師適時板演，充分體現了“變與不變”的思想，從而拓展學生的認知結構，發展學生的數學思維.

總之，加法運算定律作為數的運算中的一塊內容，它承載著豐富的數學內涵.教學中，不僅要明晰解決問題的思路，獲得數學結論，更重要的是在觀察思考、舉例驗證中建立清晰的數學表象，構建數學模型，體悟模型之美.