具有三個(gè)種群的食餌捕食者模型

馮廷碧+陰宇輝+陳玉雪+汪忠忠+羅習(xí)賓

550018 貴州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 貴州貴陽(yáng)

【摘 要】本文主要是在考慮具有三個(gè)種群的Volterra模型基礎(chǔ)上，初步考慮哺乳動(dòng)物和爬行動(dòng)物自身的阻滯作用，利用Matlab軟件得到其圖像，最后進(jìn)一步考慮植物自身的阻滯作用，加入logistic項(xiàng)，同時(shí)利用Matlab軟件得出其運(yùn)行軌跡，判斷穩(wěn)定性。

【關(guān)鍵詞】Volterra模型；Matlab軟件；logistic項(xiàng)；改進(jìn)模型

20世紀(jì)20年代著名意大利數(shù)學(xué)家Volterra建立了一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，回答了意大利生物學(xué)家DAncona提出的問(wèn)題。食餌的繁殖力下降，會(huì)造成捕食者的數(shù)量減少，但是其掠取能力卻會(huì)增加；捕食者的死亡率上升會(huì)導(dǎo)致食餌增加，食餌供養(yǎng)捕食者的能力增加會(huì)使食餌減少。為后來(lái)數(shù)學(xué)家和生物學(xué)家建立食餌-捕食者模型系統(tǒng)打下基礎(chǔ)。我們把Volterra建立的這種簡(jiǎn)單的只有兩個(gè)種群的模型稱作Volterra模型，這種模型雖然能解釋一些現(xiàn)象，但是Volterra模型存在描述的周期變化狀態(tài)不是穩(wěn)定結(jié)構(gòu)等缺點(diǎn)，為了滿足人類自身生存與發(fā)展的需要，對(duì)資源進(jìn)行合理的開(kāi)發(fā)和管理。人們一方面對(duì)種群的發(fā)展變化做定量的分析與預(yù)測(cè)，另一方面是通過(guò)對(duì)模型的研究判斷出付出多大的捕獲量，即可維持生態(tài)平衡，又能獲得最大收益。所以研究具有三個(gè)種群的食餌-捕食者模型有重大意義。

1Volterra食餌-捕食者模型

一個(gè)島嶼上棲居著食肉爬行動(dòng)物和哺乳動(dòng)物，又長(zhǎng)著茂盛的植物，爬行動(dòng)物以哺乳動(dòng)物為食，哺乳動(dòng)物又依賴植物生存，建立三者之間關(guān)系的模型。

植物，哺乳動(dòng)物，爬行動(dòng)物在t時(shí)刻的數(shù)量分別記住x1（t），x2（t），x3（t）。假設(shè)不受環(huán)境等因素影響，（相對(duì)）增長(zhǎng)率為r1，又因?yàn)椴溉閯?dòng)物的存在使得植物的增長(zhǎng)率減小，設(shè)減小的程度與哺乳動(dòng)物數(shù)量成正比。

哺乳動(dòng)物離開(kāi)植物就無(wú)法生存，設(shè)它獨(dú)自生存時(shí)的死亡率為r2，而植物為哺乳動(dòng)物提供食物，降低哺乳動(dòng)物的死亡率，并且促進(jìn)哺乳動(dòng)物增長(zhǎng)，設(shè)這種作用與植物數(shù)量成正比，又因?yàn)榕佬袆?dòng)物的存在對(duì)哺乳動(dòng)物的增長(zhǎng)減小，設(shè)這種減小程度與哺乳動(dòng)物的數(shù)量成正比，于是x2（t）滿足x2（t）=x2（-r2+bx-λx3）比例系數(shù)b反映植物對(duì)哺乳動(dòng)物的供養(yǎng)能力，λ反映爬行動(dòng)物對(duì)哺乳動(dòng)物的掠取能力。

同理，設(shè)爬行動(dòng)物獨(dú)自生存時(shí)的死亡率為r3，而哺乳動(dòng)物為爬行動(dòng)物提供食物，從而減低爬行動(dòng)物的死亡率促進(jìn)爬行動(dòng)物增長(zhǎng)，設(shè)這種作用與哺乳動(dòng)物數(shù)量成正比，于是x3（t）滿足方程x（t）=x3（-r3+cx2）

比例系數(shù)c反映哺乳動(dòng)物對(duì)爬行動(dòng)物的供養(yǎng)能力。

數(shù)值解：

記植物，哺乳動(dòng)物，爬行動(dòng)物的初始數(shù)量分別為x1（0）=x11，x2=x22，x3（0）=x33并作圖及軌線圖，編程如下：

functionxdot=shier（t，x）；

r1=1；r2=0.5；r3=0.6；a=0.1；b=0.02；c=0.05；lambda=0.004；

xdot=[（r1-a*x（2））.*x（1），（-r2+b*x（1）-lambda*x（3））.*x（2），（-r3+c*x（2））.*x（3）]；

[t，x]=ode45（‘shier，[0，20]，[100，25，5]）；

plot（t，x（：，1），*，t，x（：，2），-，t，x（：，3），：），

legend（‘x（1），x（2），x（3））

grid

plot3（x（：，1），x（：，2），x（：，3）），grid

可以猜想x1（t），x2（t），x3（t）是周期函數(shù)，從圖中可以得出x1（t），x2（t），x3（t）的最大值分別為125.6，28.2，29.1。最小值分別為2.5，1.5，2.1。容易得出x1（t），x2（t），x3（t）在一個(gè)周期的平均值為64，30，15.6。總體上看出模型趨于某種平衡狀態(tài)，存在穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，這是Volterra模型的特點(diǎn)，但是在現(xiàn)實(shí)生活中多數(shù)的食餌-捕食者模型都觀察不到Volterra模型的那種周期，而且Volterra模型容易受數(shù)值的影響。所以我們需要改進(jìn)模型。

2初步模型改進(jìn)

自然世界中植物的生長(zhǎng)由于受到人為的保護(hù)，且人們大量的植樹(shù)造林，所以假設(shè)植物的獨(dú)自生長(zhǎng)時(shí)其數(shù)量的增長(zhǎng)服從指數(shù)增長(zhǎng)規(guī)律，哺乳動(dòng)物，爬行動(dòng)物獨(dú)自生長(zhǎng)是有自身的阻滯作用，服從logistic變化規(guī)律。

同樣將植物，哺乳動(dòng)物，爬行動(dòng)物在t時(shí)刻的數(shù)量記為：x1（t），x2（t），x3（t）。

同理，植物在獨(dú)自生存時(shí)x1（t）滿足：x（t）=x1（r1-ax2）

哺乳動(dòng)物服從logistic規(guī)律，于是可得到哺乳動(dòng)物增長(zhǎng)的方程類似的，哺乳動(dòng)物的存在也影響了爬行動(dòng)物的增長(zhǎng)，也可以得到爬行動(dòng)物的方程，它們就是是自然界中食餌和捕食之間的關(guān)系，這里考慮到了種群自身的阻滯作用。

數(shù)值解：

設(shè)初值條件，利用Matlab軟件編程，雖然植物，哺乳動(dòng)物，爬行動(dòng)物的數(shù)量，在某一時(shí)刻會(huì)發(fā)生波動(dòng)，但是在受到干擾之后還是會(huì)趨于某一時(shí)刻趨于穩(wěn)定。

此模型具有局限性，因?yàn)檫_(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的情況下，這三個(gè)種群都滅絕了，說(shuō)明以上假設(shè)不能客觀反應(yīng)自然界中植物，哺乳動(dòng)物，爬行動(dòng)物之間內(nèi)在的聯(lián)系。

3模型的進(jìn)一步改進(jìn)

假設(shè)植物，哺乳動(dòng)物，爬行動(dòng)物存在自身阻滯作用，滿足logistic規(guī)律，同樣將植物，哺乳動(dòng)物，爬行動(dòng)物在t時(shí)刻的數(shù)量記為：x1（t），x2（t），x3（t）。

3.1模型建立

有植物，哺乳動(dòng)物，爬行動(dòng)物三個(gè)種群，當(dāng)他們獨(dú)自生存時(shí)，數(shù)量滿足logistic規(guī)律，r1，r2，r3是它們的固有增長(zhǎng)率，N1，N2，N3自然世界對(duì)它們的最大容量。利用Matlab軟件求微分方程的數(shù)值解，做出圖像，然后從理論上研究平衡點(diǎn)。

3.2數(shù)值解

利用Matlab編程如下：

編寫.m文件

functionxdot=shier（t，x）；

r1=0.6；r2=0.5；r3=0.6；ct（1）=0.5；ct（2）=0.6；ct（3）=0.6；ct（4）=0.6；N（1）=600；N（2）=100；N（3）=15；

xdot=[r1*（1-x（1）/N（1）-ct（1）*x（2）/N（2））.*x（1），r2*（-1+ct（2）*（x（1）/N（1））-x（2）/N（2）-ct（3）*（x（3）/N（3）））.*x（2），r3*（-1+ct（4）*（x（2）/N（2））-x（3）/N（3））.*x（3）]；

在操作窗口輸入：

[t，x]=ode45（'shier'，[0，10]，[300，100，25]）；

plot（t，x（：，1），*，t，x（：，2），-，t，x（：，3），：），

legend（‘x（1），x（2），x（3））

grid

這個(gè)模型比很好的解決了第一個(gè)模型和第二個(gè)模型的局限性，較好的反映了，自然世界中，這三個(gè)種群的內(nèi)在聯(lián)系。

3結(jié)論

自然世界中，瞬息萬(wàn)變，雖然在Volterra模型的基礎(chǔ)上加入了服從logistic規(guī)律的項(xiàng)，較好的反映出在自然環(huán)境中食餌和捕食者之間的依存和制約關(guān)系。但是卻不能完全的說(shuō)明物種的生存關(guān)系，所以還需要大量學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉漢武，王榮欣.具有性別結(jié)構(gòu)的食餌-捕食者模型[J].2005.

[2]張?zhí)烊?具有兩性的捕食者-食餌模型的漸近形態(tài)[J].2005.

[3]王靜，王克.比率型-捕食者-兩競(jìng)爭(zhēng)食餌模型的動(dòng)力學(xué)行為[J].2004.

作者簡(jiǎn)介：

馮廷碧（1992～），女，貴州人，貴州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生。

基金項(xiàng)目：貴州師范學(xué)院學(xué)生科研項(xiàng)目基金（2014DXS083）。