借助函數圖像討論含參數方程解的情況

楊姝宇

我們在解有關含參數的方程時，經常遇到這樣一類問題，某參數屬于任意實數，討論關于x的方程（其中含有此參數）的解的情況.解這類習題時，若單純地通過解方程來考慮，有時就要遇到一些比較復雜的方程，如，無理方程等等.這樣就會帶來比較煩瑣的計算.這里我想通過幾道例題介紹一種方法，借助于函數的圖像，根據函數的圖像和性質，來討論含參數方程解的情況.

例1 已知a∈R，討論關于x的方程2x+1=x+a的解的情況.

解 令y1=2x+1，y2=x+a，分別作出圖像.

y1=2x+1的圖像是拋物線y2=2x+1（y≥0），它與x軸交于A-12，0，y2=x+a的圖像是斜率為1的平行直線系如圖示.

當直線y=x+a過點A-12，0，a=12，它與拋物線y2=2x+1（y≥0）有2個交點，隨著a的減少，直線向下平移，兩圖像只有1個交點，即a<-12時，有1個交點.

隨著a的增加，直線向上平移，直至它與拋物線相切只有1個交點B之前，兩圖像有2個交點.

直線與拋物線（一部分）只有1個交點的條件是二次方程（x+a）2=2x+1有2個相等的實數根，即Δ=（2a-2）2-4（a-1）=0，得a=1，

∴當12≤a≤1時，有2個交點，當 a=1時，有1個交點.

隨著a的增加，直線再向上平衡，與拋物線無交點，則a>1，無交點.

這樣，得出結論：a<12時，原方程有1個解；12≤a≤1時，原方程有2個解；a=1時，原方程有1個解；a<1時，原方程無解.

例2 已知a∈R，討論方程log2x+1=2log2（x-a）的解的情況.

解 x滿足條件x>0，x-a>0，

即x>0，x>a.

在此條件下，原方程可化為lg22x=log2（x-a）2.

即2x=（x-a）2.

令y1=2x，y2=（x-a）2.

① 直線y=2x和拋物線y=（x-a）2只有1個交點（即相切）條件是二次方程（x-a）2=2x有2個相等的實根.即Δ=（2a+2）2-4a2=0，8a+4=0，a=-12.

∴a=-12時，有1個交點，滿足x>0，x>-12， 即x>0.

② 拋物線向左移，當a<-12時，直線和拋物線無交點.

③ 拋物線向右移，（ⅰ）-120.

（ⅱ）a=0時，直線與拋物線有兩個交點（0，0），（2，4）.

又∵x>0，∴有1個交點.

（ⅲ）a>0時，x>a，有1個交點.

綜上，得出結論：a<-12時，原方程無解；a=-12時，原方程有1個解；-12

例3 已知k∈R，討論關于x的方程|x2-1|-x-k=0的解的情況.

解 原方程可化為|x2-1|=x+k.

令C1：y1=|x2-1|；C2：y2=x+k.

作出函數y1=|x-1|和y2=x+k的圖像，考慮交點即可以得出結論.

① k<-1時，C1與C2無交點，原方程無解.

② k=-1時，C1與C2有1個交點，原方程有1個解.

③ -1

④ k=1時，C1與C2有3個交點，原方程有3個解.

⑤ 相切時，-x2+1=x+k，x2+x+k-1=0，Δ=1-4（k-1）=0，k=54時，C1與C2有3個交點，原程有3個解.

⑥ 1

⑦ k>54時，C1與C2有2個交點，原程有2個解.

例4 已知曲線C：y=|x2-8x+16+λ|（λ為常數），直線l：y=2x-4，由λ的取值范圍確定曲線C與直線l的交點個數.

請讀者自己作出圖像并討論交點個數.

從上面幾例題可以看出，如果我們遇到有關討論含參數方程解的個數問題，可以借助于函數圖像，找到一條曲線和一條動曲線，通過動曲線的移動，尋找參數的變化范圍，確定兩曲線交點的個數，從而達到討論清楚方程解的個數的目的.這樣，就可簡潔明了地解決問題.