學不等式組，悟數學思想

米風

摘要：數學思想是數學的靈魂，是解決數學問題的金鑰匙，學習數學必須體會數學思想方法，而不等式組中蘊涵著豐富的數學思想，現舉例說明，望能對大家有所幫助。

關鍵詞：數學思想；不等式組；教師；學生

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）10-0123

一、數形結合思想

例1. 不等式組2x<02-x≥1的解集在數軸上表示為（ ）

分析：根據不等式組寫出其兩個不等式的解集，再由數軸上所表示的范圍確定不等式組的解集。

解：顯然不等式2x<0的解集是x<0，不等式2-x≥1的解集是x≤1，故不等式組的解集為x<0，所以不等式組2x<02-x≥1的解集在數軸上表示正確的是B。

點評：數形結合思想是一種重要的數學思想，在解不等式組的過程中經常體會到它的應用，運用數軸能方便我們找出不等式組的解集。

二、整體思想

例2. 已知x+2y=4k2x+y=2k+3，且1

。

分析：要求k的取值范圍，就要根據條件構造出關于k的不等式組，將方程組中兩個方程相加后再除以3就得到x+y=2k+1，然后將x+y看成一個整體，整體代入到不等式組1

解：將方程組中兩個方程相加得3x+3y=6k+3，即x+y=2k+1，將其整體代入不等式組1

點評：本題兩次運用了整體思想，一是將方程組中兩個方程相加，二是將2k+1整體代入，這樣比解方程組再代入更簡捷。

三、分類討論思想

例3. 如果不等式組x<3m+2x<4m+1的解集為x<-1，那么m= 。

分析：根據不等式組的解集“小小取小”的確定方法可知不等式組x<3m+2x<4m+1的解集不是x<3m+2就是x<4m+1，因為m 的值不確定，所以3m+2與4m+1的大小無法比較，所以需從不等式組的解集為x<-1入手進行分類討論。

解：若3m+2=-1，則m=-1，4m+1=-3，這時不等式組的解集是x<-3與題設矛盾，故m≠-1；若4m+1=-1，則m=-■，3m+2=■，這時不等式組的解集是x<-1與題設相符，故m=-■。

點評：當問題出現多種情況時，應注意進行分類討論，避免出現錯誤或漏解。

四、轉化思想

例4. 若關于x的不等式組x-a+2>0x-2a-3<0無解，求a的取值范圍。

分析：先將關于x的不等式組進行化簡，再由不等式組x-a+2>0x-2a-3<0無解的條件轉化為關于a的不等式，從而再解關于a的不等式，得出a的取值范圍。

解：原不等式組可化為x>a-2x<2a+3，∵不等式組x-a+2>0x-2a-3<0無解，∴a-2≥2a+3，解得a≤-5，即a的取值范圍是a≤-5。

點評：根據不等式組的解集“大大小小，矛盾無解” 的確定方法將不等式組轉化為不等式，然后再解不等式，從而確定a的取值范圍，將不等式組轉化為不等式或方程組是常常出現的，當然本題也可從反面考慮，先得出不等式組有解時a的取值范圍，然后再加以否定得出不等式組無解時a的取值范圍，體現逆向思維的思想。

五、方程思想

例5. 若關于x的不等式組2x-m<33x+2m≥n的解集是1≤x<2，求（m、n）2。

分析：先解關于x的不等式組，然后對照條件1≤x<2列出關于m、n的方程組求出m、n后再代入求值。

解：原不等式組可化為x<■x≥■，∵關于x的不等式組2x-m<33x+2m≥n的解集是1≤x<2，∴不等式組的解集是■≤x<■。從而有■=2■=1，∴m=1n=5，（m、n）2=16。

點評：方程思想和轉化思想常常同時運用。

六、建模思想

例6. 某中學開學初到商場購買A、B兩種品牌的足球，購買A種品牌的足球50個，購買B種品牌的足球25個，共花費4500元，已知購買一個B種品牌的足球比購買一個A種品牌的足球多花30元。

（1）求購買一個A種品牌、一個B種品牌的足球各需多少元？

（2）學校為了響應習總書記“足球進校園”的號召，決定再次購進A、B兩種品牌足球共50個，正好趕上商場對商品價格進行調整，A品牌足球售價比第一次購買時提高4元，B品牌足球按第一次購買時售價的九折出售，如果學校此次購買A、B兩種品牌足球的總費用不超過第一次花費的70%，且保證這次購買的B種品牌足球不少于23個，則這次學校有哪幾種購買方案？

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（3）請你求出學校在第二次購買活動中最多需要多少資金？

分析：（1）設購買一個A品牌足球需要x元，購買一個B品牌足球需要y元，根據題意得到關于x、y的方程組，從而求解。

（2）設第二次購買A種足球m個，則購買B種足球（50-m）個，根據題意列出不等式組，從而求解。

（3）計算（2）中各種購買方案需要的資金，從而確定最多需要多少資金。

解：（1）設購買一個A種品牌足球的單價為x元，購買一個B種品牌足球的單價為y元，根據題意得方程組50x+25y=4500y=x+3，解得x=50y=80，即A種品牌足球的單價為50元，B種品牌足球的單價為80元。

（2）設第二次購買A種足球m個，則購買B種足球（50-m）個，根據題意得不等式組（50+4）m+80×90%（50-m）≤4500×70%50-m≥23，解得25≤m≤27，∵m表示A種品牌足球的個數，∴m為整數，m=25或26或27.故這次學校購買足球有三種方案，方案1：購買A種足球25個，購買B種足球25個；方案2：購買A種足球26個，購買B種足球24個；方案3：購買A種足球27個，購買B種足球23個。

（3）∵第二次購買A種足球的單價為50+4=54元，B種品牌足球的單價為80×90%=72元，∴當購買方案中B種品牌足球最多時，費用最高，即方案1花錢最多，54×25+72×25=3150（元），即：學校在第二次購買活動中最多需要資金3150元。

點評：本題主要考查二一元一次方程組和一元一次不等式組的應用，根據題意建立一元一次不等式組模型是解決本題的關鍵。

（作者單位：江蘇省姜堰區婁莊中學 225506）