通過數(shù)形結(jié)合形成數(shù)學(xué)概念

陳炤

[摘 要] 初中生應(yīng)在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程中形成正確、科學(xué)的數(shù)學(xué)概念. 數(shù)學(xué)概念有一定的抽象性，而初中生的抽象思維能力還不是很強(qiáng)，因此，他們在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，往往不能夠正確把握數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延. 通過數(shù)形結(jié)合思想，能讓學(xué)生感知概念、形成概念.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)形結(jié)合；概念

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，通過數(shù)形結(jié)合能夠有效地幫助初中生形成數(shù)學(xué)概念，從而讓他們的概念學(xué)習(xí)更高效. 其具體的策略有通過數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生感知概念的要素、理解概念的內(nèi)涵、深化概念的探究、促進(jìn)概念的內(nèi)化.

通過數(shù)形結(jié)合感知概念的要素

在初中數(shù)學(xué)教材中，對于數(shù)學(xué)概念的描述往往是通過文字的形式進(jìn)行呈現(xiàn)的，這樣的概念呈現(xiàn)方式僅僅把數(shù)學(xué)概念的基本要素進(jìn)行了表述. 教師在教學(xué)中如果僅僅讓初中生對這些概念的基本要素進(jìn)行記憶，雖然在短時(shí)間內(nèi)有一定的效果，但卻不利于初中生對數(shù)學(xué)概念的深入理解. 教學(xué)中，通過數(shù)形結(jié)合就能夠有效地把數(shù)學(xué)概念的基本要素進(jìn)行形象化呈現(xiàn)，從而讓初中生進(jìn)行感知與理解，達(dá)到優(yōu)化概念學(xué)習(xí)的目的.

例如，教學(xué)“數(shù)軸”這一數(shù)學(xué)概念時(shí)，在給初中生引入這一數(shù)學(xué)概念之后，可以先讓學(xué)生根據(jù)以下生活情境畫出線段圖：王林家向東走200米是汽車站，向西走300米是火車站. 假如規(guī)定向東走為正，向西走為負(fù)，王林從家里走到汽車站可以怎么表示？走到火車站又可以怎么表示？你能畫一畫嗎？這樣，學(xué)生就會通過畫線段圖表示王林家、汽車站、火車站這三者之間的位置關(guān)系. 學(xué)生畫了圖以后，再組織他們對“怎樣在圖上表示東、西兩個(gè)相反的方向？怎樣才能表示出王林家離汽車站和火車站之間的不同距離”這一問題進(jìn)行討論，在討論的過程中，再給學(xué)生引出數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、方向、長度單位，這樣，學(xué)生對數(shù)軸的基本要素就能夠進(jìn)行直觀化理解，并且能夠?qū)?shù)軸的這三要素的不可缺少性進(jìn)行深入認(rèn)知，從而正確形成數(shù)軸的概念. 對于初中生來說，這樣的概念學(xué)習(xí)才是高效的，因?yàn)檫@樣的概念學(xué)習(xí)基于他們的生活起點(diǎn)與認(rèn)知起點(diǎn).

“數(shù)軸”本是抽象的數(shù)學(xué)概念，以上案例是在具體的情境中抽象出數(shù)軸模型，然后通過數(shù)形結(jié)合的方式把數(shù)軸的三要素進(jìn)行深入融合，這樣，就有效地在這個(gè)過程中促進(jìn)了學(xué)生對數(shù)軸這一數(shù)學(xué)概念的形象化感知，從而促成了他們概念學(xué)習(xí)的高效化. 可見，在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，借助數(shù)形結(jié)合的方式引導(dǎo)初中生對數(shù)學(xué)概念的基本要素進(jìn)行理解與把握，就能收到事半功倍的效果. 在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，像這樣的例子還有很多，這就需要教師在教學(xué)中根據(jù)不同的概念教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行靈活設(shè)計(jì).

通過數(shù)形結(jié)合，理解概念的內(nèi)涵

概念的內(nèi)涵是指概念的本質(zhì)和基本特征，初中生在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程中，理解概念的內(nèi)涵才能真正地形成數(shù)學(xué)概念. 初中生理解數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵需要經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維過程，如果他們在這個(gè)過程中缺乏數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，而僅僅是對數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵進(jìn)行記憶，這是低效的. 因此，教學(xué)中，教師要善于通過數(shù)形結(jié)合的策略引導(dǎo)學(xué)生理解概念的內(nèi)涵，這樣，就能有效地提升數(shù)學(xué)概念的教學(xué)效率.

例如，教學(xué)“絕對值”這一數(shù)學(xué)概念時(shí)，引入絕對值的概念以后，可以讓初中生結(jié)合數(shù)軸找一找5，-5，0，-12，12的絕對值. 在這個(gè)過程中，他們根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，很容易發(fā)現(xiàn)5和-5，-12和12的絕對值是一樣的，0的絕對值就是0. 然后，引導(dǎo)學(xué)生思考：5和-5，-12和12的絕對值為什么一樣？初中生在反思的過程中會發(fā)現(xiàn)5和-5離原點(diǎn)的距離都是5，12和-12離原點(diǎn)的距離都是12，所不同的是，它們和原點(diǎn)的方向是相反的，方向相反并不影響它們離原點(diǎn)的距離. 待初中生有了這樣的感知與理解之后，再給他們出示一些正數(shù)和負(fù)數(shù)，結(jié)合數(shù)軸找一找其絕對值，這樣，學(xué)生就會明白，正數(shù)和0的絕對值是它本身，而負(fù)數(shù)的絕對值就是它的相反數(shù). 通過這樣的數(shù)形結(jié)合，初中生就能夠?qū)^對值在代數(shù)意義上的本質(zhì)內(nèi)涵有深入理解，并且能夠?qū)^對值這一數(shù)學(xué)概念在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中進(jìn)行同化，形成新的數(shù)學(xué)知識體系.

以上案例中，教師通過數(shù)形結(jié)合的策略引導(dǎo)學(xué)生對絕對值的代數(shù)本質(zhì)內(nèi)涵進(jìn)行理解的方式十分高效. 在教學(xué)中，如果我們僅僅讓學(xué)生對絕對值的內(nèi)涵進(jìn)行記憶，他們記得快，但是忘得也快，并不能從數(shù)學(xué)理解的角度進(jìn)行深入把握. 在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，還有很多相似的例子，我們在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中要多留心眼，要根據(jù)初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的規(guī)定進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，從而引導(dǎo)他們在課堂上進(jìn)行高效的數(shù)學(xué)概念探究學(xué)習(xí).

通過數(shù)形結(jié)合，深化概念的探究

在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，引導(dǎo)初中生進(jìn)行探究化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)十分重要，通過數(shù)學(xué)探究，初中生才能獲得數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的雙重提升. 數(shù)學(xué)概念是初中生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的有效載體之一，同時(shí)又是培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)思維能力的有效素材. 在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合的方法深化對數(shù)學(xué)概念的探究，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的探究過程，在對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行探究的過程中對數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延進(jìn)行深入理解.

例如，教學(xué)“三角形的中位線”這一數(shù)學(xué)概念時(shí)，當(dāng)學(xué)生對“三角形的中位線”的概念有了一定的感知以后，筆者讓學(xué)生在紙上任意畫一個(gè)三角形，即△ABC，并讓他們分別量出AB，AC，BC的長度，且分別畫出三條邊對應(yīng)的三條中位線DE，EF，F(xiàn)D，測量這三條中位線的長度，然后完成表1.

這樣，學(xué)生在這個(gè)過程中就會發(fā)現(xiàn)三角形的中位線是對應(yīng)的底邊長的二分之一. 那么，在一個(gè)三角形中得出的結(jié)論是不是具有普遍性呢？接著，筆者組織他們在小組內(nèi)對這個(gè)問題進(jìn)行討論，他們在小組討論的過程中發(fā)現(xiàn)，不管是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形，都有這個(gè)規(guī)律，這說明他們之前得出的結(jié)論是正確的. 最后，筆者給學(xué)生出示三角形中位線定理，學(xué)生在讀三角形中位線定理的過程中發(fā)現(xiàn)和他們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是一樣的，因此感受到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功與快樂，這樣他們就很容易理解三角形中位線定理了.

以上案例中，筆者在數(shù)形結(jié)合的過程中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了三角形中位線定理的探究過程，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)探究能力得到了有效提升，并且，在這個(gè)過程中，他們對三角形中位線的概念有了本質(zhì)的理解與把握. 可見，在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，這樣的形式能夠有效地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的探究過程，學(xué)生會在探究數(shù)學(xué)概念的過程中有效地對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行深入理解，從而達(dá)成概念學(xué)習(xí)的高效.

通過數(shù)形結(jié)合，理清概念的聯(lián)系

在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生促進(jìn)對數(shù)學(xué)概念的內(nèi)化十分重要. 數(shù)學(xué)概念的內(nèi)化指的是，把數(shù)學(xué)概念通過自己的理解使之融于自己原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之內(nèi)，從而形成數(shù)學(xué)概念系與數(shù)學(xué)概念域. 數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)概念之間存在緊密的聯(lián)系，而通過數(shù)形結(jié)合的形式就能有效地促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系，從而達(dá)到事半功倍的學(xué)習(xí)效果.

例如，教學(xué)“四邊形”這一教學(xué)內(nèi)容時(shí)，當(dāng)學(xué)生對平行四邊形、正方形、矩形、菱形這四個(gè)特殊四邊形的概念及特征進(jìn)行學(xué)習(xí)以后，筆者讓學(xué)生根據(jù)這四個(gè)圖形之間的關(guān)系畫出關(guān)系圖. 在學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)的畫圖操作以后，筆者給他們呈現(xiàn)了如圖1所示的關(guān)系圖.

這一關(guān)系圖有效地呈現(xiàn)了平行四邊形、正方形、矩形、菱形這四個(gè)特殊四邊形之間的聯(lián)系和區(qū)別，接著，筆者又讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表述“有一個(gè)角是直角”“有一組鄰邊相等”“對角線互相垂直”“對角線相等”這些圖形之間的關(guān)系要素，這樣，學(xué)生就能對這些數(shù)學(xué)概念進(jìn)行有效內(nèi)化，從而在頭腦中形成相應(yīng)的概念圖. 顯然，這樣的概念學(xué)習(xí)具有深度與廣度，同時(shí)，學(xué)生還經(jīng)歷了數(shù)學(xué)概括的思維過程.

以上案例中，教師先讓學(xué)生畫平行四邊形、正方形、矩形、菱形這四個(gè)特殊四邊形的關(guān)系圖，然后教師呈現(xiàn)科學(xué)化的關(guān)系圖，并引導(dǎo)學(xué)生對相應(yīng)的關(guān)系用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表述，這樣就自然且有效地促進(jìn)了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的深入理解. 在初中數(shù)學(xué)中，還有很多數(shù)學(xué)概念存在緊密的聯(lián)系，對于這些數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要善于引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合的策略把這種內(nèi)在的聯(lián)系表示出來，這樣就能有效地促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的內(nèi)化.

總之，數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)又是初中生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效輔助方式. 在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，借助數(shù)形結(jié)合能夠有效地引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)進(jìn)行優(yōu)化，能夠讓他們對數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征和基本內(nèi)涵進(jìn)行把握，并且經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的探究過程，從而讓他們的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)更高效. 但是，需要指出的是，數(shù)形結(jié)合是促進(jìn)學(xué)生優(yōu)化數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的一種手段，其目的是為優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)服務(wù)，并不是所有的數(shù)學(xué)概念教學(xué)都需要采用數(shù)形結(jié)合的方式，這就需要教師在教學(xué)中根據(jù)具體的概念進(jìn)行深入研究，從而設(shè)計(jì)出高效的教學(xué)設(shè)計(jì).