談分部積分法在求不定積分中的作用

呂德楊+徐立新

摘 要：求不定積分有很多方法，但分部積分法在求不定積分時，往往有很好的效果，有不少種類的函數都可用分部積分法求解，而且比較容易。

關鍵詞：不定積分；分部積分法；作用

分部積分公式：

對形如∫xcosxdx，∫xexdx和∫x2lnxdx等這樣的不定積分，利用換元法無法求解。但利用兩個函數乘積的求導法則，我們可推導出一個新的不定積分的方法。

設函數u=u（x），v=v（x）具有連續的導函數，則我們有：

（uv?）=u?v+uv?uv?=（uv）?-u?v

則∫uv?dx=∫（uv）?dx-∫u?vdx

因為v?dx=dv，u?dx=du，所以，我們有∫udv=uv-∫vdu （1）

我們稱上面的公式就叫做分部積分公式。

下面我們來看一看它在求不定積分中的一些作用：

例1 求∫xcosxdx

解：原式=∫xdsinx

=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C

例2∫xe-xdx

解：原式=-∫xe-xd（-x）=-∫xd（e-x）

=-xe-x+-∫e-xdx=-xe-x+-∫e-xd（-x）

=-xe-x-e-x+C

例3 ∫xlnxdx

解：原式==

=

例4 求∫arctanxdx

解：

原式=

=

例5 求∫excosxdx

解：

原式=

于是

所以：

例6：求∫xarctanxdx

解：原式=

由上面的舉例我們看到，分部積分法對于冪函數與三角函數之積，冪函數與指數函數之積，冪函數與對數函數之積，冪函數與反三角函數之積以及一些反三角函數、指數函數與三家函數之積等方面都有較好的作用。總之，分部積分法在求不定積分之時，往往有意想不到的效果，而且對于一些無從動手之題，也不妨用分部積分法來試一下。

參考文獻：

[1]高等數學（上冊）.湯四平、趙雨清、陳國華主編[M]北京：北京理工大學出版社，2009.

[2]同濟大學數學系.高等數學（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2001.139-145

[3]華東師范大學數學系.數學分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2002.endprint