淺析化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

萬志明

【摘要】化歸思想能夠?qū)⒁恍?fù)雜的數(shù)學(xué)函數(shù)轉(zhuǎn)化為比較簡單的數(shù)學(xué)關(guān)系，有利于問題的解決.因此，有必要加強化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中應(yīng)用的研究，提高解題效率.

【關(guān)鍵詞】化歸思想；函數(shù)；應(yīng)用

化歸思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種行之有效的方法，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題是化歸思想的主要體現(xiàn)，也是解決高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題的主要方法.通過培養(yǎng)學(xué)生化歸意識，使其在學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容時能夠主動地應(yīng)用化歸思想，有利于提高學(xué)生的解題效率，大大簡化解題的過程.甚至有時候化歸思想是解決一些復(fù)雜函數(shù)關(guān)系的唯一方法，由此可見加強化歸思想的應(yīng)用具有重要的現(xiàn)實意義.

一、將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題

在解題的過程中，發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生對知識點之間的融會貫通能力不足，特別是在面對一些比較新穎的題材時，學(xué)生不知道從哪里著手.在這種情況下，教師可以將數(shù)學(xué)函數(shù)知識結(jié)合起來，加強問題與函數(shù)知識的聯(lián)系，這樣能夠提高學(xué)生解決問題的能力，同時，也能夠開拓學(xué)生解題的思路，使學(xué)生能夠透過現(xiàn)象看本質(zhì)，熟練地應(yīng)用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識.這就是將未知的理論轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的理論，從而找到解決問題的突破口.

例1 求函數(shù)y=cosx+sinx+cosx·sinx的最值區(qū)間.

分析該函數(shù)的特點，可以想到cosx+sinx與cosx·sinx之間的關(guān)系，繼而假設(shè)用參數(shù)A代表函數(shù)cosx+sinx，那么原函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為y=12（A2-1）+A，最后轉(zhuǎn)化為常見的二次函數(shù)，再由三角函數(shù)求出A的取值區(qū)間，這樣就能夠解決該類題目了.其關(guān)鍵是要有化歸思維和意識，同時，在轉(zhuǎn)化的過程中準確地把握自變量的變化范圍，只有這樣才能使問題得到圓滿的解決.

二、向題根的轉(zhuǎn)化

向題根轉(zhuǎn)化是化歸思想中一種重要的思維方法，對于解決數(shù)學(xué)問題具有重要的作用.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，需要通過大量的習(xí)題來鞏固概念、學(xué)習(xí)相關(guān)的解題技巧等.但大量的習(xí)題往往會增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔，使學(xué)生難以感悟到數(shù)學(xué)題目中的精髓，為了做題而做題，難以達到做題的效果.向題根轉(zhuǎn)化的思想能夠有效地避免這種狀態(tài)，能夠通過現(xiàn)象直抵本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)題目的共同點，最終掌握基本的知識點，使學(xué)生能夠從大量的無效習(xí)題中解放出來.向題根轉(zhuǎn)化能夠使類似的題目得到快速的解決，在函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中，函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)化，也就是向題根方面轉(zhuǎn)化.在解題的過程中，可以考慮轉(zhuǎn)化基本函數(shù)，轉(zhuǎn)化為題根之后，就會使復(fù)雜的函數(shù)問題簡單化，這對于解決一些復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系具有重要的幫助.通過這種練習(xí)，能夠更好地找到問題的突破口，最終找到解決該類問題的規(guī)律，從而形成一種系統(tǒng)化的解題流程.

例2 現(xiàn)有函數(shù)y=（log2x）2+（t-2）log2x-t+1，當-2≤t≤2時，函數(shù)y取正值，現(xiàn)在需要求x的變化范圍為.

分析該問題時，可以看到函數(shù)y的組成形式比較復(fù)雜，在這種情況下考慮到應(yīng)用化歸思想，將函數(shù)統(tǒng)一起來，這樣才能有效地解決問題.通過向題根轉(zhuǎn)化之后可以看到，其題根是一次函數(shù)，結(jié)合題目的條件，該函數(shù)是關(guān)于t的一次函數(shù)，因此，在解題時，應(yīng)當將原來的函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一次函數(shù).即y=f（t）=（log2x-1）t+（log2x）2-2log2x+1.

由此可知，f（t）是一次函數(shù)，當-2≤t≤2時，那么f（t）>0成立.根據(jù)一次函數(shù)的特點，可以得到f（-2）>0與f（2）>0成立，代入關(guān)于t的一次函數(shù)中，最終得到關(guān)于log2x的不等式，最終求得08，得到了關(guān)于x的取值范圍.由此可見，這種化歸思想非常的奇妙，對于解決一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題具有重要的作用.其前提是要熟悉相關(guān)的函數(shù)特點，只有這樣才能實現(xiàn)不同函數(shù)關(guān)系的融會貫通.

三、數(shù)形轉(zhuǎn)化的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)解題中，數(shù)形轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用的比較多也比較普遍，圖形具有更加直觀性的特點，能夠更有利于問題的解決.圖形轉(zhuǎn)化包含的內(nèi)容比較多，它能夠打開學(xué)生的視野和思路.

例3 已知函數(shù)f（x）=2-|x|，x≤2，2（x-2）2，x>2， 函數(shù)g（x）=b-f（2-x），其中b是實數(shù)，假設(shè)函數(shù)y=f（x）-g（x）有四個零點，那么b的取值范圍是（ ）.

A.74，+∞

B.-∞，74

C.0，74

D.74，2

分析 由函數(shù)f（x）得到f（2-x）的表達式，由此可得y=f（x）+f（2-x）-b的表達式，由x的取值范圍以及四個零點，可以得到函數(shù)y=0，根據(jù)圖像可以知道b的取值范圍為74，2.在數(shù)形結(jié)合的題目中，由于題目大部分涉及方程解的個數(shù)或者函數(shù)的零點，對于這些類型的函數(shù)問題，可以考慮應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法來解決問題.它比純粹的數(shù)學(xué)方法相對簡單，而且節(jié)省時間，特別是面對選擇題時，由于不需要得到準確的結(jié)果，結(jié)合四個選項就可以得到一個類似的結(jié)果，從而能夠提高解題的效率.

四、結(jié) 語

在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中，化歸思想是一種非常有用的方法，而且效率比較高.在教學(xué)的過程中，教師應(yīng)當注意引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，加強不同函數(shù)關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化，最終將復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為比較簡單的函數(shù)關(guān)系，使數(shù)學(xué)問題迎刃而解.

【參考文獻】

[1]李昀晟.化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題過程中的應(yīng)用分析[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2015（04）：124-128.

[2]王新兵.化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)生理科應(yīng)試，2016（03）：8-9.