關于高中幾何概型問題的幾點注記

李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學,遼寧 鞍山 114000)

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關于高中幾何概型問題的幾點注記

李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學,遼寧 鞍山 114000)

由于幾何概型既不同于古典概型、也不是公理化的概率定義，所以人們在認識上存在很多差異，進而導致出現各種問題.本文試圖揭示幾何概型悖論出現的原因；抽象代數意義同構背景下的等可能轉換；維度對解決幾何概型問題的影響，最后介紹從臨界條件、線性規劃入手分析解決幾何概型的解題方法.

幾何概型悖論；概率公理化定義；同構的概念；臨界條件

幾何概型不論在高中數學教學，還是在高考數學科命題中都占有一定的地位，但限于高中階段其理論不完備，所以在教學中時常出現一些令人費解的問題困擾師生.本文的目的是就高中數學中的幾何概型談一些認識，試圖使那些費解的問題成為顯然.

一、關于幾何概型悖論的存在性問題

法國學者貝特朗圍繞幾何概型提出了著名的悖論問題，后人稱其為貝特朗幾何概型悖論，對此[文獻1]中已作出詳盡的說明，本文不在陳述.下面要探討的問題是關于幾何概型悖論存在的原因及分析.

關于概率論的最早專著是十八世紀瑞士數學家雅克布.伯努利所寫的《猜測術》(見[文獻2])，隨著二十世紀概率公理化定義的出現，逐步形成比較完整的數學分支.概率論發展歷程是從不嚴密的日常生活現象分析走向具有嚴謹數學體系的過程，而古典概型、幾何概型恰巧是在概率論理論體系不完善時出現的(即使現行教材中給出的相關概念也是描述性的，缺乏公理建構意義下的準確性).那么，概率的公理化定義對認識幾何概型悖論有何指導意義？我們從分析概率論的公理化定義(見[文獻3])入手進行探究.

概率公理化定義：設E是隨機試驗,Ω是它的樣本空間,若對于E的每一個事件A都賦予一個實數P(A)，它滿足以下三個條件：(1)對于每一事件A有0≤P(A)≤1 ， (2)P(Ω)=1，(3)可列可加性：設A1,A2,…是兩兩互不相容的事件，則P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…則稱P(A)為事件A發生的概率.

從該定義來看，解決概率問題的前提一是要明確隨機試驗是什么？二是要明確樣本空間的結構是什么？然

后才能開始著手分析解決相關問題.下面通過例子來分析幾何概型悖論產生原因.

例1 如圖所示，在等腰直角△ABC中，過直角頂點C在∠ACB內部作一條射線CM,與線段AB交于點M,求AM

解析1 在AB上取AD=AC，連接CD，有∠ACD=∠ADC,故欲使∠AM

原因分析 前者是把角區域作為樣本空間求解；后者是把線段區域作為樣本空間求解，哪個思考是正確的？

準確理解題意，明確試驗對象，正確選擇自變量是求解幾何概型問題的關鍵.本題中的試驗對象是“射線CM”，其位置可用∠ACM(自變量)的大小來度量.因此本題是關于角的概率問題.題目中所有角構成的樣本空間Ω是∠ACB=90°;符合題目要求的角(∠ACM)構成的事件A是∠ACM<67.5°.因此解析1是正確的.

而解題2找錯了試驗對象，誤把線段AM作為試驗對象，與原題給出的條件不符.特別是線段AM的長與∠ACM的大小不成正比例，因此導致計算結果錯誤.

因此，從上例看出，幾何概型悖論產生的原因是解題時，沒有搞清楚隨機試驗是什么？樣本空間的結構是什么？而靠主管臆斷出現了解題失誤.所以，對于中學數學教學中遇到的概念問題，有時確實需要我們要站在高等數學的角度來審視、重新認識，并給出具有前瞻性的解釋.

二、關于解決幾何概型問題中的等可能轉換問題

繼續剖析上述問題，事實上我們也遇到過這樣的幾何概型問題(不討論其解法是否正確，只看結果是否一致)，從角區域、線段區域兩方面作為樣本空間來解決其答案是一樣的.這是什么原因哪？原因是樣本空間的等可能轉換問題.也就是說，不同的樣本空間，如果他們之間存在等可能轉化，在此前提下其概率結果也是一致的.請看下面的例子：

例2 已知半徑為1,圓心角為直角的扇形OAB,引射線OM交弧AB于點M，求弧AM

分析 引入弧度制的主要原因是在單位圓內實現了角的度量和線段度量的統一.在弧度制度量角的前提下，本題分別采取角區域和弧長作為樣本空間去思考，所求概率值是一致的.原因就是弧長=對應圓心角的弧度數，這個等式保證了角與弧長大小的等可能轉化，因此結果是一致的.

對于前述例1而言，線段區域與角區域之間通過隨機試驗做射線，確實實現了抽象代數意義下的同構(兩個集合之間存在一一對應)，依據同構理論，它們應該具有相同的代數性質.但我們應該注意到的是它們兩者是不能夠實現等可能轉化.事實上增加(或減少)等量的角，對應的線段 變化的長度是不同的(不成比例)，反之亦然.這也是兩種算法結論不同的原因.

三、關于用臨界條件解決幾何概型問題

解決幾何概型的問題只要把線段、平面、空間的樣本區域、事件區域劃分搞清楚，求解就是顯然的了.通過教學實踐發現用臨界條件尋求區域的劃分是解決幾何概型的好辦法.見下面的例子.

解析 本題的樣本空間區域是顯然的.關鍵是確定事件空間區域，即求使得∠AOC和∠BOC都不小于π/6的區域.由題意知臨界角為π/6，所以(如上圖)首先作出∠BOM=∠AON=π/6，此時略加分析知，只需點C落在弧MN內即可.

另，從弧長與角度的等可能轉換來看，本題從弧長角度求解答案也是一致的(當然解法是不科學的).

四、關于解決幾何概型問題中維度問題

[文獻4]中提出一個問題：“在一條線段上任取一點，則取到中點的概率是多少？”筆者認為，此題在陳述上有所缺欠.大家知道，高中幾何概型中涉及的維度是一、二、三維(即直線、平面、空間)，即使幾何概型基本思考元素是“點”，或者說點是構成線、面、體的最基本要素，但在解決實際問題時，樣本空間也好、事件也好都是在同一維度內以線段、平面圖形、幾何體的形式出現，跨維度(樣本空間與事件空間不是一個維度)是沒有意義的.

[文獻4]中提出的問題，之所以在陳述上值得商榷就在于“點”是0維、線段是一維.0維的點做事件，一維的線段做樣本空間，不僅在邏輯上是說不過去的，僅就在計算上它們就不是可通約量(單位不一致).所以要求不能跨維度去討論樣本和事件.類似的在平面圖形中討論線段，在空間體中討論平面圖形的概率一樣是沒有意義的. 請看下面的例子.

例4 已知某公交車每10min一班，在車站停1min．則乘客到達站臺立即乘上車的概率為____．

類似的，在平面圖形中討論線段的概率和幾何體中討論平面圖形的概率，一樣是沒有意義的.為了更明晰，請見下面的例子.

例5 在長為10 cm的線段AB上任取一點P，并以線段AP為邊作正方形，這個正方形的面積介于25 cm2與49 cm2之間的概率為( ).

解析 題中盡管提到點P，事實上我們解題時是用面積表示樣本和樣本空間，道理同上.求解很顯然，在此略去.

五、用簡單線性規劃解決二維幾何概型問題

上面已經介紹了用臨界條件確定事件區域的解題方法可提高解決幾何概型的解題速度，下面針對二維的多邊形事件問題介紹一種解決辦法，即用求解簡單線性規劃的方法確定事件區域.請看下面的例子.

小結：本題也是“會面”問題，只是提法有所差異.線

性規劃的解題思想同樣得到應用.

到此，本文介紹了解決幾何概型的注意事項、思考方法，同時對解決幾何概型易出現的問題提供了一些思考，就處理幾何概型的一些方法和手段也同時作了說明，目的是澄清一些錯誤認識，改進解題方法、提高解題效率.

[1]鄭甜.幾何概型中類似“貝特朗概率悖論”的一點思考[J].新課程,2015(02).

[2]霍華德.伊夫斯【美】.數學史概論(第六版)[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社,2009.

[3]孫振綺.概率論與數理統計(第二版)[M].北京：機械工業出版社,2012(02).

[4]胡浩.由一道幾何概型題引發的思考[J].中國數學教育(高中版),2017(03),61-62.

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

李偉,男，遼寧省鞍山市第三中學黨委書記、數學特級教師，遼寧省高中數學科專家組成員，遼寧省教育學會理事，中國數學奧利匹克一級教練員.

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