豎式是個“超級符號”

李俊

數學是一門基礎學科，計算又是學習數學最重要的基礎，而筆算則是進行復雜計算的一種重要方法。豎式既是筆算的外在形式，也是筆算的有效載體。深刻挖掘豎式的內涵，我們會發現豎式其實是一個“超級符號”。下面以人教版數學三年級下冊“兩位數乘兩位數（不進位）”試論之。

一、“可怕的”豎式

從兩位數乘兩位數開始，豎式變得“可怕了”。很多學生在初學該內容的時候都會出現各式各樣的奇葩錯誤（如圖1～4）：

從學生的錯誤中不難看出，很多學生都依托多位數加減法或是多位數乘一位數的筆算方法進行“遷移”，但這些“遷移”都不靈了！這是怎么回事？

一時間，老師、學生仿佛都對豎式產生了深深的恐懼——豎式真可怕！

二、“簡潔的”豎式

豎式如此恐懼，為什么還要學習豎式呢？我們先來對比教材中口算與筆算的異同（如圖5）：

相同點：都是算出10個24的和與2個24的和，再相加。

不同點：一是口算一般從高位算起，筆算一般從低位算起；二是口算用了三道算式，而筆算只用了一道算式。

通過對比我們發現：豎式與口算過程的算理完全相同，但形式上更加簡潔。而簡潔美，正是數學的重要特征和需要追求的目標嘛？

因此，豎式雖然“可怕”，但還非學不可！

三、“復雜的”豎式

以往很簡單的豎式，現在怎么變得這么難了？因為從兩位數乘兩位數（不進位）開始，進入小學階段豎式的一次大“升級”。

很多老師可能都有同感：這節課的教學中，由口算過程過渡到理解豎式算理并不難，似乎都是水到渠成之事。但明白了算理，怎么學生還是算錯了呢？原因就在于豎式的復雜性。具體體現在以下三個方面：

1.合并與拆分。

兩位數乘兩位數的豎式其實可以看作是由三個豎式合并而成（如圖6）：

認識到這一點，在進行豎式計算的時候首先就要做好“拆分工作”，但這種拆分又不能真的寫成兩道乘法算式，最后再相加（其實分開也無不可，這里說的“不能”僅僅指豎式的形式要求而言）。所以就要把一道乘法算式當做兩道乘法來做（如圖7、圖8）：

大家不難發現：其中第一個因數（被乘數）用到了兩次，而第二個因數（乘數）被拆分成兩個“一位數”分別用到一次。這一點與口算過程完全相同，但形式更加“隱蔽”了。正是這種隱蔽性增加了兩位數乘兩位數豎式的難度，讓一些抽象思維能力弱的學生難以掌握。

2.計算與計數。

在進行兩位數乘兩位數筆算乘法第二步計算的時候，部分學生一開始會出現對位不正確的現象（如圖3）。原因是學生在這個豎式中，計算與計數的關系沒有理解好。在第二步計算的時候，口算過程中很明確是24×10=240，而豎式中多數時候我們卻把它當作24×1了。而這個“1”代表的是1個十，所以得數是24個十，也就是240。當我們簡寫為“24”的時候，末位上的“4”要對齊十位。這種用比擬的方式來簡化計算，又用真實的數值來計數，無疑是兩位數乘兩位數豎式的又一個難點。

3.遷移與變通。

明白了以上兩點，就不難理解為什么利用舊知識進行“遷移”會不靈了。因為在遷移過程中，學生忽視了兩個最重要的知識 “新接口”：一是豎式由“單式”升級為“復式”，需要三個“回合”才能完成一道兩位數乘兩位的計算；二是豎式中的計算與計數“真真假假”，在進行第二步計算的時候，為了簡便把它當作兩位數乘一位數，但在書寫計算結果的時候又要還原為兩位數乘整十數。這就是學習本節課在遷移過程中需要注意的兩個變通之處。

至此，完全可以理解兩位數乘兩位數的豎式是一個“超級符號”了——它用簡明的形式規定了復雜運算的程序、規則，使復雜的口算過程變得更加簡潔。

四、“深刻的”豎式

明白了豎式是一個“超級符號”，我們就更容易深刻理解計算教學的某些特性了：

1.計算依托于計數。

計算其實就是計數方法的應用與簡化，它必須依托于計數。因此，豎式其實是在一個隱形的數位順序表中進行的（如圖9～12）。

可見，在計算教學中，需要教師培養學生時刻在頭腦中形成一個隱形數位順序表的習慣和能力。這在后續學習小數的意義和小數加減乘除法的筆算中也顯得格外重要。

2.算理外顯為算法。

算理與算法互為表里。算理為計算的“內核”，它解決的是計算合理性的問題；而算法為計算的“外殼”，它解決的是計算程序性的問題。兩位數乘兩位數，在小學階段采用的算理是應用乘法分配律（雖然三年級尚未學習，但結合具體的生活情境進行理解）將其拆分成兩道兩位數乘一位數的乘法進行計算，再求和。對應豎式計算，就是兩個“回合”的乘法計算（如圖7、8），再求和。

如果用初中整式相乘的形式，24×12可表示為（20+4）×（10+2）=20×10+20×2+4×10+4×2。這樣的算理，則更利于對應“格子算法”（圖13）。

利用矩形圖，也能更好地理解四個單項式的計算結果（如圖14）。

可見，不同的算法源自不同的算理。算法與算理相匹配，才能更有利于學生對計算知識和技能的理解掌握。

3.遷移需要變通。

遷移是學習的一種重要方法，但在遷移過程中很多時候需要加以變通。遷移解決的是新舊知識“銜接”的問題，變通則是解決新舊知識“分化”的問題。教會學生在遷移中變通，就能讓舊知識生成更多新知識。再把諸多新知識同化到“原認知”結構中，就能把知識“串點成線”“織線成網”，把零散的知識碎片整合為結構合理的知識群，在解決實際問題中靈活應用。

綜上所述，豎式是個“超級符號”。它蘊含著豐富而深刻的內涵，值得我們深入挖掘，在小學數學計算教學中譜寫更美的華章。

◇責任編輯：徐新亮◇

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