數形結合在方程問題中的應用

摘 要：數形結合就是把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，通過數與形之間的對應和轉化來解決數學問題，它包含“以形助數”和“以數解形”兩個方面。利用它可使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，它兼有數的嚴謹與形的直觀之長，是優化解題過程的重要途徑之一，是一種基本的數學方法。下面主要談一下“以形輔數”在方程問題中的應用。

關鍵詞：數形；方法；轉化

一、 根的個數問題

【例1】 方程12x=lnx的根的個數。

分析：思路一、構造函數f（x）=lnx-12x

則f（1）=-12<0，f（e）=1-12e>0

∴f（x）在（1，e）內有零點，又f（x）在（0，+∞）上為增函數

∴f（x）在定義域（0，+∞）內僅有一個零點。

思路二、令f（x）=12x，g（x）=lnx

在同一坐標系中作出兩個函數f（x）=12x，與g（x）=lnx的圖象（如圖1）

圖1

由圖可知兩曲線只有一個公共點，故方程只有一個解。

注：在思路一中既要弄出f（1）=-12<0，f（e）=1-12e>0，還要說明f（x）=lnx-12x在定義域內是單調的，方可得出方程僅有一根。至于函數在整個定義域內不單調，或者不能確定函數的單調性，只能分開討論解答（見例題2）。思路二中，只要作出兩個函數的圖象即可。

【例2】 判斷方程log2x=-（x-1）2+2的根的個數。

分析：思路一、構造函數f（x）=log2x+（x-1）2+2，函數在定義域內不單調。

x>1時，f（x）遞增，f（1）=-2<0，f（2）=0，f（4）>0。

∴f（x）在（0，+∞）上有唯一的一個零點。

0

∴在（0，+∞）上，f（x）有且僅有一個零點。

即方程log2x=-（x-1）2+2的解只有一個。

思路二、令：f（x）=log2x，g（x）=-（x-1）2+2

在同一坐標系中作出二者的圖象（如圖2）。

由圖可知方程log2x=-（x-1）2+2只有一個解。

圖2

注：通過兩個實例，發現思路二較思路一要簡捷些，思路二可以導出思路一中根所在的區間（a，b）端點，對于方程中含有參數時，思路一無能為力了，請看下面的例題。

二、 參數取值范圍問題

【例3】 若關于x的方程x+1-x=m有兩個不同的實根，求實數m的取值范圍。

分析：將方程變形x+1=m+x，引入兩個函數f（x）=x+1，g（x）=x+m，

在現一坐標系中作出f（x）=x+1（x≥1）與g（x）=x+m（x≥-m）的圖象（如圖3）。

圖3

g（x）=x+m（x≥-m）表示以（-m，0）為端點位于x軸上方的動射線，f（x）=x+1（x≥1）表示是由冪函數y=x向左平移一個單位得到的圖象。

當m=1時射線與曲線恰有兩交點

當射線與曲線相切，即方程x+1=（m+x）2只有一個解時，

由x2+（2m-1）x+m2-1=0的Δ=（2m-1）2-4（m2-1）=0m=54

結合圖形，得：1≤m<54。

總之，數形結合是研究數學問題并實現問題的模型轉換的一種基本思想和基本方法，它能溝通數與形的內在聯系。在解題中學會以形論數、借數解形、數形結合，直觀又入微，提高形數聯想的靈活性，有助于思維素質的發展，有利于提高解題能力。

作者簡介：

溫桂花，江西省贛州市，江西贛縣三中。