精講多練精心輔導

彭江濤++劉雪梅++陳尚弟

高等代數是我院信息與計算科學專業和統計學專業的重要專業基礎課，也是中國民航大學的校級精品課程，課程歸屬信息與計算科學專業.高等代數教學質量的提高事關學生的后繼課程的學習以及信息專業的發展和學生的培養質量.為了提高高等代數的教學質量，高等代數課程組的教師對該課程的教學進行了改革.我們的舉措是“精講多練、精心輔導、學法指導、思想滲透、引導應用”.這一舉措分三個層次.

精講多練是提高高等代數教學質量的第一層次；精心輔導、學法指導、思想滲透是第二個層次；引導應用是第三個層次.

一、精講多練

課堂教學是教學活動的主戰場，更是傳授知識和提高能力的主要環節.教師講什么、怎么講對教學質量的提高至關重要.“精講多練”這個看似古老的教學理念和方法，我們認為它并不過時，特別對數學專業來說，這是一個永恒的有效方法，關鍵是要處理好“精講什么”與“怎么精講”的關系，處理好“多練什么”和“如何多練”的關系.為此，我們主要采用了幾個措施.

（一）精心準備、團隊協作、群策群力

要做到精講，首先要做到精心，既要精心準備講課的全部內容，又要精心選擇精講的內容，還要精心設計講課的方式方法.我們充分發揮團隊的力量，我們的高等代數課程組共有六位教師，其中既有經驗豐富的老教師，又有年富力強的青年教師，目前承擔高等代數課堂教學任務的是兩位年輕的教師.課程組在課程的每一章開始講解之前，進行一次教研活動，大家獻計獻策，根據自己的經驗和對內容的理解，共同分析課程內容的重點和難點，確定哪些內容需要精講，哪些只需簡講.例如，開課前代數幾何課群組六位教師集中研討，重新審定了教學目標，教學重點、難點，教學實施方案等.主講教師重新備課，精煉授課內容，重點剖析理論體系的來龍去脈，著重培養學生的抽象思維能力和邏輯推理能力.在不影響整個理論體系的前提下刪去部分選學內容，省略部分較難理解的理論證明，從而壓縮部分學時.例如傳統的二次型標準形的教學中，用初等的配方法證明標準形的存在性，再用矩陣來表示配方法，從而實現二次型向標準形的轉化，在實際教學中，我們略去了初等的配方法證明，改用一個具體的例子說明，然后介紹了所謂的合同變換（即對方陣做一次初等行變換之后立即做一次相應的初等列變換），如此調整之后使學生容易接受，且節約了一個課時的時間可以給學生來做練習.以做習題的方式來掌握基礎知識，強化課程重點，是數學學習的必要過程.

（二）精選例題、深入講解、及時點評

例題對進一步深入理解概念、定義和定理有重要的作用.我們一方面對教材中的例子進行優化，一方面精心補充新的例子，進行深入的講解，并對解題方法進行及時的點評.例如，判斷向量組的線性相關和線性無關，我們選擇了這樣一個例子[1]：

設向量組αi=（ai1，ai2，…，ain），i=1，2，…，n，且行列式

D=a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann≠0.

求證向量組α1，α2，…，αn線性無關.

證法一 設k1α1+k2α2+…+knαn=0，則得線性方程組

a11k1+a21k2+…+an1kn=0，a12k1+a22k2+…+an2kn=0，…a1nk1+a2nk2+…+annkn=0.

因為這個齊次方程組的系數行列式正好是D′≠0，故此方程組只有唯一的零解k1=k2=…=kn=0.

證法二 假設α1，α2，…，αn線性相關，則向量組α1，α2，…，αn中必有某個向量，不妨設αi是其余向量的線性組合，即有

αi=k1α1+…+ki-1αi-1+ki+1αi+1+…+kαn，

用-k1，…，-ki-1，-ki+1，…，-kn分別乘D的第1，…，i-1，i+1，…，n各行后，都加到第i行上，則D的第i行的元素全都變為零，故D=0，這與D≠0矛盾.

點評 證明一個向量組的線性無關，通常采用兩種基本方法.欲證α1，α2，…，αn線性無關，只需證明：由k1α1+k2α2+…+knαn=0，可以推出k1=k2=…=kn=0.證法一屬于這種方法.第二種是反證法，因線性相關與線性無關是兩個互相排斥的概念，故在證明這類命題時，反證法具有基本的重要性，上面證法二就屬于這種證法.當然還可以利用向量組的等價性、極大無關組、秩等方法證明向量組的線性相關性.例如，為判斷向量空間Pn中向量組α1，α2，…，αm的線性相關性，以這些向量的分量為列做矩陣A，若A的秩小于向量組的個數m，則該向量組線性相關；若A的秩等于向量組的個數m，則該向量組線性無關.

通過點評，學生能盡快地掌握解決這類問題的基本方法.有時，我們也讓學生參與解題方法的點評.

（三）精選習題、多方練習

做習題對數學專業來說就是做實驗，一方面，能檢驗學生對已學知識的掌握情況，另一方面，也能使學生進一步熟悉所掌握的知識.

目前高等代數教材中基礎習題過于簡單，補充題目又難度較大，學生做題的積極性不高.我們通過增加課堂練習，補充適當的習題來促使學生思考，加強學生對理論知識的理解，訓練學生的邏輯推理能力、分析問題和解決問題的能力.

二、精心輔導、學法指導、思想滲透

沒有教師的精心輔導和學生的刻苦學習，一切好的教學理念和教學方法對教學質量的提高都難以產生好的效果.為此，我們抓住以下三個環節.

（一）分組輔導、責任到人

理學院的信息與計算科學專業和統計專業每一屆約有60左右名學生，我們將學生分成六組，每組約十幾人，課程組的每位教師負責輔導一組.每周由輔導教師和學生商量在一個固定的時間和地點對本組學生進行答疑和輔導.由于每組的學生人數少，輔導教師能夠近距離地了解學生，并能進行有針對性和個性的輔導，這對課堂教學是一個極好的補充.

（二）誘導提問、學法指導

在教學和輔導過程中，我們發現學生不會提問題或者說所提問題質量不高.我們在輔導過程中采用啟發和誘導的方式，逐漸引導學生會提問題.學生能提出好的問題，表明學生的能力獲得了提高，也說明教學質量也有提高.例如，多項式理論部分，輔導過程中向學生提出了這樣的問題：“兩個互素的多項式有公共根嗎？”“不可約多項式會有重根嗎？”

另一方面，一些學生的學習方法也不得當，教師在輔導和答疑過程中指導他們如何理解某個概念.

（三）思想滲透、融會貫通

高等代數中的概念、定義和定理體現了很多的數學思想、方法論和哲學原理.通過數學思想和哲學原理的滲透，實現對概念和原理的深入理解和融會貫通.例如，在教學或質疑過程中告知學生，求多項式的最大公因式的輾轉相除法與求整數的最大公因數的思想是一致的，這個方法是機械的，它們可以用計算機來實現.這體現了許多數學概念的辯證和統一.

三、引導應用

應用是培養學生分析問題和解決問題能力的重要一環.由于高等代數是基礎課，所用教材中大量的概念、定義和定理主要是理論推導，從例題到習題很少有直接的解決現實問題的例題和習題.這大大影響了學生的學習積極性，也不利于學生對基本概念的理解和基本方法的深入掌握.我們利用答疑的機會給學生補充了大量的應用方面的問題，引導學生主動地運用所學知識解決實際問題.

例如，在學習完線性方程組的理論之后，我們引導學生應用線性方程組解決網絡流問題.當科學家、工程師或經濟學家研究一些數量在網絡中的流動時自然推導出方程組.例如[2]，城市規劃和交通工程人員監控一個網格狀的市區道路的交通流量模式；電器工程師計算流經電路的電流；經濟學家分析通過分銷商和零售商的網絡從制造商到顧客的產品銷售.許多網絡中的方程組涉及成百上千的變量和方程.再如，在學習完線性變換和矩陣的特征值和特征向量后，學生們只知道這一理論和方法在研究線性變換和矩陣的可對角化問題中起關鍵作用，但不知道它們在概率統計、隨機過程、振動、機械壓力、電子系統、量子力學、化學反應、遺傳學、經濟學等領域起著重要作用.我們利用答疑的時間給學生補充了下面幾個例子[3]：

美國在1940年建造的塔科馬（Tacoma）海峽橋，一開始這座橋有小的波動.許多人好奇地在這座移動的橋上駕駛汽車，大約4個月后，振動變得更大.最后這座橋落到水中，對于這座橋倒塌的解釋是：由于風的頻率太接近這座橋的固有頻率引起的振動.而這座橋的固有頻率是橋的建筑系統的絕對值最小的特征值.這就是特征值對于工程師分析建筑物的結構時非常重要的原因.

特征值也可用于檢查固體的裂縫或缺陷，當一根梁被撞擊，它的固有頻率（特征值）能夠被聽到.如果這根梁有回響聲，那么它沒有裂縫.如果聲音遲鈍，那么這根梁有裂縫，因為裂縫或缺陷會引起特征值變化.靈敏的儀器能被用于更精確地“看見”和“聽到”特征值.

特征值在經濟學領域中也有許多應用，如，在研究進口總額與國內總產值、存儲量、消費量之間的依賴關系時，首先收集數據，然后建立線性回歸分析模型，對參數進行估計.一種估計方法是主成分估計，它基于特征值和特征向量，在一定條件下主成分估計比最小二乘估計有較小的均方誤差.

這些應用性問題的補充，不僅極大地開闊了學生的眼界，也很好地調動起學生的學習積極性，也增強了學生應用所學知識解決問題的意識和能力.

四、教學管理和成績考核

嚴格的管理和合理的考核是改革取得良好效果的重要保障.

（一）加強課堂管理

為了確保學生的上課質量，必須營造好的課堂氛圍，因此，任課教師每節課都會清查人數，強調紀律性，杜絕了遲到、早退等現象，很好地保證了教學的秩序.另外，通過設置一些開放性問題，增加了課堂討論環節，既活躍了課堂氣氛，又調動了學生的興趣，取得了不錯的效果.

（二）調整考核方式

高等代數課程原有考核方式是平時成績占15%，期末考試占85%.由于期末考試成績的比例過大，學生養成了一種平時應付差事，期末考試前突擊復習的不良習慣，如此則達不到培養抽象思維能力和邏輯推理能力的目的.為了改變這種情況，高等代數課提高了平時成績和期中考試的比例，讓教師有了更多的靈活性，同時也迫使學生重視學習的連貫性，改變平時疏于學習、考前突擊的學習狀態.

五、結論和改革的效果

經過了一個學年的努力，“精講多練、精心輔導、加強質疑”的改革收到了不錯的效果：

1.由于精煉了內容，突出了重點，略去了部分煩瑣且不易理解的證明，使學生更易于接受高等代數的理論體系，培養了學習的興趣，提高了上課效率，保持了學習的連貫性，為學生的后續學習打下了良好的基礎.同時，由于增加了習題課的課時，使高等代數的課堂教學與學生高中階段的學習模式有了更多的相同點，因此，學生可以更快地融入課堂，更快地適應大學的學習.

2.在質疑輔導環節中，代數幾何組的教師全員上崗，大大縮小了輔導小組的規模，更便于組織，且容易發現共性的問題，使學生對課堂知識理解得更加深刻，大大減小了后續的課堂教學的壓力.通過小范圍的輔導也容易使同組學生取長補短、互相幫助，形成良好的互動與競爭的氛圍.

3.質疑輔導一方面可以幫助后進學生，使其進步，更重要的一方面是可以發現對數學有興趣、有數學頭腦的好苗子，可以幫助他們建立起信心，短期內可以培養他們參加數學競賽，將來可以培養他們考研，甚至從事專門的數學工作.在2014年10月，我們選派了2013級的10名學生參加全國大學生數學競賽數學專業組天津賽區的比賽，其中有兩人獲天津市二等獎，并且有一人是我校所有參賽學生中成績最好的.特別值得一提的是在參賽的時候這些學生還沒有學完高等代數的課程.

下面通過近三屆學生的高等代數成績對比，來看一看改革的效果.我們從年級人數、及格率、平均成績和標準差幾個方面來總體分析.

從高等代數（1）的成績對比來看，參加了質疑輔導的2013級學生及格率要高于2011級和2012級學生，平均成績基本持平，而標準差則明顯低于前兩個年級.特別值得一提的是2013級的學生人數比前兩個年級的要多，所以取得這個效果可以說是很好的.

從高等代數（2）的成績對比來看，參加了質疑輔導的2013級學生及格率、平均成績和標準差與2011級基本持平，但是與2012級學生比較則處于較低的水平.分析原因如下：1.2012級學生的高等代數（2）期末試題難度偏小，導致整體成績較高，而其他兩個年級的試題難度相當，比較能反映學生狀況；2.2013級學生有兩個學生缺考（沒有參加期末考試），其成績未統計在內，所以2013級的期末成績未完全反映全體學生的學習狀況；3.三個年級都多少出現了人員流失的情況（轉專業），而且流失的學生多是成績較好的，因此對整個年級的總評成績有較大影響，特別是在2013級流失學生大大多于2011級的情況下仍然維持了一個及格率基本持平、平均成績基本持平、標準差基本持平的狀況，足見改革的效果是不錯的.

盡管“精講多練、精心輔導、加強質疑”的改革取得了不錯的成績，但是我們還是在其中發現了一些問題：有學生不能正確認識質疑輔導，認為是給其增加負擔；有學生對質疑輔導形成依賴，忽視課堂學習；學校轉專業的政策造成了優秀學生的流失，同時也給未轉專業的學生的心理造成了一定的負擔，影響了學習的狀態.如何解決上述問題還是值得我們進一步探討的.

【參考文獻】

[1]李師正，等.高等代數解題方法與技巧[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]D C Lay.線性代數及其應用[M].北京：機械工業出版社，2005.

[3]丘維聲.高等代數學習指導書（上、下冊）[M].北京：清華大學出版社，2009.