仿射變換

張景中

仿射變換最重要的性質(zhì)是保持點(diǎn)的共線性（或共面性）以及保持直線的平行性。

有的玻璃窗的外框是正方形的。陽(yáng)光透窗而入，落在地板上，外框的影子卻未必是正方形的了。但是也不會(huì)變成圓形或三角形。這影子是一個(gè)平行四邊形。

在玻璃上畫一個(gè)幾何圖形，陽(yáng)光會(huì)把這個(gè)幾何圖形“印”到地板上。但是樣子變了。

太陽(yáng)離地球很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)。所以照在玻璃窗上的一束太陽(yáng)光，可以當(dāng)成平行光束。在平行光束投射之下，玻璃上的幾何圖形和它的影子可以大不一樣。

你可能注意到：正午，你的影子很短；傍晚。你的影子很長(zhǎng)。

正方形的影子不一定是正方形。圖形里的角和影子里的角也不一定一樣。

這種圖形變換，變得比旋轉(zhuǎn)、平移、反射都厲害，它能改變兩點(diǎn)之間的距離。變得比“按比例放大、縮小”更厲害，它能改變兩直線之間的夾角。

數(shù)學(xué)家把這種變換叫“仿射變換”。

長(zhǎng)短可以改變，角度也可以改變。玻璃上的幾何圖形和它的影子之間還有什么共同之處呢？

共同之處還不少呢！

直線的影子還是直線。確切地說(shuō)，線段的影子還是線段。因?yàn)椴Ａ袭嫴幌乱徽麠l直線。

線段的中點(diǎn)還是中點(diǎn)。也就是說(shuō)，如果玻璃上有一條線段AB，AB的中點(diǎn)是M，AB的影子是AB，M的影子是M，則M也是AB的中點(diǎn)。

平行線的影子還是平行線。

平行四邊形的影子還是平行四邊形。

三角形的影子還是三角形。

圓變成什么樣子了呢？

圓可能變扁。用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)說(shuō)。圓變成了橢圓。

什么是橢圓？

一根圓木棒，用鋸子斜著鋸斷，斷面就是橢圓。