立足教材 培養學生的探究能力

郎建林

培養學生的探究能力是新課標所倡導的一個重要理念，如何立足教材、利用課本題為學生提供探究的平臺，提高學生的探究能力？是我們在教學中值得探討和研究的問題，下面僅以一例說明本人的初步做法，供大家在教學中參考。

在人教A版高中必修（二）2.3.2平面與平面垂直的判定的教學中，我給學生的課堂練習題就是69頁的課本題，題目是：如圖，正方形 中，E、F分別是 、 的中點，D是EF的中點，現在沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使 、 、 三點重合，重合后的點記為G，則在四面體 中必有（ ）

A. 所在平面 B. 所在平面

C. 所在平面 D. 所在平面

在學生完成課堂練習的基礎上，增加條件：正方形 的邊長為 ，讓學生課后以小組為單位，探究4個問題，下一節課在課堂上展示探究結果。探究不設定路徑，不給出結果，讓學生自由發揮，培養他們的探討能力，想象能力和創造能力。現將課堂上展示的探究結果歸納如下：

探究Ⅰ：探究點G在平面SEF上的射影點O的位置，并求出OG的長度？

探究結果1：連接EO、FO并延長分別交SF、SE于點M、H，易證SG⊥平面GEF，所以SG⊥EF，SO是SG在平面SEF上的射影，因此SO⊥EF，同理FO⊥SE，故點O是△SEF的垂心，故 。

教師點評：上述結果表明、三棱錐的三條側棱兩兩垂直，頂點在底面上的射影是底面三角形的垂心，注意掌握直角三角形斜邊上的高的計算方法。

探究結果2：因為GE=GF，所以OE=OF，點O在線段EF的垂直平分線SD上，按探究結果1的方法求得 ，從而 ， ， ，故點O是SD上靠近D的一個八等分點， 。

教師點評：將點O的位置定位在線段的垂直平分線上，再用線段SD的等分點描述其準確位置。

探究結果3：因為GF⊥平面SGE，所以GF⊥SE，其射影FO⊥SE，點O在△FSE的高線FH上；同理點O也在△ESF的高線EM上；故點O是△SEF的垂心。OG是Rt△GFH斜邊上的高，故 。

教師點評：視角不同，方法與結果1類似。

探究結果4：因為∠GSE=∠GSF，所以點O在∠ESF的角平分線SD上，將OG視為三棱錐G-SEF的高，由 ，求得 ， ，故點O到點S的距離為 。

教師點評：用體積變換法求距離及描述點O的位置的方法，都值得借鑒和把握。

探究結果5：易證平面GSD⊥平面SEF，點O在兩平面的交線SD上，在Rt△SGD中，由 得 ， ，故點O在SD上，且 ， 。

教師點評：用面面垂直的性質判定垂足O的位置非常重要，在直角三角形中根據射影定理進行計算值得參考。

探究Ⅱ：探究GS、GE與平面SEF所成角的一種三角函數值？

探究結果1：由探究Ⅰ中的結論知，在Rt△SOG和Rt△EOG中， ， 。

教師點評：直接根據線面角的定義，按一作二證三計算的步驟完成，思路清晰。

探究結果2：在Rt△SGD和Rt△EGM中， ， 。

教師點評：將所求角放在另一個容易計算的三角形中考查，可達到簡化計算的目的。

探究結果3：用體積變換法直接求出 ，不作而求直接得到GS、GE與平面SEF所成角 、 的正弦值分別為 ， 。

教師點評：用體積變換法直接求出斜線上一點到平面的距離，可達到不作而求的目的。

探究Ⅲ：探究二面角 和二面角G-EF-S的一種三角函數值？

探究結果1：由探究Ⅰ知，上述二面角的平面角分別為∠GHO和∠GDO， ， 。

教師點評：抓住垂線段GO，尋找二面角的平面角，這是作二面角平面角最重要的基本方法。

探究結果2：因為△SEF和△GEF均為等腰三角形，點D是底邊EF的中點，所以二面角G-EF-S的平面角為∠GDS， 。

因為FG⊥平面GSE，過點E作GH⊥SE，連接FH，易證二面角G-SE-F的平面角為∠GHF， 。

教師點評：抓住兩個等腰三角形，用連接特殊點法找到平面角，抓住垂線段FG找平面角與結果1類似。

探究結果3：設上述二面角的平面角分別為 、 ，根據公式法得到 ， 。

教師點評：按 計算運算量就要大一些。變換視角，靈活運用公式，按上述方法，顯然減少了計算量。

探究Ⅳ：探究三棱錐G-SEF的外接球和內切球半徑？

探究結果：將三棱錐G-SEF視為長方體截下的一個角，則其外接球就是長方體的外接球，半徑 。

設三棱錐G-SEF的內切球球心為 ，則三棱錐可分割成以 為頂點，以三棱錐的四個面為底面的四個小三棱錐。這四個小三棱錐的高均為三棱錐G-SEF的內切球半徑 ，所以 ，即

，由此得 。

教師點評：將三棱錐放到長方體中求其外接球半徑，將三棱錐分割后用等積法求內切球半徑，這是立體幾何中割補轉化的思想方法，同學們要認真體會和把握。

通過挖掘課本題的探究功能，為學生提供了探究的平臺，使學生的探究能力和解題能力得到提升，可達到激發興趣，增強信心，歸納思想方法，優化思維品質的教學目的。