抓住規律類推坐標

黃細把

解決類推點的坐標問題的關鍵是抓住規律。

學習了平面直角坐標系后，有時會遇到一類按一定規律變化的點的坐標問題。這類題往往告訴同學們其中一個點或一些點的坐標。要求確定另外特定點的坐標。解答這種類推點的坐標問題時，應先確定前幾次變化的若干點的坐標，再細心觀察它們橫坐標和縱坐標的特點。將隱含的規律分別找出來。

例1 如圖1，在平面直角坐標系中有點A（1，0），點A第一次跳至點A₁（-1，1），第二次跳至點A₂（2，1），第三次跳至點A₃（-2，2），第四次跳至點A₄（3，2）……，依此規律跳下去，點A第100次跳至點A₁₀₀，其坐標是____。

解析：對點A而言，經過第奇數次跳后到達的點都在第二象限內，其橫坐標與縱坐標恰好互為相反數：經過第偶數次跳后到達的點都在第一象限內，其橫坐標比縱坐標多1。

因為點A₂（2，1）的縱坐標為1，點A₄（3，2）的縱坐標為2，點A₆（4，3）的縱坐標為3……，所以點A₁₀₀的縱坐標為100÷2=50。

所以點A₁₀₀的坐標為（51，50）。

例2 在平面直角坐標系中，對于點P（x，y），我們把點P（-y+1，x+1）叫作點P的伴隨點。已知點A₁的伴隨點為A₂，點A₂的伴隨點為A₃，點A₃的伴隨點為A₄……，這樣依次得到點A₁，A₂，A₃，…，A_n，若點A₁的坐標為（3，1），則點A₂₀₁₄的坐標為____。

解析：根據伴隨點的定義，依次求出前幾個點的坐標。

因為點A₁的坐標為（3，1），-1+1=0，3+1=4，所以點A₂的坐標為（0，4）。因為4+1=-3，0+1=l，故點A₃的坐標為（-3，1）。因為-1+1=0，-3+1=-2，故點A₄的坐標為（0，-2）。因為2+1=3，0+1=1，故點A₅的坐標為（3，1）。

所以點A₁，A₂，A₃，…，A_n的坐標依次按照（3，1），（0，4），（-3，1），（0，-2）的順序循環。

因為2 014÷4=503……2，所以點A₂₀₁₄的坐標與點A₂的坐標相同，為（0，4）。

例3 如圖2。長方形BCDE的各邊分別平行于x軸或y軸。物體甲和物體乙從點A（2，0）同時出發，沿長方形BCDE的邊作環繞運動。物體甲按逆時針方向以1個單位長度/秒的速度勻速運動，物體乙按順時針方向以2個單位長度，秒的速度勻速運動，則兩個物體第2012次相遇地點的坐標是（ ）。

A.（2，0） B.（-1，1）

C.（-2，1） D.（-1，-1）

解析：從計算前幾次相遇地點的坐標人手。

因為長方形BCDE的長為4，寬為2，所以長方形BCDE的周長為12。

因為物體甲按逆時針方向以1個單位長度/秒的速度勻速運動。物體乙按順時針方向以2個單位長度/秒的速度勻速運動。所以兩個物體第一次相遇的時間為12÷（1+2）=4（秒），然后每過4秒相遇一次。

因為物體甲的速度是1個單位長度/秒，所以物體甲每運動4個單位長度就與物體乙相遇一次。

所以兩個物體第1次相遇地點的坐標為（-1，1），第2次相遇地點的坐標為（-1，-1），第3次相遇地點的坐標為（2，0），第4次相遇地點的坐標為（-1，1）……

所以兩個物體相遇地點的坐標依次按照（-1，1），（-1，-1），（2，0）的順序循環。

因為2012÷3=670……2。所以第2012次相遇地點的坐標與第2次相遇地點的坐標相同，為（-1，-1），應選D。

例4 在平面直角坐標系中。孔明做走棋的游戲。其走法是：從原點出發。第1步向右走1個單位長度。第2步向右走2個單位長度，第3步向上走1個單位長度，第4步向右走1個單位長度……，依此類推，第n步的走法是：當n能被3整除時。則向上走1個單位長度；當n被3除，余數為1時。則向右走1個單位長度；當n被3除，余數為2時。則向右走2個單位長度。走第100步后。棋子所處位置的坐標是（ ）。

A.（66，34） B.（67，33）

C.（100，33） D.（99，34）

解析：按規定的走法，依次寫出走前幾步后，棋子所處位置的坐標。

因為棋子的起始位置是原點，所以走第1步后，棋子所處位置的坐標是（1，0）；走第2步后，棋子所處位置的坐標是（3，0）；走第3步后，棋子所處位置的坐標是（3，1）；走第4步后，棋子所處位置的坐標是（4，1）；走第5步后，棋子所處位置的坐標是（6，1）：走第6步后，棋子所處位置的坐標是（6，2）。

所以棋子走第3n步后。棋子所處位置的坐標是（3n，n）；走第（3n+1）步后，棋子所處位置的坐標是（3n+1，n）；走第（3n+2）步后，棋子所處位置的坐標是（3n+3，n）。

因為99=3×33，100=3×33+l，所以走第99步后，棋子所處位置的坐標是（99，33），走第100步后，棋子所處的位置的坐標是（100，33），應選C。

練一練

（綏化市中考題）如圖3，在平面直角坐標系中，已知點A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2）。把一根長為2 014個單位長度且沒有彈性的細線（線的粗細忽略不計）的一端固定在點A處。并按A→B→C→D→A→…的規律緊繞在四邊形ABCD的邊上，則細線的另一端所在位置的坐標是____。

參考答案：（-1，-1）

責任編輯：胡云志