基于三視圖形成與投影規律下的教學探討

戴杏冰

摘要：三視圖是《高中數學新課程標準》增加的內容之一，也是近幾年高考的高頻考點，考查方式是給出簡單組合體的三視圖，讓考生還原出幾何體形狀，并計算其表面積、體積或棱長。在學習三視圖時，很多學生缺乏對成像本質的認識，難以從三視圖聯象到立體模型。本文從三視圖投影規律教學和還原成幾何體的方法出發，幫助學生建立空間觀念，讓學生在解決三視圖問題上做到有跡可循，從而培養學生的空間想象能力和邏輯思維。

關鍵詞：三視圖 投影規律

三視圖是近幾年的高考熱點，主要考查學生由三視圖還原幾何體的能力，考試難度適中。但是，學生的得分率并不理想。筆者從三視圖投影規律的教學和三視圖還原成幾何體的方法人手，幫助學生解決了三視圖問題，構建了空間想象力，提高了學生的空間想象能力和邏輯思維介紹。

一、深入原理，分析透徹

1.“投影”教學不可忽視

在介紹三視圖之前，教材先呈現了投影的概念。由于課時緊張，部分教師會選擇一帶而過，但是投影的概念是學習三視圖、三視圖還原成空間幾何體的基礎。如圖1所示，物體在垂直于投影面的一束平行光照射下，在地面或墻壁上投下影子，使得影子與物體的形狀有一定聯系，我們把這種聯系進行抽象和優化，得到了物體的正投影。觀察圖1可知，投影面的圖形與實物并不一樣，“所見非所實”。在教學中，筆者拿著一支粉筆，面對學生從橫方向旋轉至豎方向，讓學生觀察粉筆所成的像：由一條線段逐漸退化成為一個點，讓學生體會到像與物之間的關系。這部分知識會直接影響學生學習由三視圖求幾何體體積、表面積。

2.“三視圖投影規律”教學過程必不可少

在教學過程中，教師會把作圖原理編成口訣“長對正、高平齊、寬相等?！睂W生理解口訣并不困難，但要求學生做出較復雜幾何體的三視圖，或由三視圖求幾何體的表面積和體積就不那么容易了。究其原因，是學生對三視圖成像原理理解不透徹造成的。三視圖主要是體現幾何體在空間中三個維度的相對位置，如由正視圖和側視圖得到幾何體的相對高度，但對于幾何體的側面是什么圖形，不能從正視圖和側視圖直接得到。

例2.（2014年·湖北省高考理科）如圖3所示，空間直角坐標系O-xyz中，一個四面體頂點坐標是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）。給出編號為①，②，③，④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（ ）

A.①和② B.③和①

C.④和③ D.④和②

分析：解答本題的難點一是根據四面體頂點坐標在坐標系做出四面體直觀圖，利用斜二測畫法體現空間立體感；難點二是由直觀圖過渡到三視圖，利用好“投影幕”，看出點、線、面在投影幕對應位置所成像，由點生線，由線生面。

掌握三視圖投影規律，為三視圖還原為幾何體打下了堅實的基礎。如圖4所示，由直觀圖得出，故答案為選項D。

二、運用規律，巧妙還原

1.熟練運用簡單幾何體的三視圖

復雜的幾何體是由簡單幾何體組合而成，復雜三視圖能分拆出簡單的幾何體，而簡單幾何體構造特征可通過制作簡單模型得出。在制作中逐步建立常見幾何體的直觀認知，可總結一些常見模型，如正（長）方體基本構造型，棱錐（柱）基本構造型，以及各種常見柱、錐、臺體的組合體。掌握基本空間圖形和幾何體的差別和關聯，能加深學生對模型的形象認識，提升學生在解題時對三視圖、直觀圖的想象能力。此外，教師還可以建議學生多觀察粉筆盒，擺動和旋轉粉筆盒，同時思考其三視圖，體會“一物多變”。

2.劃分框線法解決疊加式組合體

顧名思義，劃分框線法就是要劃分圖形、畫框線，即先在三視圖中找出形狀特征比較明顯的視圖，按框線將其幾何體劃分成幾部分，結合簡單幾何體的三視圖或三視圖作圖原理，想象出它們的形狀，最后根據整體三視圖確定位置，形成一個整體。

例3.（2013年·新課標Ⅰ高考理科）某幾何體的三視圖如圖5所示，則該幾何體的體積為（ ）

A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π

解：①劃分線框。從側視圖人手，將其幾何體按線框劃分為兩部分，如圖6所示；②對投影，想形狀。從側視圖開始，分別在正視圖、俯視圖上的對應投影找出線框1和線框2，從而想象出每組投影所表示的幾何體分別為長方體和半圓柱，如圖7、圖8所示；③合起來，拼整體。在找出每個部分的幾何體的基礎上，根據三視圖研究它們的相對位置，進而拼湊成一個整體的幾何體，如圖9所示，并計算出該幾何體的體積為16+8π，故答案為選項A。

3.為簡單三視圖為載體，還原復雜幾何體

近幾年的高考題中，越來越注意考查學生三視圖還原原幾何體的能力，除了常見的疊加式組合體之外，還出現了切割形組合體或“不規則放置”的幾何體。根據“棱角分明”的三視圖，學生可以判斷該幾何體是以正方體（或長方體）為載體。在此基礎上還原幾何體，對空間想象能力較弱的學生還是存在困難，教師可引導學生運用排除法解決問題。

例4.某幾何體的三視圖，如圖10所示，三視圖是邊長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體的體積為（）。

A.1/6 B.1/3 C.1/2 D.2/3

分析：

第一步，根據其三視圖可以判斷幾何體以正方體為載體。由等腰直角三角形的正視圖得出，幾何體的頂點不可能在正方體的左下方，所以在正方體左下方的頂點打叉。

第二步，在第一步的基礎上，由左視圖判斷正方體哪些頂點需排除，注意左視圖的等腰直角三角形左上角對應的是幾何體的后方，這里假設了一個投影面在物體的右方就更加直觀了。此時，可排除正方體后下方兩個頂點，斷定正方體的右前方頂點為幾何體的頂點。

第三步，由俯視圖得幾何體在底面的投影有正方形的四個頂點，根據第一、二步排除剩下的頂點可以進一步正方體上表面正方形的三個頂點。

第四步：正方體還有一個頂點是否在幾何體中還沒確定，根據俯視圖的對角線判斷是不存在的，將確定的頂點連線，可還原原幾何體為三棱錐，計算該幾何體的體積為1/6，故答案為選項A。

無論在教學中注意的問題，還是提到的具體方法，對于三視圖而言，更多的是考查學生的空間想象力，學生通過平時練習中的三視圖，不斷培養三維立體感和空間想象力，才能在考場上得心應手。