“一類圖形的最值問題”教學實錄與反思

戴娟

[摘 要] 最值問題是近幾年中考命題中的熱點問題，也是壓軸題常見的問題. 本文從“將軍飲馬”問題出發，結合“垂線段最短”“兩點之間，線段最短”，根據圖形自身性質解決“最值問題”.

[關鍵詞] 將軍飲馬；最值；軸對稱圖形；最短

基本情況

1. 背景介紹

本課例是中考第二輪復習的一節研討交流課. 本課例采取學案組織教學，學案設計分兩塊：一塊是“將軍飲馬”問題的變式和拓展，用的是“兩點之間，線段最短”；第二塊是“垂線段最短”和“兩點之間，線段最短”的綜合運用，旨在讓學生掌握除了用函數解決最值問題以外，還可以根據圖形自身性質，用上述定理解決最值問題.

2. 授課對象

初三年級的學生具備探索的基本活動經驗，有比較好的合作與交流能力，有良好的運算基礎和邏輯推理能力，有較強的總結概括水平.

3. 教材分析

學生對常見的用函數解決最值問題很拿手，但對根據圖形自身性質求最值問題很陌生. 本節課通過復習“將軍飲馬”模型，引導學生參與知識回顧，然后將模型放在幾何圖形中，讓學生通過觀察、類比、歸納，體會到在這類問題中，其實就是利用“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個定理，結合幾何圖形自身性質特點來解決，進而總結這類問題的中考命題規律和方向，這也是本節課的重點和難點.

4. 教學目標？搖

（1）熟練掌握“將軍飲馬”模型，并能總結這類問題中考命題的規律和方向.

（2）會靈活應用“垂線段最短”和“兩點之間，線段最短”，結合圖形自身性質“化動為靜”地解決問題.

課堂實錄

1. 知識回顧，鋪墊準備

師：我們一起來看一下這張圖（圖1），這張圖大家熟悉嗎？

生（齊）：非常熟悉.

師：你能用這張圖編一個問題嗎？

生（齊）：你能在直線l上找一點P，使得PA+PB最短嗎？

師：你是怎樣找出點P的位置的呢？

生1：作出點A關于直線l的對稱點A′，連接BA′交直線l于點P.

師：為什么此時的點P能使PA+PB最短呢？你能證明嗎？

生1：在直線l上找任意一點P′，連接P′A，P′B，根據“兩點之間，線段最短”，得P′A+ P′B≥A′B= PA+PB.

師：說得非常好！這個模型我們通常稱之為“將軍飲馬模型”—“兩定一動型”.

設計意圖？搖 通過復習“將軍飲馬”模型，引導學生參與知識回顧，為下面的學習架設“認知橋梁”. 學生的踴躍回答為這節課開了好頭.

2. 結合考題，探索規律

【活動1：中考中的“將軍飲馬模型”】

試題 （1）如圖2，在正方形ABCD中，AB=4，E為BC的中點，點P是對角線AC上一動點，則PE+PB的最小值為______.

（2）如圖3，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN=30°，B為的中點，點P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為______.

師：在圖2中，你能找到“將軍飲馬模型”嗎？兩個定點和一個動點在哪里？

生（齊）：能. 定點為E，B，動點為P.

師：（通過幾何畫板隱藏線段BA，DA，DC，EC，EB，只留下線段AC，點E，B，P）那么點P的位置會作了嗎？

生（齊）：會.

師：我們再來看看圖3. 你能找到“將軍飲馬模型”嗎？兩個定點和一個動點又在哪里？

生（齊）：能. 定點為A，B，動點為P.

師：（通過幾何畫板隱藏線段MA，⊙O，只留下線段MN，點P，B，A）點P的位置會不會作？

生（齊）：會.

師：（啟發）我們來總結一下，中考中通常把“將軍飲馬模型”放在什么背景里？

生1：幾何圖形里.

師：（追問）什么樣的幾何圖形里？

生（齊）：軸對稱圖形.

師：（追問）為什么是軸對稱圖形？

生2：因為軸對稱圖形容易作對稱點.

師：說得非常有道理！軸對稱圖形的性質也比較豐富. 那么，除了正方形、圓以外，還有哪些常用的軸對稱圖形？

生（齊）：等邊三角形、矩形、菱形、角等.

師：我們來驗證一下同學們的猜想是否正確. （播放PPT驗證學生猜想）近幾年的中考中， “將軍飲馬模型”往往放在軸對稱圖形中，再結合圖形自身豐富的性質可求得最值.

設計意圖 先給學生展示兩道關于“將軍飲馬模型”應用的中考題，讓學生及時發現和感知命題思路和方向. 學生通過積極思考和探究，從具體到抽象，從猜測到驗證，能順利把握命題規律，學會提煉題目本質.

【活動2：變式探究，模型歸類】

師：我們將“將軍飲馬模型”的條件改一改，（課件演示）如圖4，E是⊙B上一動點，你能在直線l上找一點P，使PA+PE的值最小嗎？

師：（啟發）定點B改為動點E，怎樣作出點P呢？PB雖改為PE，能否向線段PB靠一靠呢？我們連接P，B兩點，大家有何發現？

生（齊）：發現了EP和BP都在△BEP中.

師：PA+PE+BE影響PA+PE取最值嗎？

生（齊）：不影響.

師：因為PA+PE+BE≥PA+PB，所以PA+PE≥PA+PB-BE，即PA+PE≥PA+PB-r. PA+PE取最小值就是PA+PB取最小值，同學們現在會作出點P了嗎？

生（齊）：會，還是“將軍飲馬模型”的作法.

師：那我們來挑戰一下2014年無錫中考卷上的一個問題——如圖5，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A和⊙B的半徑分別為2和1，P，E，F分別是邊CD，⊙A和⊙B上的動點，則PE+PF的最小值是______.

師：在這個題目中，同學們是怎么作出點P的？

生1：和上面你講的那個變式的道理是一樣的.

師：你能給大家講講嗎？

生1：因為PE+PF+AE+BF≥PA+PB，所以PE+PF≥PA+PB-AE-BF，即PE+PF≥PA+PB-R-r. 點P還是“將軍飲馬模型”的作法. 作點A關于直線CD的對稱點A′，連接A′B交CD于點P，則（PE+PF）=A′B-R-r.

師：非常好！無論是“兩定一動”“兩動一定”還是“三動”，都可以轉化成“將軍飲馬模型”.

設計意圖？搖 通過改變“將軍飲馬模型”的條件，將一個定點改為動點作為變式，讓學生通過探究，發現本質上還是PA+PB最小的問題，進而再將一個定點改為動點，即三個全部都是動點，結合變式的啟示發現本質上還是PA+PB最小的問題. 學生在變式探究的過程中，在“探”中思，在“思”中歸納，逐層推進，符合學生的認知規律.

【活動3：鞏固舊知，拓展延伸】

試題 如圖6，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，則EF的最小值是______.

師：EF的最小值會求嗎？

生1：因為四邊形AEPF是矩形，所以EF=AP，又AP的最小值為4.8，故EF的最小值為4.8.

師：很好！AP的最小值的依據是什么？

生1：垂線段最短，當AP⊥BC時，AP取得最小值.

師：4.8是怎么算出來的？

生1：等積法.

師：除了“兩點之間，線段最短”以外，“垂線段最短”也是圖形求最值問題的一個比較重要的依據. 下面我們一起來挑戰一個練習題.

師：如圖7，在銳角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M，N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是______.

師：大家拿出鉛筆，自己先動筆畫一畫，琢磨琢磨.

師：（幾分鐘后）有沒有同學已經有想法了？

生2：作點N關于直線AD的對稱點N′，于是MN=MN′，BM+MN=BM+MN′≥BN′.

師：你是怎樣想到作點N的對稱點N′的呢？

生2：角是軸對稱圖形，AD為∠BAC的平分線.

師：這位同學說得太好啦！在軸對稱圖形中，作軸對稱可以將線段進行轉化. 那么BN′的最小值又怎么求呢？BN′的最小值是多少呢？

生2：根據垂線段最短，當BN′⊥AC時，BN′取最小值. 因為AB=4，∠BAC=45°，于是可得BN′=4.

師：我們能總結一下，在這個題目中，我們是怎樣求最值的嗎？

生（齊）：先作軸對稱，轉化線段，然后利用“兩點之間，線段最短”，將兩條線段的和轉化成一條線段，再根據垂線段最短，求出最值.

師：“垂線段最短”可單獨考查，也可以與“兩點之間，線段最短”進行綜合考查. 大家在解決問題時，要注意把握題目的本質.

設計意圖？搖 通過先舉一個單獨考查“垂線段最短”的例題，讓學生感知求圖形最值問題“垂線段最短”是除“兩點之間，線段最短”另一個比較重要的依據. 解決練習題時，學生有了例題的體驗，解決問題就相對變得容易了. 在解決問題的過程中，培養了學生舉一反三、觸類旁通的數學思維能力.

【活動4：綜合探究，提升能力】

（1）求點 M的坐標；

（2）設G為y軸上線段OM上一點，點P從點M出發，以速度v先沿y軸到達點G，再沿GA到達點A，若點P在y軸上運動的速度是它在線段GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使點P按照上述要求到達點A所用的時間最短.

師：大家拿出鉛筆，自己先動筆畫一畫，琢磨琢磨

師：第（1）問中點M的坐標大家會求嗎？

生（齊）：會. （0，6）.

師：大家是怎樣求出來的？

生（齊）：根據平行和CD =AC，可得出相似比為1 ∶ 2，進而求出CM=2，OM=6.

師：很好.我們繼續第（2）問. 根據“G為y軸上線段OM上一點”，大家作出點G了嗎？

（學生比較沉默，大多數同學在思考，個別同學小聲說“不知在什么位置”）

師：（啟發）我們在分析問題的時候，根據“G為y軸上線段OM上一點”，不妨在線段OM上任意作出點G，以便我們分析問題. 大家拿出鉛筆，在線段OM上任意作一點G.

師：時間等于什么？

生（齊）：路程除以速度.

師：速度，題目中有嗎？

生（齊）：沒有，但是有兩倍的關系.

師：我們不妨設若點P在y軸上的運動速度是2v，在線段GA上的運動速度是v，你能把時間表示出來嗎？

（教師板書t，學生在學案上書寫）

師：v是定值，上面的式子我們能否稍作化簡？（教師繼續板書t）

師：求t的最小值就是求什么的最小值？

生（齊）：+AG的最小值.

師：大家有沒有什么想法？一般我們遇到二分之線段怎么辦？

生（齊）：作中點，截一半.

師：大家動筆試一試，作中點是否可行？

（學生比較沉默，大多數同學在思考，個別同學小聲說“不行”）

師：好像作中點解決不了問題. 我們再回頭看看題目，當大題第（2）問做不出時，我們怎么辦？

生（齊）：看看第（1）問.

師：第（1）問給了我們什么提示？看到B，M的坐標你們有什么想法？

（部分同學激動地說有30°角產生，有一些同學激動地說“明白了”）

師：那現在大家知道點G確切的位置了嗎？

生（齊）：就是AH與y軸的交點.

師：大家回答得非常好！從這道題中我們能總結什么？

生（齊）：還是“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”的綜合考查，只是放在動態的背景中了.

師：對于線段的一半，有經驗總結嗎？

生（齊）：作中點截取，或有30°角可作垂線段解決.

設計意圖？搖 通過這個比較綜合的例題，讓學生繼續感知，求圖形最值問題時，“垂線段最短”和“兩點之間，線段最短”是兩個最為重要的依據，且傳授學生寶貴的經驗，即在解決問題時，嘗試“作任意點”探究問題，大題中的第（1）問通常會為第（2）問“服務”，“看到30°角要想到”等，以培養學生自主探究、學以致用、溫故知新的思維品質.

回顧與反思

1. 教學設計的立意

變式教學是指在教學過程中通過變更概念非本質的特征、改變問題的條件或結論、轉換問題的形式或內容，有意識、有目的地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從不變的本質中，探索變的規律的一種教學方式. 變式教學的核心是“通過變化以突出其中的不變因素”，從而幫助學生更好地掌握數學概念的本質，包括學會數學地解決問題. 本節課將“將軍飲馬模型”作為起始模型，不斷變換條件，將一個定點變成一個動點，進而將另一個定點也改為動點，即“兩定一動”變為“兩動一定”再變為“三動”，再結合“垂線段最短”，通過教師的引導和師生的互動，有意識、有目的地引導學生從變的現象中發現不變的本質.

2. 教學思考

（1）利用已有知識，激勵學生“以舊換新”，獲得最佳發展. 本課注重問題情境的創設，通過學生熟悉的問題引入新課，又通過演示學生十分關心的中考題來激發學生的探究興趣，通過遞進式變式題組，由淺入深，由簡入繁，突破教學重難點.

（2）以活動引領，在“探”中思，在“思”中歸納. 本課精心設計教學活動，引導學生從活動1到活動4，提升能力的不同層次和要求，經歷發現問題、提出問題和解決問題的過程，鼓勵學生大膽實踐和猜測，觀察和思考，經歷結論“再發現、再完善”的過程，引導學生的思維從淺到深，從橫向到縱向發展.

（3）串聯相關知識點，加深知識間的橫縱聯系. 本課摒除常見的用函數解決最值問題，而是通過根據圖形自身性質這個新的對學生比較陌生的視角來研究最值問題. 通過活動的有序進行，學生不斷刷新感知，知識點間的聯系和脈絡逐漸清晰，有效地幫助學生解剖問題，化解難點，最終在活動的過程中有所獲、有所思，并積累形成自己解決問題和分析問題的基本經驗，這正是課程標準理念的真實體現.