談新課標下的立體幾何教學

欒鳳龍

摘要：第一，統一理念，反思立體幾何教學的意義和培養方向。重要的不只是學了多少，而是學到了什么，是否學到了學習的方法和對知識的感悟。第二，化難為易，探究立體幾何學習和轉化的切入點。第三，挖掘教材中實踐性題材，培養學生動手、動腦的情趣及合作意識與創新能力。激發學生接受知識情感的需要和真情感悟，體會合作的快樂，鼓動研究、探索和創造的激情。第四，變換角色，激情、激趣，走下講臺，共同參與。學習是充滿探究、合作、體驗和充滿樂趣的活動，教師不只是當“導演”，有時也需要當演員。

關鍵詞：新課標；立體幾何教學；教師；學生

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）10-0103

立體幾何教學是高中數學教學很基礎、很重要的組成部分，它是在學生認知能力發展基礎上的觀察能力、空間想象能力、分析能力、邏輯思維能力的進一步拓展。就其現實意義而言，比平面幾何更進一步接近生活，更生動、實用，如“不過河用皮尺、測角儀來測量河對岸某建筑物的高度”，“一人沿一定坡度的河堤斜面上與堤腳的水平線成某一角度的夾角的直道上行走，求行走某一距離后上升的高度。”等都是與立體幾何知識生動相關的實例，不勝枚舉。

就其理論而言，它是建立在三維空間或多維空間基礎上，將實體（立體圖形）以平面圖形形式展示，為學生認知。這其中涵蓋了觀察、分析、推理、計算、演示、空間想象、邏輯思維等一系列復雜的認知活動，是在數形結合基礎上的數、形、體在多維空間的演變和發展，這其中蘊涵了思維的收斂性、發散性等思維活動的形成和培養，因此立體幾何是平面幾何知識的升華和再創造。

就高一學生的認知水平而言，絕大部分學生對“形”的認識是基于平面圖形上，對空間的線、面、體的認識往往是抽象的，它需要在平面圖形直觀性基礎上進一步認知、整合和再造，這樣就形成了部分學生的認知障礙，因而如何使立體幾何學習化難為易，學之有法是教學值得研究和探討的問題。

一、統一理念，反思立體幾何教學的意義和培養方向

首先，要明確我們的教育教學是一切從學生的發展和需要出發，以學生學習的潛在性、主動性、差異性為基點，以社會責任感和道德、身心健康及創新精神是學生終身發展最重要的基本素質為宗旨的培養目標。然而，在高考升學壓力之下，難免有急功近利現象，而把教學變成了培養尖子生、重點生的教學，從而忽視了大部分學生的培養，使一些學生成了“弱勢群體”。教學的成功與得失并不在于培養了多少重點大學生，其真正意義在于有多少學生受益，是否在于最大范圍地使更多的學生得到他們有益于今后學習發展所需要的知識以及他們的能力得到最大程度的培養與提高。重要的不只是學到了多少，而是學到了什么，是否學到了學習的方法和對知識的感悟。如果只從升學角度考慮，把它當成一種負擔，甚至為升學不得不完成的任務去完成，就將失去了立體幾何旨在培養學生觀察、分析、空間想象、邏輯思維、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力等，作為今后學習發展以至終身學習的知識儲備的深遠意義。相反，如果把它當成一種終身學習的知識儲備去積累，今后發展與能力的需要去培養，就會為學生今后學習的可持續性發展奠定基礎，就會使學生在情感上樂于接受、鉆研，“樂之者不如好之者”。

二、化難為易，探究立體幾何學習和轉化的切入點

立體幾何的最大特點是把空間的立體圖形靠想象、加工，在平面中來展示，這就使它缺少了平面圖形的直觀性，識圖的方便與簡捷性的特點，計算、推理難而不便。然而，通過研究不難發現，其問題的解決實際上很多都是以平面幾何知識為母板加以轉化來實現的。如長度的計算，線線、線面、面面的平行與垂直等，因此研究立體幾何問題與平面幾何問題的銜接和轉化是認識解決問題的關鍵，筆者暫且把自己在教學中悟得的這種方法叫做“體——面——線——點”法，即尋求將立體圖形問題轉化為平面圖形問題，再在平面圖形中尋求或構造特殊的線，最后分析解決問題運用的知識點。

1. 解決問題常用的圖形與知識點

（1）兩直線平行。如證明線、面平行，面、面平行最終都轉化為證明兩直線平行，兩條異面直線的夾角往往通過將其中的一條或兩條平移成，其中常用的知識點是與中點相關的三角形的中位線、平行四邊形和平行線分線段成比例定理的逆定理等。

例1. “如圖（1）在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=1，DB=2，將△ACD繞CD旋轉至A1CD，使A1與點B之間的距離A1B=■，求異面直線A1C與BD所成角的余弦值。”

就解題思想而言，首先要將兩異面直線A1C、BD進行平移，轉化成一個三角形的兩條邊。其方法有幾種，如，①如圖（2）甲，作CE∥DB且CE=BD，連結BE，A1E，則∠A1CE即為A1C與BD所成角；②如圖（2）乙，作A1E∥DB且A1E=BD，連結DE，CE，則∠CA1E即為A1C與BD所成角；③如圖（2）丙，作邊BC、CD、A1B的中點E、M、N，連結ME，NE，MN，DN，則∠MEN即為A1C與BD所成角；④如圖（2）丁，作DE∥A1C且DE=A1C，連結BE，A1E，則∠BDE即為A1C與BD所成角……

（2）等腰三角形的三線合一

例2. “如圖（3），已知在正三棱錐S-ABC中，高SO=3，底面邊長■■為過棱AB作截面ABD交側棱SC于點D，截面與底面所成二面角為θ，當θ為何值時，SC與平面ADB垂直？”

解決此題的關鍵是作出∠DEC=θ，而做法：（上接第103頁）作CE⊥AB，SO⊥CE，或連結SE，ED，SO⊥CE是因為△ASB，△ABC，△ASC，△SBC都是等腰三角形，依據是等腰三角形的三線合一。

（3）直角三角形及其相關的勾股定理和逆定理

聯系比較多的圖形是矩形及正方形，利用矩形鄰邊的垂直關系及正方形（或菱形）對角線互相垂直平分的關系。如下例圖（4）。

2. 在解題過程中，能夠恰到好處地將相關的立體圖形進行“轉化”是簡單易行的、最直觀的好辦法

（1）化立體圖形為相關的平面圖形的平面轉化法

例3.“如圖（4），S是正方形ABCD所在平面外一點，SA面ABCD，E是SC上一點，SA=4，AB=2，求A到平面SBD的距離”。

此題解題過程中，常規作輔助線的方法是：連結AC，BD，交于點O，連結SO，作AH⊥SO，用到的幾個量是：計算OA，SO，AH這三條線段的長度，而它們的計算都要在具體的圖形矩形ABCD和Rt△SAO中完成，但這些圖形畢竟是空間的，其位置關系（如垂直）等并不直觀，計算易錯，如果將其轉化為圖（4）甲、（4）乙則“海闊天空”。

（2）求點到平面距離的等體積轉化法

在求點到平面的距離時，用從這點向已知平面作高的常規方法去解往往麻煩的多（如例4），有時也很困難，特別是其中的輔助線及其相關線段的量的關系很不直觀，分析、計算、證明等都有一定的難度，如果用等體積轉化法解，往往化難為易，問題變得簡單多了。

（3）利用三角形的中位線或平行四邊形等的平移轉化法

如前面例1（略）；

3. 抓住轉化的關鍵點是理解、記憶、認知的最高境界

如在棱柱知識教學中，抓住了“底面圖形的形狀”及“側棱是否與底面垂直”這兩點就能快速而準確地區別識記各種棱柱。

三、挖掘教材中實踐性題材，培養學生動手、動腦的情趣及合作意識與創新能力

能夠讓學生動起來，即動手、動腦，與教師同學互動等，以較高的熱情積極地參與的最好方法就是走進生活，挖掘教材中實踐性題材，這樣就能更好地做到理論聯系實際，將抽象、枯燥而單調的知識變得生動有趣，增強了學生接受知識的親和力。

四、變換角色，激情、激趣，走下講臺，共同參與

培養學生的合作意識，探索精神和解題責任感，是激發學生的認知情趣的內在動力，教師應該從“傳道、授業、解惑”者的角色及時地轉變成為學習活動中的引導者、參與者，從“點菜者”到“菜單的提供者”，成為學生學習的伙伴。走下講臺，參與到學生的學習活動之中，及時地發現學生的閃光點，并且虛心地向學生學習，使學生體會到學習是一個活動、一個過程、一種體驗、一個與人合作的平臺。同時，通過共同參與，讓學生體會到人人都是受益者，時刻都有人在與自己同行，都有人在幫助自己，也都有人在需要自己去幫助，讓他們體會到自己的主人地位，體會到自己是這個活動中不可缺少的“演員”，從中感悟成功、收獲快樂。

總之，學習是充滿探究、合作、體驗和充滿樂趣的活動，學習需要獨立思考，有時更需要共同參與，這樣才有利于相互促進，共同進步，共同提高。其中，教師在這個過程中不只是當“導演”，有時也需要當演員，學習的方法就如同一部劇本情節發展的構思，它起著非常關鍵的作用。因此，教師不僅要有“導演”的激情，合作意識，更重要的是要有高超的傳授學習方法的技巧。

（作者單位：內蒙古呼倫貝爾市牙克石市第五中學 022150）