從一道試題探究圓錐曲線的一組優美性質

北京市第十二中學高中部 (100071) 劉 剛 趙 毅

從一道試題探究圓錐曲線的一組優美性質

北京市第十二中學高中部 (100071)
劉 剛 趙 毅

在2017年1月北京市豐臺區高三期末文科數學出了這樣一道試題：

(1)求橢圓C的方程；

(2)過F且斜率為1的直線交橢圓于M，N兩點，P是直線x=4上任意一點．求證：直線PM，PF，PN的斜率成等差數列．

試題考查了橢圓的標準方程、幾何性質、直線與橢圓的位置關系及坐標法的應用，經過對(2)問的一般化探究及類比推廣，可以得到圓錐曲線的一組優美性質．

注:當m=c時，性質2就變為了性質1，所以性質1是性質2的特例．另外由橢圓類比到雙曲線、拋物線可得性質3與性質4.

(證明可參考性質2的證明過程，限于篇幅，此處省略)

性質4 過點Q(m,0)(m≠0)的直線交拋物線C:y2=2px(p>0)于M，N兩點，P是直線x=-m上任意一點，則直線PM，PQ，PN的斜率成等差數列．

[1]劉剛，趙毅．2016年高考江蘇卷數學14題的探究與啟示[J]．中學數學研究(江西)，2016，9．

[2]劉剛，趙毅．一道以圓為背景的高三聯考試題的探究歷程[J]．中學數學研究(江西)，2016，10．

*本文系北京市豐臺區“十三五”重點課題《新課程背景下高中數學競賽教學研究》(課題批準號：2016237-J)階段成果之一．