體驗過程培養能力

周忠武

[摘 要] 本文主要針對當前數學教學中忽視數學知識產生和發現的現象，提出自己的看法. 并結合兩個案例，分析在數學概念和數學規律教學中，如何發揮學生的主體地位，使學生積極主動地參與到數學知識的發現過程中.

[關鍵詞] 教學過程；思想方法；思維能力；數學概念

《義務教育數學課程標準》（2011年版）的總目標指出，“學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”. 然而受“應試”的影響，許多老師仍然熱衷于對學生解題和考試技能的訓練，忽視知識的產生發展過程. 因此，在義務教育階段應該加強學生數學思維能力的培養，讓學生主動參與并經歷數學知識產生的過程.

讓學生經歷數學概念的形成

過程

當前數學教學的普遍現象是注重解題，忽視概念. 教師對概念的講解如蜻蜓點水般一帶而過，然后就迫不及待地進入“題海戰術”模式. 在筆者看來，數學概念是展開數學思維的基礎和依據，概念理解不清就難以深入地展開相應的數學活動，獲得數學知識技能. 此外，數學概念本身的形成過程就蘊含著豐富的數學思想方法，而這些思想方法正是訓練學生思維能力的最好素材. 所以對概念的教學不能以簡單粗暴的方式不了了之，應該細嚼慢咽，循序漸進.

案例1 函數的概念

現有教材體系中，在學習函數之前，函數對初中生而言是一個未知的領域. 在研究初中函數前，學生所接觸的都是和常量有關的知識，而初中函數揭示的是兩個變量間的依賴關系. 學生在學習函數之前缺乏與函數直接相聯系的數學認知結構和經驗基礎. 斯根普曾經說過：“超過個人已有概念層次的高階概念不能用定義方式來溝通，只能收集有關例子供其經驗，再靠他自己抽象以形成概念. ”所以在筆者看來，在函數概念教學過程中，應盡可能采取概念形成的模式教學，引導學生經歷從特殊到一般再回歸到特殊，從具體到抽象再到具體的過程.

1. 重視生活背景引入

可以在生活中尋找多個領域的函數的模型，讓學生接受各種類似的刺激，感受接下來所學知識（即函數）廣泛的應用性和研究的必要性. 然后讓學生運用已有數學知識經驗突破模型，引導學生用數學的眼光看待世界，解決問題.

2. 加強例證分析，抽象本質屬性

首先讓學生獨立思考和分組討論，對比所列舉案例的共性與差異. 通過學生之間的交流和思想碰撞分化出例證的各種屬性，再概括出它們的共同屬性. 在學習函數概念之前有常量和變量的認知基礎，學生不難發現以下特征：列舉的所有案例都處于一個變化的過程中；這個變化的過程都只存在兩個變量，即自變量和因變量；都能通過若干個常量建立起它們間的等式關系；重點是這個過程都是因為一個量發生變化從而導致另一個量發生變化，所以兩變量之間存在某種不可描述的依賴關系等. 為了描述這種難以形容的依賴關系，教師可以分別列出關于上述案例中自變量和因變量的取值表，使這種抽象的依賴關系具體化，為學生學習函數本質特征搭建一個“腳手架”. 然后提出一系列具有啟發意義的組合問題：我們該如何描述這種依賴關系？當自變量取定一個確定的值時，這個變化過程中對應的因變量有幾個？當因變量取一個確定值時，是否只有唯一的自變量與之對應？這樣，函數中兩變量之間的依賴關系和“唯一性”就能在“腳手架”和組合問題的幫助下被學生突破. 接下來師生合作，通過總結概括，抽象出上述案例一系列共有特征：變化過程，兩個變量，相互依賴，唯一對應. 最后將這些共同屬性推廣到同類事物中，把具有上述四個共同特征的事物歸為一類，引出函數概念. 得到函數模糊的表象之后，可以試著讓學生用自己的語言描述什么是函數，對比教材中給出的規范的概念敘述，對學生的表述進行點評，形成概念.

3. 概念辨析，建立聯系

在學生形成簡單的函數概念意象之后，為了對概念進一步深化，教師需要指出概念中的關鍵屬性和內涵，并據此列舉適當反例以充實強化學生對概念的認識，防止形成錯誤的理解. 最后我們不妨讓學生結合自身實際，根據關鍵屬性，舉出生活中的函數例子. 知識只有來源于實踐，又還原于實踐，才能完成其形成過程. 所以需要引導學生再從一般回歸到特殊，檢測學生概念掌握水平，達到讓學生主動內化函數概念的效果.

通過上述過程的學習，學生能夠對同類事物中不同的具體例子進行感知，分化出它們的各種特征，經過分析比較這些特征，以歸納的方式，抽象概括出這類事物所具有的本質屬性，從而獲得概念. 這一過程中，學生先是從同類具體事物到一般概念，識別出與該類事物相關與無關的關鍵信息，確定函數概念的內涵. 再從一般概念回到其他具體事物中，分辨出生活中哪些事物可以用函數解釋，確定函數概念的外延. 整個概念學習過程，不僅獲得函數的新知，更有助于學生數學抽象思維水平的提升以及學生對事物的分類和辨別能力的培養.

讓學生經歷數學規律的發現

過程

掌握世界的普遍發展規律是我們認識并改造世界的基本途徑. 所以，作為教師我們有必要教會學生一種探索規律、發現規律的基本模式，為后續學習和終身學習打下方法上的基礎. 在筆者看來，知識的產生、發展過程就是人們認識和改造世界的過程. 在數學教學中需要對數學規律進行情境“再創造”，讓學生主動參與到數學規律的發現活動中，感悟數學思想方法，培養學生發現規律、解決問題的能力.

下面我們以多邊形外角和為例，對數學規律的發現做簡單說明.

案例2 多邊形外角和

對于多邊形外角和教學，中學教師中比較流行的一種方法是基于多邊形內角和公式直接證明得出定理. 然而陳省身教授曾經指出：“說三角形內角和為180度不對，不是說這個事實不對，而是說這種看問題的方法不對，應當說三角形外角和是360度. ”相比之下，多邊形的外角和更容易體現數學中“變中的不變”的數學美感. 為此筆者做出如下設計：

1. 復習舊知

請同學在草稿紙上畫出三角形，四邊形，五邊形，六邊形，并表示出它們的外角. 進而思考多邊形的外角和與它邊的個數變化是否有關？使得學生在這個問題的驅動下，開始多邊形外角和的探索活動.

2. 實驗探究，提出猜想

首先教師引導學生借助“測量”，從“數”的角度經歷多邊形外角和的研究. 讓學生分別度量上述圖形的外角，并計算其外角和，記錄成表，可以發現它們的外角和都接近360度. 這時可以讓學生猜測七邊形，八邊形，甚至n邊形的外角和. 從數理統計的維度觀察世界，采用不完全歸納法的數學方法，通過合情推理得出如下猜想：多邊形的外角和為360度. 然后可以引導學生換個角度思考：等于360度的角是周角，所以把上述圖形的所有外角剪下來肯定能拼成一個周角. 于是教師可以讓學生分別剪下草稿紙中上述圖形的外角，然后拼在一起，檢驗它們各自的外角是否能構成一個無縫隙無重疊的周角. 這樣讓學生從“形”的觀點感知多邊形的外角和，不僅培養了學生動手操作的能力，還能讓學生對多邊形外角和有更深刻的認識和理解，體現學生在教學中的主體地位.

3. 驗證猜想，形成定理

波利亞曾經說過：“在科學家的工作中，猜想幾乎總是走在證明前面. ”所以猜想是發現規律的開始，但是對試驗猜想的結論只有通過理論證明后才具備可信度. 為了避免“度量”和“拼圖”中存在的誤差，強化數學的嚴謹性，我們通過多媒體工具作多邊形各邊的平行線，將多邊形收縮成一點，使所有的外角匯聚到一點，讓所有外角形成一個周角，最后利用簡單的平行線知識對其進行證明.

學生經歷從數量關系和空間形式兩個維度對多邊形外角和進行探究，不僅有利于學生對數量屬性和圖形屬性的相互轉化，增強對多邊形外角和的感性認識，也使學生獲得了一種尋找事物規律的普適方法.

總的來說，數學教學應該是學生主動參與到數學知識產生和發現的過程，是在老師的引導下通過探究、發現、思考、分析、歸納等活動，感悟數學思想方法，最后獲得數學知識與技能的過程. 所以，教學中要重視學生的數學活動體驗，并以此為基礎改進數學教學，提升數學素養，提高數學教學質量. 這樣才能使學生在掌握新知的基礎上發展數學思維水平，培養數學能力.