抓住規(guī)律類(lèi)推坐標(biāo)

黃細(xì)把

解決類(lèi)推點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住規(guī)律。

學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系后，有時(shí)會(huì)遇到一類(lèi)按一定規(guī)律變化的點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題。這類(lèi)題往往告訴同學(xué)們其中一個(gè)點(diǎn)或一些點(diǎn)的坐標(biāo)。要求確定另外特定點(diǎn)的坐標(biāo)。解答這種類(lèi)推點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先確定前幾次變化的若干點(diǎn)的坐標(biāo)，再細(xì)心觀察它們橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的特點(diǎn)。將隱含的規(guī)律分別找出來(lái)。

例1 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)A第一次跳至點(diǎn)A₁（-1，1），第二次跳至點(diǎn)A₂（2，1），第三次跳至點(diǎn)A₃（-2，2），第四次跳至點(diǎn)A₄（3，2）……，依此規(guī)律跳下去，點(diǎn)A第100次跳至點(diǎn)A₁₀₀，其坐標(biāo)是____。

解析：對(duì)點(diǎn)A而言，經(jīng)過(guò)第奇數(shù)次跳后到達(dá)的點(diǎn)都在第二象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)恰好互為相反數(shù)：經(jīng)過(guò)第偶數(shù)次跳后到達(dá)的點(diǎn)都在第一象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)比縱坐標(biāo)多1。

因?yàn)辄c(diǎn)A₂（2，1）的縱坐標(biāo)為1，點(diǎn)A₄（3，2）的縱坐標(biāo)為2，點(diǎn)A₆（4，3）的縱坐標(biāo)為3……，所以點(diǎn)A₁₀₀的縱坐標(biāo)為100÷2=50。

所以點(diǎn)A₁₀₀的坐標(biāo)為（51，50）。

例2 在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P（x，y），我們把點(diǎn)P（-y+1，x+1）叫作點(diǎn)P的伴隨點(diǎn)。已知點(diǎn)A₁的伴隨點(diǎn)為A₂，點(diǎn)A₂的伴隨點(diǎn)為A₃，點(diǎn)A₃的伴隨點(diǎn)為A₄……，這樣依次得到點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…，A_n，若點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（3，1），則點(diǎn)A₂₀₁₄的坐標(biāo)為_(kāi)___。

解析：根據(jù)伴隨點(diǎn)的定義，依次求出前幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。

因?yàn)辄c(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（3，1），-1+1=0，3+1=4，所以點(diǎn)A₂的坐標(biāo)為（0，4）。因?yàn)?+1=-3，0+1=l，故點(diǎn)A₃的坐標(biāo)為（-3，1）。因?yàn)?1+1=0，-3+1=-2，故點(diǎn)A₄的坐標(biāo)為（0，-2）。因?yàn)?+1=3，0+1=1，故點(diǎn)A₅的坐標(biāo)為（3，1）。

所以點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…，A_n的坐標(biāo)依次按照（3，1），（0，4），（-3，1），（0，-2）的順序循環(huán)。

因?yàn)? 014÷4=503……2，所以點(diǎn)A₂₀₁₄的坐標(biāo)與點(diǎn)A₂的坐標(biāo)相同，為（0，4）。

例3 如圖2。長(zhǎng)方形BCDE的各邊分別平行于x軸或y軸。物體甲和物體乙從點(diǎn)A（2，0）同時(shí)出發(fā)，沿長(zhǎng)方形BCDE的邊作環(huán)繞運(yùn)動(dòng)。物體甲按逆時(shí)針?lè)较蛞?個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，物體乙按順時(shí)針?lè)较蛞?個(gè)單位長(zhǎng)度，秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，則兩個(gè)物體第2012次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）。

A.（2，0） B.（-1，1）

C.（-2，1） D.（-1，-1）

解析：從計(jì)算前幾次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)人手。

因?yàn)殚L(zhǎng)方形BCDE的長(zhǎng)為4，寬為2，所以長(zhǎng)方形BCDE的周長(zhǎng)為12。

因?yàn)槲矬w甲按逆時(shí)針?lè)较蛞?個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)。物體乙按順時(shí)針?lè)较蛞?個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)。所以兩個(gè)物體第一次相遇的時(shí)間為12÷（1+2）=4（秒），然后每過(guò)4秒相遇一次。

因?yàn)槲矬w甲的速度是1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，所以物體甲每運(yùn)動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度就與物體乙相遇一次。

所以兩個(gè)物體第1次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，1），第2次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，-1），第3次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），第4次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，1）……

所以兩個(gè)物體相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)依次按照（-1，1），（-1，-1），（2，0）的順序循環(huán)。

因?yàn)?012÷3=670……2。所以第2012次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)與第2次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)相同，為（-1，-1），應(yīng)選D。

例4 在平面直角坐標(biāo)系中?？酌髯鲎咂宓挠螒颉Ｆ渥叻ㄊ牵簭脑c(diǎn)出發(fā)。第1步向右走1個(gè)單位長(zhǎng)度。第2步向右走2個(gè)單位長(zhǎng)度，第3步向上走1個(gè)單位長(zhǎng)度，第4步向右走1個(gè)單位長(zhǎng)度……，依此類(lèi)推，第n步的走法是：當(dāng)n能被3整除時(shí)。則向上走1個(gè)單位長(zhǎng)度；當(dāng)n被3除，余數(shù)為1時(shí)。則向右走1個(gè)單位長(zhǎng)度；當(dāng)n被3除，余數(shù)為2時(shí)。則向右走2個(gè)單位長(zhǎng)度。走第100步后。棋子所處位置的坐標(biāo)是（ ）。

A.（66，34） B.（67，33）

C.（100，33） D.（99，34）

解析：按規(guī)定的走法，依次寫(xiě)出走前幾步后，棋子所處位置的坐標(biāo)。

因?yàn)槠遄拥钠鹗嘉恢檬窃c(diǎn)，所以走第1步后，棋子所處位置的坐標(biāo)是（1，0）；走第2步后，棋子所處位置的坐標(biāo)是（3，0）；走第3步后，棋子所處位置的坐標(biāo)是（3，1）；走第4步后，棋子所處位置的坐標(biāo)是（4，1）；走第5步后，棋子所處位置的坐標(biāo)是（6，1）：走第6步后，棋子所處位置的坐標(biāo)是（6，2）。

所以棋子走第3n步后。棋子所處位置的坐標(biāo)是（3n，n）；走第（3n+1）步后，棋子所處位置的坐標(biāo)是（3n+1，n）；走第（3n+2）步后，棋子所處位置的坐標(biāo)是（3n+3，n）。

因?yàn)?9=3×33，100=3×33+l，所以走第99步后，棋子所處位置的坐標(biāo)是（99，33），走第100步后，棋子所處的位置的坐標(biāo)是（100，33），應(yīng)選C。

練一練

（綏化市中考題）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2）。把一根長(zhǎng)為2 014個(gè)單位長(zhǎng)度且沒(méi)有彈性的細(xì)線（線的粗細(xì)忽略不計(jì)）的一端固定在點(diǎn)A處。并按A→B→C→D→A→…的規(guī)律緊繞在四邊形ABCD的邊上，則細(xì)線的另一端所在位置的坐標(biāo)是____。

參考答案：（-1，-1）

責(zé)任編輯：胡云志