體驗過程培養(yǎng)能力

周忠武

[摘 要] 本文主要針對當前數(shù)學教學中忽視數(shù)學知識產(chǎn)生和發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，提出自己的看法. 并結(jié)合兩個案例，分析在數(shù)學概念和數(shù)學規(guī)律教學中，如何發(fā)揮學生的主體地位，使學生積極主動地參與到數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)過程中.

[關(guān)鍵詞] 教學過程；思想方法；思維能力；數(shù)學概念

《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）的總目標指出，“學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”. 然而受“應試”的影響，許多老師仍然熱衷于對學生解題和考試技能的訓練，忽視知識的產(chǎn)生發(fā)展過程. 因此，在義務教育階段應該加強學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)，讓學生主動參與并經(jīng)歷數(shù)學知識產(chǎn)生的過程.

讓學生經(jīng)歷數(shù)學概念的形成

過程

當前數(shù)學教學的普遍現(xiàn)象是注重解題，忽視概念. 教師對概念的講解如蜻蜓點水般一帶而過，然后就迫不及待地進入“題海戰(zhàn)術(shù)”模式. 在筆者看來，數(shù)學概念是展開數(shù)學思維的基礎(chǔ)和依據(jù)，概念理解不清就難以深入地展開相應的數(shù)學活動，獲得數(shù)學知識技能. 此外，數(shù)學概念本身的形成過程就蘊含著豐富的數(shù)學思想方法，而這些思想方法正是訓練學生思維能力的最好素材. 所以對概念的教學不能以簡單粗暴的方式不了了之，應該細嚼慢咽，循序漸進.

案例1 函數(shù)的概念

現(xiàn)有教材體系中，在學習函數(shù)之前，函數(shù)對初中生而言是一個未知的領(lǐng)域. 在研究初中函數(shù)前，學生所接觸的都是和常量有關(guān)的知識，而初中函數(shù)揭示的是兩個變量間的依賴關(guān)系. 學生在學習函數(shù)之前缺乏與函數(shù)直接相聯(lián)系的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗基礎(chǔ). 斯根普曾經(jīng)說過：“超過個人已有概念層次的高階概念不能用定義方式來溝通，只能收集有關(guān)例子供其經(jīng)驗，再靠他自己抽象以形成概念. ”所以在筆者看來，在函數(shù)概念教學過程中，應盡可能采取概念形成的模式教學，引導學生經(jīng)歷從特殊到一般再回歸到特殊，從具體到抽象再到具體的過程.

1. 重視生活背景引入

可以在生活中尋找多個領(lǐng)域的函數(shù)的模型，讓學生接受各種類似的刺激，感受接下來所學知識（即函數(shù)）廣泛的應用性和研究的必要性. 然后讓學生運用已有數(shù)學知識經(jīng)驗突破模型，引導學生用數(shù)學的眼光看待世界，解決問題.

2. 加強例證分析，抽象本質(zhì)屬性

首先讓學生獨立思考和分組討論，對比所列舉案例的共性與差異. 通過學生之間的交流和思想碰撞分化出例證的各種屬性，再概括出它們的共同屬性. 在學習函數(shù)概念之前有常量和變量的認知基礎(chǔ)，學生不難發(fā)現(xiàn)以下特征：列舉的所有案例都處于一個變化的過程中；這個變化的過程都只存在兩個變量，即自變量和因變量；都能通過若干個常量建立起它們間的等式關(guān)系；重點是這個過程都是因為一個量發(fā)生變化從而導致另一個量發(fā)生變化，所以兩變量之間存在某種不可描述的依賴關(guān)系等. 為了描述這種難以形容的依賴關(guān)系，教師可以分別列出關(guān)于上述案例中自變量和因變量的取值表，使這種抽象的依賴關(guān)系具體化，為學生學習函數(shù)本質(zhì)特征搭建一個“腳手架”. 然后提出一系列具有啟發(fā)意義的組合問題：我們該如何描述這種依賴關(guān)系？當自變量取定一個確定的值時，這個變化過程中對應的因變量有幾個？當因變量取一個確定值時，是否只有唯一的自變量與之對應？這樣，函數(shù)中兩變量之間的依賴關(guān)系和“唯一性”就能在“腳手架”和組合問題的幫助下被學生突破. 接下來師生合作，通過總結(jié)概括，抽象出上述案例一系列共有特征：變化過程，兩個變量，相互依賴，唯一對應. 最后將這些共同屬性推廣到同類事物中，把具有上述四個共同特征的事物歸為一類，引出函數(shù)概念. 得到函數(shù)模糊的表象之后，可以試著讓學生用自己的語言描述什么是函數(shù)，對比教材中給出的規(guī)范的概念敘述，對學生的表述進行點評，形成概念.

3. 概念辨析，建立聯(lián)系

在學生形成簡單的函數(shù)概念意象之后，為了對概念進一步深化，教師需要指出概念中的關(guān)鍵屬性和內(nèi)涵，并據(jù)此列舉適當反例以充實強化學生對概念的認識，防止形成錯誤的理解. 最后我們不妨讓學生結(jié)合自身實際，根據(jù)關(guān)鍵屬性，舉出生活中的函數(shù)例子. 知識只有來源于實踐，又還原于實踐，才能完成其形成過程. 所以需要引導學生再從一般回歸到特殊，檢測學生概念掌握水平，達到讓學生主動內(nèi)化函數(shù)概念的效果.

通過上述過程的學習，學生能夠?qū)ν愂挛镏胁煌木唧w例子進行感知，分化出它們的各種特征，經(jīng)過分析比較這些特征，以歸納的方式，抽象概括出這類事物所具有的本質(zhì)屬性，從而獲得概念. 這一過程中，學生先是從同類具體事物到一般概念，識別出與該類事物相關(guān)與無關(guān)的關(guān)鍵信息，確定函數(shù)概念的內(nèi)涵. 再從一般概念回到其他具體事物中，分辨出生活中哪些事物可以用函數(shù)解釋，確定函數(shù)概念的外延. 整個概念學習過程，不僅獲得函數(shù)的新知，更有助于學生數(shù)學抽象思維水平的提升以及學生對事物的分類和辨別能力的培養(yǎng).

讓學生經(jīng)歷數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)

過程

掌握世界的普遍發(fā)展規(guī)律是我們認識并改造世界的基本途徑. 所以，作為教師我們有必要教會學生一種探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基本模式，為后續(xù)學習和終身學習打下方法上的基礎(chǔ). 在筆者看來，知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程就是人們認識和改造世界的過程. 在數(shù)學教學中需要對數(shù)學規(guī)律進行情境“再創(chuàng)造”，讓學生主動參與到數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)活動中，感悟數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題的能力.

下面我們以多邊形外角和為例，對數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)做簡單說明.

案例2 多邊形外角和

對于多邊形外角和教學，中學教師中比較流行的一種方法是基于多邊形內(nèi)角和公式直接證明得出定理. 然而陳省身教授曾經(jīng)指出：“說三角形內(nèi)角和為180度不對，不是說這個事實不對，而是說這種看問題的方法不對，應當說三角形外角和是360度. ”相比之下，多邊形的外角和更容易體現(xiàn)數(shù)學中“變中的不變”的數(shù)學美感. 為此筆者做出如下設計：

1. 復習舊知

請同學在草稿紙上畫出三角形，四邊形，五邊形，六邊形，并表示出它們的外角. 進而思考多邊形的外角和與它邊的個數(shù)變化是否有關(guān)？使得學生在這個問題的驅(qū)動下，開始多邊形外角和的探索活動.

2. 實驗探究，提出猜想

首先教師引導學生借助“測量”，從“數(shù)”的角度經(jīng)歷多邊形外角和的研究. 讓學生分別度量上述圖形的外角，并計算其外角和，記錄成表，可以發(fā)現(xiàn)它們的外角和都接近360度. 這時可以讓學生猜測七邊形，八邊形，甚至n邊形的外角和. 從數(shù)理統(tǒng)計的維度觀察世界，采用不完全歸納法的數(shù)學方法，通過合情推理得出如下猜想：多邊形的外角和為360度. 然后可以引導學生換個角度思考：等于360度的角是周角，所以把上述圖形的所有外角剪下來肯定能拼成一個周角. 于是教師可以讓學生分別剪下草稿紙中上述圖形的外角，然后拼在一起，檢驗它們各自的外角是否能構(gòu)成一個無縫隙無重疊的周角. 這樣讓學生從“形”的觀點感知多邊形的外角和，不僅培養(yǎng)了學生動手操作的能力，還能讓學生對多邊形外角和有更深刻的認識和理解，體現(xiàn)學生在教學中的主體地位.

3. 驗證猜想，形成定理

波利亞曾經(jīng)說過：“在科學家的工作中，猜想幾乎總是走在證明前面. ”所以猜想是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的開始，但是對試驗猜想的結(jié)論只有通過理論證明后才具備可信度. 為了避免“度量”和“拼圖”中存在的誤差，強化數(shù)學的嚴謹性，我們通過多媒體工具作多邊形各邊的平行線，將多邊形收縮成一點，使所有的外角匯聚到一點，讓所有外角形成一個周角，最后利用簡單的平行線知識對其進行證明.

學生經(jīng)歷從數(shù)量關(guān)系和空間形式兩個維度對多邊形外角和進行探究，不僅有利于學生對數(shù)量屬性和圖形屬性的相互轉(zhuǎn)化，增強對多邊形外角和的感性認識，也使學生獲得了一種尋找事物規(guī)律的普適方法.

總的來說，數(shù)學教學應該是學生主動參與到數(shù)學知識產(chǎn)生和發(fā)現(xiàn)的過程，是在老師的引導下通過探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析、歸納等活動，感悟數(shù)學思想方法，最后獲得數(shù)學知識與技能的過程. 所以，教學中要重視學生的數(shù)學活動體驗，并以此為基礎(chǔ)改進數(shù)學教學，提升數(shù)學素養(yǎng)，提高數(shù)學教學質(zhì)量. 這樣才能使學生在掌握新知的基礎(chǔ)上發(fā)展數(shù)學思維水平，培養(yǎng)數(shù)學能力.