基于APOS理論下的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式

管尤躍 云南省教育學(xué)會(huì)副秘書(shū)長(zhǎng)，云南省教育科學(xué)研究院小學(xué)數(shù)學(xué)教研員，貴州省教育廳特聘研究員，云南師范大學(xué)兼職教授。中國(guó)教育學(xué)會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)學(xué)術(shù)委員，云南省教育學(xué)會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)秘書(shū)長(zhǎng)。

精彩的課堂來(lái)自于課堂精彩之處，源于學(xué)生的心底之音。日常的、平常的、正常的，即所謂家常的、常態(tài)的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)就應(yīng)如水，來(lái)自山間，來(lái)自江河，更應(yīng)來(lái)自心靈，來(lái)自學(xué)生的感受和感悟，順其自然，順勢(shì)而導(dǎo)，順逆從容，順應(yīng)而生！

【摘要】結(jié)合美國(guó)數(shù)學(xué)家杜賓斯基等人提出的一種數(shù)學(xué)教學(xué)理論——APOS理論。先分析對(duì)APOS理論四階段（活動(dòng)階段、過(guò)程階段、對(duì)象階段和圖式階段）的認(rèn)識(shí)，然后通過(guò)“三角形的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)實(shí)踐嘗試了APOS理論在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用，主要分析三角形的定義、特征以及底和高等多個(gè)概念之間的內(nèi)在聯(lián)系。

【關(guān)鍵詞】APOS理論 小學(xué)數(shù)學(xué)概念 教學(xué)模式 三角形的認(rèn)識(shí)

一、引言

我們都知道，數(shù)學(xué)概念就是數(shù)學(xué)知識(shí)的“細(xì)胞”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程就是一個(gè)不斷運(yùn)用數(shù)學(xué)概念的思維過(guò)程。高斯曾經(jīng)指出，在數(shù)學(xué)中重要的不是符號(hào)，而是概念。數(shù)學(xué)概念是人們對(duì)客觀事物在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)比較、分析、綜合、概括、判斷、抽象等一系列思維活動(dòng)，逐步認(rèn)識(shí)到它的本質(zhì)屬性以后才形成的。

由于數(shù)學(xué)具有高度抽象性，在教學(xué)中應(yīng)該注重體現(xiàn)概念的來(lái)龍去脈，經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念從具體到抽象的過(guò)程，在運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì)。但在一線教學(xué)實(shí)踐中，很多教師認(rèn)為概念就是一種規(guī)定，就是一種定義，就是一種約定俗成，沒(méi)什么好講的，只要能記住就行；或者認(rèn)為小學(xué)階段的數(shù)學(xué)概念大多“顯而易見(jiàn)”，無(wú)須多講；或者淺嘗輒此，草草收?qǐng)?，?jié)省時(shí)間用來(lái)“刷題”。此現(xiàn)象在常態(tài)課中屢見(jiàn)不鮮，如何才能將小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)執(zhí)行“到位”？下面就結(jié)合APOS理論，以《三角形的認(rèn)識(shí)》為例，簡(jiǎn)要談一談小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式。

二、引論

APOS理論是20世紀(jì)80年代由美國(guó)數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基提出來(lái)的一種關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的理論，這種理論具有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)學(xué)科特色，被譽(yù)為近年來(lái)數(shù)學(xué)教育界最大的理論成果之一。該理論認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念需要經(jīng)歷四個(gè)階段的心理建構(gòu)，即活動(dòng)階段（Action）、過(guò)程階段（Process）、對(duì)象階段（Object）和圖式階段（Scheme），簡(jiǎn)稱APOS。指出：學(xué)生學(xué)習(xí)是一個(gè)建構(gòu)的過(guò)程，建構(gòu)是有層次的，反映的是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過(guò)程的真實(shí)的思維活動(dòng)。

盡管國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)教學(xué)模式的解說(shuō)不一，無(wú)法達(dá)成一致認(rèn)識(shí)，我更愿意接受這樣的觀點(diǎn)，教學(xué)模式指的是在一定教學(xué)思想指導(dǎo)下所建立的比較典型的、穩(wěn)定的教學(xué)程序或階段，又稱為“教學(xué)結(jié)構(gòu)”。教學(xué)模式源于教學(xué)實(shí)踐又反過(guò)來(lái)指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐，是人們?cè)陂L(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中不斷總結(jié)、改良之后逐步形成的。小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要地位和價(jià)值無(wú)須贅言，是否應(yīng)該有相對(duì)適用、合理而有效的模式可供參考和借鑒？大家所熟知的概念形成模式、同化模式、“七階段”模式等，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中都得到了廣泛的認(rèn)同和使用。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：“數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)?！薄皵?shù)學(xué)概念具有過(guò)程和對(duì)象的雙重性，它既是邏輯分析的對(duì)象，又是具有現(xiàn)實(shí)背景和豐富寓意的數(shù)學(xué)過(guò)程。”

小學(xué)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)如何讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程得到揭示和經(jīng)歷其發(fā)展過(guò)程成為制約小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展的重要因素，APOS理論在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的合理運(yùn)用，可以充分體現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，充分反映學(xué)生個(gè)體認(rèn)知數(shù)學(xué)概念的思維過(guò)程，充分揭示小學(xué)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)。更為重要的是，這與當(dāng)前我國(guó)新一輪課程改革所倡導(dǎo)的理念是一脈相承的。

基于此，我想以一節(jié)涉及很多數(shù)學(xué)概念的課為例，來(lái)分析如何使用APOS理論作為指導(dǎo)，突出各概念間的聯(lián)系，更為重要的是剖析概念之間以及概念域和特征之間的內(nèi)在聯(lián)系。

四、引議

在教學(xué)《三角形的認(rèn)識(shí)》中，結(jié)合APOS理論可看出：

對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)中相關(guān)概念屬性的具體操作、觀察，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的具體實(shí)例階段就相當(dāng)于活動(dòng)階段；

從多個(gè)具體操作、具體活動(dòng)和具體實(shí)例中抽象概括出三角形相關(guān)概念屬性的階段則是過(guò)程階段；

將每個(gè)概念或概念組作為一個(gè)個(gè)抽象的概念出現(xiàn)在頭腦中，是能將概念作為一個(gè)獨(dú)立的對(duì)象并施加各種心理運(yùn)算的階段就是對(duì)象階段；

圖式階段指對(duì)三角形有關(guān)概念的具體實(shí)例、本質(zhì)屬性及其應(yīng)用的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步充實(shí)豐富之后，這些概念會(huì)以一種完整的心理圖式貯存于大腦中，包括具體的“活動(dòng)”——實(shí)例、抽象的“過(guò)程”、完整的“對(duì)象”——定義，以及與其他概念之間的區(qū)分與聯(lián)系，等等。

本節(jié)課的教學(xué)，最能體現(xiàn)APOS理論在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的運(yùn)用價(jià)值，因?yàn)?，“?shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)該返璞歸真，揭示數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，讓學(xué)生從概念的現(xiàn)實(shí)原型，概念的抽象過(guò)程、形式表述和符號(hào)化的運(yùn)用等多方位、多角度地理解一個(gè)數(shù)學(xué)概念，使之符合學(xué)生概念建構(gòu)的教育原理?！被诖?，筆者認(rèn)為基于APOS理論指導(dǎo)下的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)可以從以下幾個(gè)方面著手：

第一，APOS理論的“四階段”在同一個(gè)（或單一）概念教學(xué)中的使用是按順序依次進(jìn)行的，但是對(duì)單位時(shí)間內(nèi)要完成多個(gè)有緊密聯(lián)系的“概念組”來(lái)說(shuō)就可能需要多次重復(fù)、交叉進(jìn)行這四個(gè)階段的任務(wù)。

第二，小學(xué)數(shù)學(xué)概念的建立需要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的多次反復(fù)過(guò)程。一個(gè)概念的建立從“活動(dòng)”“過(guò)程”到“對(duì)象”的不斷抽象、具體、壓縮、形成，直到學(xué)生理解是一個(gè)較為漫長(zhǎng)的過(guò)程，特別是達(dá)到“圖式”階段需要的是學(xué)生用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言、文字、符號(hào)表征并在頭腦中建立這組概念的直觀結(jié)構(gòu)形象。

第三，讓“教”“學(xué)”合一。教學(xué)重心是使教和學(xué)和諧共生，相互促進(jìn)，精心設(shè)計(jì)“活動(dòng)”（包括外在的和內(nèi)隱的），主動(dòng)參與“過(guò)程”，自覺(jué)形成“對(duì)象”。感受到數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的思想和方法，培養(yǎng)和積累數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

第四，認(rèn)識(shí)APOS理論的價(jià)值和作用。APOS理論不僅是概念教學(xué)的理論，也是一種工具，可以根據(jù)它來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)全過(guò)程（包括教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)活動(dòng)、教學(xué)組織等）。同時(shí)，我們也可以用其作為一種檢測(cè)評(píng)價(jià)手段或工具，對(duì)學(xué)習(xí)現(xiàn)象、學(xué)習(xí)過(guò)程、思維過(guò)程和思維結(jié)果等進(jìn)行觀察、分析和評(píng)價(jià)，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)水平處于何種層面，反過(guò)來(lái)思考和調(diào)整教學(xué)的行為、策略和方法。