解圓錐曲線中最值問題的常用技巧

洪金華

(浙江省溫州市蒼南縣江南高級(jí)中學(xué),浙江 溫州 325000)

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解圓錐曲線中最值問題的常用技巧

洪金華

(浙江省溫州市蒼南縣江南高級(jí)中學(xué),浙江 溫州 325000)

圓錐曲線內(nèi)容是高中幾何的重要內(nèi)容，也是高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)之一，為使學(xué)生更好的解決這類問題，本文列舉了幾種常見解題技巧.

圓錐曲線；最值；技巧

最值問題向來都是出題者的“寵兒”，各個(gè)章節(jié)都存在.在圓錐曲線中也會(huì)經(jīng)常遇到面積最大最小問題，距離最長(zhǎng)最短問題，不定量的最大最小問題等等.解決這些最值問題應(yīng)從函數(shù)、曲線、定義、不等式、幾何、三角等多個(gè)角度去思考，選擇恰當(dāng)?shù)耐緩?下面舉例加以說明.

一、利用圓錐曲線的參數(shù)方程求最值

例1 已知點(diǎn)P是橢圓x2+8y2=8上到直線l：x-y+4=0的距離最小的點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是( ).

點(diǎn)評(píng) 利用參數(shù)方程，將原問題轉(zhuǎn)化為三角問題，再用三角的有界性得出最值，然后返回求出P點(diǎn)坐標(biāo).

二、利用重要不等式求最值

注意到等號(hào)可以成立，故應(yīng)選A.

點(diǎn)評(píng) 分別求出互為共軛的雙曲線離心率，再用不等式a2+b2≥2ab求最值，但不能忽視等號(hào)成立的條件.

三、利用圓錐曲線的定義求最值

解析 由雙曲線的第一定義，得|PF1|-|PF2|=2a.

出關(guān)于a、c的不等式，從而得出e的取值范圍.

四、利用圓錐曲線的對(duì)稱性求最值

解析 如圖1，由橢圓對(duì)稱性知O為AB的中點(diǎn)，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F，則四邊形AFBF1為平行四邊形.

∴△ABF1的面積最大值為bc.

點(diǎn)評(píng) 抓住橢圓是中心對(duì)稱圖形，從而得出四邊形AFBF1為平行四邊形這個(gè)結(jié)論.

小結(jié)：圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也是各地高考的必考內(nèi)容，學(xué)生應(yīng)該掌握常見的題型，同時(shí)還應(yīng)該掌握一點(diǎn)解題技巧，在日常學(xué)習(xí)中一定要善于總結(jié)歸納，學(xué)會(huì)舉一反三.

[1]宋貴聰.圓錐曲線中一類最值問題的解法[J].咸寧學(xué)院報(bào)，2009(6).

[2]王成西.圓錐曲線中最值問題的類型與解法[J].科技信息，2009(35).

[責(zé)任編輯 楊惠民]

2017-05-01

洪金華(1983.4-),男,江西上饒市婺源縣，中學(xué)一級(jí)，大學(xué)本科，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué).

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