關(guān)于高中幾何概型問題的幾點注記

李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學,遼寧 鞍山 114000)

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關(guān)于高中幾何概型問題的幾點注記

李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學,遼寧 鞍山 114000)

由于幾何概型既不同于古典概型、也不是公理化的概率定義，所以人們在認識上存在很多差異，進而導致出現(xiàn)各種問題.本文試圖揭示幾何概型悖論出現(xiàn)的原因；抽象代數(shù)意義同構(gòu)背景下的等可能轉(zhuǎn)換；維度對解決幾何概型問題的影響，最后介紹從臨界條件、線性規(guī)劃入手分析解決幾何概型的解題方法.

幾何概型悖論；概率公理化定義；同構(gòu)的概念；臨界條件

幾何概型不論在高中數(shù)學教學，還是在高考數(shù)學科命題中都占有一定的地位，但限于高中階段其理論不完備，所以在教學中時常出現(xiàn)一些令人費解的問題困擾師生.本文的目的是就高中數(shù)學中的幾何概型談一些認識，試圖使那些費解的問題成為顯然.

一、關(guān)于幾何概型悖論的存在性問題

法國學者貝特朗圍繞幾何概型提出了著名的悖論問題，后人稱其為貝特朗幾何概型悖論，對此[文獻1]中已作出詳盡的說明，本文不在陳述.下面要探討的問題是關(guān)于幾何概型悖論存在的原因及分析.

關(guān)于概率論的最早專著是十八世紀瑞士數(shù)學家雅克布.伯努利所寫的《猜測術(shù)》(見[文獻2])，隨著二十世紀概率公理化定義的出現(xiàn)，逐步形成比較完整的數(shù)學分支.概率論發(fā)展歷程是從不嚴密的日常生活現(xiàn)象分析走向具有嚴謹數(shù)學體系的過程，而古典概型、幾何概型恰巧是在概率論理論體系不完善時出現(xiàn)的(即使現(xiàn)行教材中給出的相關(guān)概念也是描述性的，缺乏公理建構(gòu)意義下的準確性).那么，概率的公理化定義對認識幾何概型悖論有何指導意義？我們從分析概率論的公理化定義(見[文獻3])入手進行探究.

概率公理化定義：設(shè)E是隨機試驗,Ω是它的樣本空間,若對于E的每一個事件A都賦予一個實數(shù)P(A)，它滿足以下三個條件：(1)對于每一事件A有0≤P(A)≤1 ， (2)P(Ω)=1，(3)可列可加性：設(shè)A1,A2,…是兩兩互不相容的事件，則P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…則稱P(A)為事件A發(fā)生的概率.

從該定義來看，解決概率問題的前提一是要明確隨機試驗是什么？二是要明確樣本空間的結(jié)構(gòu)是什么？然

后才能開始著手分析解決相關(guān)問題.下面通過例子來分析幾何概型悖論產(chǎn)生原因.

例1 如圖所示，在等腰直角△ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM,與線段AB交于點M,求AM

解析1 在AB上取AD=AC，連接CD，有∠ACD=∠ADC,故欲使∠AM

原因分析 前者是把角區(qū)域作為樣本空間求解；后者是把線段區(qū)域作為樣本空間求解，哪個思考是正確的？

準確理解題意，明確試驗對象，正確選擇自變量是求解幾何概型問題的關(guān)鍵.本題中的試驗對象是“射線CM”，其位置可用∠ACM(自變量)的大小來度量.因此本題是關(guān)于角的概率問題.題目中所有角構(gòu)成的樣本空間Ω是∠ACB=90°;符合題目要求的角(∠ACM)構(gòu)成的事件A是∠ACM<67.5°.因此解析1是正確的.

而解題2找錯了試驗對象，誤把線段AM作為試驗對象，與原題給出的條件不符.特別是線段AM的長與∠ACM的大小不成正比例，因此導致計算結(jié)果錯誤.

因此，從上例看出，幾何概型悖論產(chǎn)生的原因是解題時，沒有搞清楚隨機試驗是什么？樣本空間的結(jié)構(gòu)是什么？而靠主管臆斷出現(xiàn)了解題失誤.所以，對于中學數(shù)學教學中遇到的概念問題，有時確實需要我們要站在高等數(shù)學的角度來審視、重新認識，并給出具有前瞻性的解釋.

二、關(guān)于解決幾何概型問題中的等可能轉(zhuǎn)換問題

繼續(xù)剖析上述問題，事實上我們也遇到過這樣的幾何概型問題(不討論其解法是否正確，只看結(jié)果是否一致)，從角區(qū)域、線段區(qū)域兩方面作為樣本空間來解決其答案是一樣的.這是什么原因哪？原因是樣本空間的等可能轉(zhuǎn)換問題.也就是說，不同的樣本空間，如果他們之間存在等可能轉(zhuǎn)化，在此前提下其概率結(jié)果也是一致的.請看下面的例子：

例2 已知半徑為1,圓心角為直角的扇形OAB,引射線OM交弧AB于點M，求弧AM

分析 引入弧度制的主要原因是在單位圓內(nèi)實現(xiàn)了角的度量和線段度量的統(tǒng)一.在弧度制度量角的前提下，本題分別采取角區(qū)域和弧長作為樣本空間去思考，所求概率值是一致的.原因就是弧長=對應圓心角的弧度數(shù)，這個等式保證了角與弧長大小的等可能轉(zhuǎn)化，因此結(jié)果是一致的.

對于前述例1而言，線段區(qū)域與角區(qū)域之間通過隨機試驗做射線，確實實現(xiàn)了抽象代數(shù)意義下的同構(gòu)(兩個集合之間存在一一對應)，依據(jù)同構(gòu)理論，它們應該具有相同的代數(shù)性質(zhì).但我們應該注意到的是它們兩者是不能夠?qū)崿F(xiàn)等可能轉(zhuǎn)化.事實上增加(或減少)等量的角，對應的線段 變化的長度是不同的(不成比例)，反之亦然.這也是兩種算法結(jié)論不同的原因.

三、關(guān)于用臨界條件解決幾何概型問題

解決幾何概型的問題只要把線段、平面、空間的樣本區(qū)域、事件區(qū)域劃分搞清楚，求解就是顯然的了.通過教學實踐發(fā)現(xiàn)用臨界條件尋求區(qū)域的劃分是解決幾何概型的好辦法.見下面的例子.

解析 本題的樣本空間區(qū)域是顯然的.關(guān)鍵是確定事件空間區(qū)域，即求使得∠AOC和∠BOC都不小于π/6的區(qū)域.由題意知臨界角為π/6，所以(如上圖)首先作出∠BOM=∠AON=π/6，此時略加分析知，只需點C落在弧MN內(nèi)即可.

另，從弧長與角度的等可能轉(zhuǎn)換來看，本題從弧長角度求解答案也是一致的(當然解法是不科學的).

四、關(guān)于解決幾何概型問題中維度問題

[文獻4]中提出一個問題：“在一條線段上任取一點，則取到中點的概率是多少？”筆者認為，此題在陳述上有所缺欠.大家知道，高中幾何概型中涉及的維度是一、二、三維(即直線、平面、空間)，即使幾何概型基本思考元素是“點”，或者說點是構(gòu)成線、面、體的最基本要素，但在解決實際問題時，樣本空間也好、事件也好都是在同一維度內(nèi)以線段、平面圖形、幾何體的形式出現(xiàn)，跨維度(樣本空間與事件空間不是一個維度)是沒有意義的.

[文獻4]中提出的問題，之所以在陳述上值得商榷就在于“點”是0維、線段是一維.0維的點做事件，一維的線段做樣本空間，不僅在邏輯上是說不過去的，僅就在計算上它們就不是可通約量(單位不一致).所以要求不能跨維度去討論樣本和事件.類似的在平面圖形中討論線段，在空間體中討論平面圖形的概率一樣是沒有意義的. 請看下面的例子.

例4 已知某公交車每10min一班，在車站停1min．則乘客到達站臺立即乘上車的概率為____．

類似的，在平面圖形中討論線段的概率和幾何體中討論平面圖形的概率，一樣是沒有意義的.為了更明晰，請見下面的例子.

例5 在長為10 cm的線段AB上任取一點P，并以線段AP為邊作正方形，這個正方形的面積介于25 cm2與49 cm2之間的概率為( ).

解析 題中盡管提到點P，事實上我們解題時是用面積表示樣本和樣本空間，道理同上.求解很顯然，在此略去.

五、用簡單線性規(guī)劃解決二維幾何概型問題

上面已經(jīng)介紹了用臨界條件確定事件區(qū)域的解題方法可提高解決幾何概型的解題速度，下面針對二維的多邊形事件問題介紹一種解決辦法，即用求解簡單線性規(guī)劃的方法確定事件區(qū)域.請看下面的例子.

小結(jié)：本題也是“會面”問題，只是提法有所差異.線

性規(guī)劃的解題思想同樣得到應用.

到此，本文介紹了解決幾何概型的注意事項、思考方法，同時對解決幾何概型易出現(xiàn)的問題提供了一些思考，就處理幾何概型的一些方法和手段也同時作了說明，目的是澄清一些錯誤認識，改進解題方法、提高解題效率.

[1]鄭甜.幾何概型中類似“貝特朗概率悖論”的一點思考[J].新課程,2015(02).

[2]霍華德.伊夫斯【美】.數(shù)學史概論(第六版)[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社,2009.

[3]孫振綺.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第二版)[M].北京：機械工業(yè)出版社,2012(02).

[4]胡浩.由一道幾何概型題引發(fā)的思考[J].中國數(shù)學教育(高中版),2017(03),61-62.

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

李偉,男，遼寧省鞍山市第三中學黨委書記、數(shù)學特級教師，遼寧省高中數(shù)學科專家組成員，遼寧省教育學會理事，中國數(shù)學奧利匹克一級教練員.

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