豎式是個(gè)“超級(jí)符號(hào)”

李俊

數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，計(jì)算又是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最重要的基礎(chǔ)，而筆算則是進(jìn)行復(fù)雜計(jì)算的一種重要方法。豎式既是筆算的外在形式，也是筆算的有效載體。深刻挖掘豎式的內(nèi)涵，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)豎式其實(shí)是一個(gè)“超級(jí)符號(hào)”。下面以人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）”試論之。

一、“可怕的”豎式

從兩位數(shù)乘兩位數(shù)開始，豎式變得“可怕了”。很多學(xué)生在初學(xué)該內(nèi)容的時(shí)候都會(huì)出現(xiàn)各式各樣的奇葩錯(cuò)誤（如圖1～4）：

從學(xué)生的錯(cuò)誤中不難看出，很多學(xué)生都依托多位數(shù)加減法或是多位數(shù)乘一位數(shù)的筆算方法進(jìn)行“遷移”，但這些“遷移”都不靈了！這是怎么回事？

一時(shí)間，老師、學(xué)生仿佛都對(duì)豎式產(chǎn)生了深深的恐懼——豎式真可怕！

二、“簡潔的”豎式

豎式如此恐懼，為什么還要學(xué)習(xí)豎式呢？我們先來對(duì)比教材中口算與筆算的異同（如圖5）：

相同點(diǎn)：都是算出10個(gè)24的和與2個(gè)24的和，再相加。

不同點(diǎn)：一是口算一般從高位算起，筆算一般從低位算起；二是口算用了三道算式，而筆算只用了一道算式。

通過對(duì)比我們發(fā)現(xiàn)：豎式與口算過程的算理完全相同，但形式上更加簡潔。而簡潔美，正是數(shù)學(xué)的重要特征和需要追求的目標(biāo)嘛？

因此，豎式雖然“可怕”，但還非學(xué)不可！

三、“復(fù)雜的”豎式

以往很簡單的豎式，現(xiàn)在怎么變得這么難了？因?yàn)閺膬晌粩?shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）開始，進(jìn)入小學(xué)階段豎式的一次大“升級(jí)”。

很多老師可能都有同感：這節(jié)課的教學(xué)中，由口算過程過渡到理解豎式算理并不難，似乎都是水到渠成之事。但明白了算理，怎么學(xué)生還是算錯(cuò)了呢？原因就在于豎式的復(fù)雜性。具體體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

1.合并與拆分。

兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式其實(shí)可以看作是由三個(gè)豎式合并而成（如圖6）：

認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，在進(jìn)行豎式計(jì)算的時(shí)候首先就要做好“拆分工作”，但這種拆分又不能真的寫成兩道乘法算式，最后再相加（其實(shí)分開也無不可，這里說的“不能”僅僅指豎式的形式要求而言）。所以就要把一道乘法算式當(dāng)做兩道乘法來做（如圖7、圖8）：

大家不難發(fā)現(xiàn)：其中第一個(gè)因數(shù)（被乘數(shù)）用到了兩次，而第二個(gè)因數(shù)（乘數(shù)）被拆分成兩個(gè)“一位數(shù)”分別用到一次。這一點(diǎn)與口算過程完全相同，但形式更加“隱蔽”了。正是這種隱蔽性增加了兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式的難度，讓一些抽象思維能力弱的學(xué)生難以掌握。

2.計(jì)算與計(jì)數(shù)。

在進(jìn)行兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法第二步計(jì)算的時(shí)候，部分學(xué)生一開始會(huì)出現(xiàn)對(duì)位不正確的現(xiàn)象（如圖3）。原因是學(xué)生在這個(gè)豎式中，計(jì)算與計(jì)數(shù)的關(guān)系沒有理解好。在第二步計(jì)算的時(shí)候，口算過程中很明確是24×10=240，而豎式中多數(shù)時(shí)候我們卻把它當(dāng)作24×1了。而這個(gè)“1”代表的是1個(gè)十，所以得數(shù)是24個(gè)十，也就是240。當(dāng)我們簡寫為“24”的時(shí)候，末位上的“4”要對(duì)齊十位。這種用比擬的方式來簡化計(jì)算，又用真實(shí)的數(shù)值來計(jì)數(shù)，無疑是兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式的又一個(gè)難點(diǎn)。

3.遷移與變通。

明白了以上兩點(diǎn)，就不難理解為什么利用舊知識(shí)進(jìn)行“遷移”會(huì)不靈了。因?yàn)樵谶w移過程中，學(xué)生忽視了兩個(gè)最重要的知識(shí) “新接口”：一是豎式由“單式”升級(jí)為“復(fù)式”，需要三個(gè)“回合”才能完成一道兩位數(shù)乘兩位的計(jì)算；二是豎式中的計(jì)算與計(jì)數(shù)“真真假假”，在進(jìn)行第二步計(jì)算的時(shí)候，為了簡便把它當(dāng)作兩位數(shù)乘一位數(shù)，但在書寫計(jì)算結(jié)果的時(shí)候又要還原為兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)。這就是學(xué)習(xí)本節(jié)課在遷移過程中需要注意的兩個(gè)變通之處。

至此，完全可以理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式是一個(gè)“超級(jí)符號(hào)”了——它用簡明的形式規(guī)定了復(fù)雜運(yùn)算的程序、規(guī)則，使復(fù)雜的口算過程變得更加簡潔。

四、“深刻的”豎式

明白了豎式是一個(gè)“超級(jí)符號(hào)”，我們就更容易深刻理解計(jì)算教學(xué)的某些特性了：

1.計(jì)算依托于計(jì)數(shù)。

計(jì)算其實(shí)就是計(jì)數(shù)方法的應(yīng)用與簡化，它必須依托于計(jì)數(shù)。因此，豎式其實(shí)是在一個(gè)隱形的數(shù)位順序表中進(jìn)行的（如圖9～12）。

可見，在計(jì)算教學(xué)中，需要教師培養(yǎng)學(xué)生時(shí)刻在頭腦中形成一個(gè)隱形數(shù)位順序表的習(xí)慣和能力。這在后續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)的意義和小數(shù)加減乘除法的筆算中也顯得格外重要。

2.算理外顯為算法。

算理與算法互為表里。算理為計(jì)算的“內(nèi)核”，它解決的是計(jì)算合理性的問題；而算法為計(jì)算的“外殼”，它解決的是計(jì)算程序性的問題。兩位數(shù)乘兩位數(shù)，在小學(xué)階段采用的算理是應(yīng)用乘法分配律（雖然三年級(jí)尚未學(xué)習(xí)，但結(jié)合具體的生活情境進(jìn)行理解）將其拆分成兩道兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘法進(jìn)行計(jì)算，再求和。對(duì)應(yīng)豎式計(jì)算，就是兩個(gè)“回合”的乘法計(jì)算（如圖7、8），再求和。

如果用初中整式相乘的形式，24×12可表示為（20+4）×（10+2）=20×10+20×2+4×10+4×2。這樣的算理，則更利于對(duì)應(yīng)“格子算法”（圖13）。

利用矩形圖，也能更好地理解四個(gè)單項(xiàng)式的計(jì)算結(jié)果（如圖14）。

可見，不同的算法源自不同的算理。算法與算理相匹配，才能更有利于學(xué)生對(duì)計(jì)算知識(shí)和技能的理解掌握。

3.遷移需要變通。

遷移是學(xué)習(xí)的一種重要方法，但在遷移過程中很多時(shí)候需要加以變通。遷移解決的是新舊知識(shí)“銜接”的問題，變通則是解決新舊知識(shí)“分化”的問題。教會(huì)學(xué)生在遷移中變通，就能讓舊知識(shí)生成更多新知識(shí)。再把諸多新知識(shí)同化到“原認(rèn)知”結(jié)構(gòu)中，就能把知識(shí)“串點(diǎn)成線”“織線成網(wǎng)”，把零散的知識(shí)碎片整合為結(jié)構(gòu)合理的知識(shí)群，在解決實(shí)際問題中靈活應(yīng)用。

綜上所述，豎式是個(gè)“超級(jí)符號(hào)”。它蘊(yùn)含著豐富而深刻的內(nèi)涵，值得我們深入挖掘，在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中譜寫更美的華章。

◇責(zé)任編輯：徐新亮◇

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