碳限額與交易政策下易變質產品的最優庫存策略

柏慶國，徐賢浩

(1. 曲阜師范大學管理學院，山東 日照 276826；2. 華中科技大學管理學院，湖北 武漢 430074)

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碳限額與交易政策下易變質產品的最優庫存策略

柏慶國1，徐賢浩2

(1. 曲阜師范大學管理學院，山東 日照 276826；2. 華中科技大學管理學院，湖北 武漢 430074)

研究了碳政策下易變質產品的庫存優化問題。結合易變質產品銷售價格隨時間變化與產品在訂購和存貯過程會產生碳排放的實際情形，以有限計劃期內零售商總利潤最大為目標，構建了碳限額與交易政策下易變質產品的庫存優化模型。分析模型最優解的相關性質并求解了零售商在碳政策約束下的最優訂購次數。進一步將最優訂購次數分別與無碳約束情形和零售商實現最小碳排放時對應的訂購次數進行比較，得出零售商在碳政策下實現高利潤和低排放的條件。最后通過數值算例對模型的理論結果進行驗證，探討了相關參數對零售商庫存策略的影響。研究結果表明：在碳限額與交易政策下，存在唯一的最優訂購策略使得零售商在有限計劃期內的總利潤值取得最大；當零售商在碳政策下的最優訂購次數等于釋放最小碳排放所對應的訂購次數時，零售商能夠實現高利潤和低排放的雙贏結果。

碳限額與交易；時變價格；庫存模型；最優策略

1 引言

低碳經濟是當前社會可持續發展的主題，有效地降低二氧化碳等溫室氣體的過度排放則是實現這一主題的有效途徑。作為減少碳排放的重要手段之一，碳政策被各國政府和組織制定并實施， 例如，為了幫助成員國履行減排承諾，歐盟 (EU)于2005年啟動了以碳限額與交易(Cap-and-trade)為核心的排放交易體系(ETS)。碳限額與交易是指對納入排放交易體系的企業分配一定數量的碳排放許可權，如果企業的實際排放量小于分配到的碳排放許可權，那么該企業就可以將剩余的排放權通過交易體系出售獲取利潤，否則企業就需要通過交易體系購買碳排放權。碳限額與交易政策通過政府管制和市場激勵的雙重手段進行有效減排，這也使得該政策在實際中被廣泛應用。作為制造業大國，我國長期致力于降低二氧化碳的排放， 2013年就在北京、天津和深圳等7個省市運行了碳排放交易市場；2014年9月發改委發布《國家應對氣候變化規劃(2014-2020年)》則提出將繼續深化碳排放權交易試點，加快建立全國碳排放交易市場。作為二氧化碳排放的主體，企業在碳政策的實施過程中扮演著重要的角色，其經營決策與目標發生了根本改變。因此，在碳政策約束下如何有效地進行庫存優化成為當前運作管理領域的一個研究熱點。

目前，一些學者對碳政策下的企業運作決策進行了研究。如 Hua Guowei 等[1]將經典的EOQ模型推廣到考慮碳約束的情形。他們求解企業在碳限額與交易政策下的庫存策略并分析了企業實現低成本和低排放條件。Chen Xi等[2]基于EOQ模型考慮了企業在碳配額、碳稅等排放政策下的庫存策略，他們分析并比較不同碳政策對企業庫存策略的影響。Toptal[3]分別考慮了企業在碳限額與交易、碳配額和碳稅政策下的聯合訂購與減排投資策略。他們分析三種碳政策對企業聯合庫存和減排投資策略的影響，研究發現在碳限額與交易政策下企業進行投資減排技術能夠實現低成本和低排放的雙贏結果。Konur 和 Schaefer[4]研究了碳限額與交易、碳配額和碳稅等排放政策下企業的聯合庫存與運輸策略，其中運輸方式為零擔運輸(Less-than-truckload)和整車運輸 (Truckload)。他們研究表明在碳政策約束下，企業更愿意采用零擔運輸方式來降低成本和減少碳排放。He Ping等[5]建立了碳限額與交易政策和碳稅政策下的庫存優化模型。當碳排放權的購買價格不低于售出價格時，他們求解了企業在碳限額與交易政策下的庫存策略并與碳稅情形進行比較，得出相應的管理啟示。以上文獻的特點是基于經典的EOQ模型分析企業在碳政策下的庫存策略。還有一些學者從經濟批量(ELS)問題、報童(Newsvendor)問題等其他視角分析碳政策對企業訂購策略的影響，相關的文獻如 Benjaafar等[6]，Song Jingpu和 Leng Mingming[7]，王明喜等[8]，駱瑞玲等[9]，張漢江等[10]。

上述文獻都是以非變質產品為研究對象分析了碳政策對企業運作決策的影響。然而，實際中很多的物品在存儲過程中都具有變質的物理屬性，這類產品稱為易變質產品。目前運作管理領域的理論研究者從多個角度對易變質產品的庫存優化問題進行了研究，得到大量杰出的理論成果，詳細的文獻綜述見Goyal和Giri[11]， Bakker等[12]。Dye 和Yang[13]則首次考慮了碳限額與交易政策對易變質產品庫存優化模型的影響。假設產品需求率依賴于企業給顧客提供信貸周期的長度和產品的銷售價格為常數，他們以無限計劃期內企業的平均總利潤最大為目標求解了碳政策下的商業信用和庫存策略。然而在當前基于時間競爭的市場環境下，產品的銷售價格往往隨時間動態變化。另一方面，產品變質的物理屬性使得該類產品在有限計劃期內的多次訂購對其庫存策略具有明顯的影響。在此情形下，一些理論研究者對有限計劃期內的易變質庫存優化模型進行了研究。如，Chen 和 Dye[14]考慮時變需求下易變質產品庫存優化模型。假設企業會通過投資保護技術降低產品的損耗程度， 他們利用粒子群優化算法求解了零售商在有限計劃期內的最優訂購次數、訂購時間與保護技術投資。Gilding[15]以有限計劃期內的總成本最小為目標建立時變需求環境下的庫存優化模型，并對允許缺貨和不允許缺貨兩種情形分別研究了通貨膨脹對其最優訂購策略的影響。Ghoreishi 等[16]考慮市場需求受通貨膨脹率和銷售價格影響的非立即變質產品庫存模型，其中允許顧客退貨且退貨率依賴于產品需求率和銷售價格。他們求解了最優銷售價格和訂購次數使得企業在有限計劃期內總利潤的貼現值最大。其他類似的文獻見Pal 等[17]，Palanivel 和 Uthayakumar[18]，Xu Xiaohao等[19]，徐健騰等[20]，段永瑞等[21]。

上述文獻在對有限計劃期內的易變質庫存優化模型進行研究時都沒有考慮碳政策對企業庫存策略的影響。由于易變質產品在訂購和存貯過程具有保持新鮮度、防止變質的特殊要求，多次訂購該類產品會消耗更多的資源，釋放出更多的二氧化碳。而且在碳政策約束下，企業經營易變質產品的決策環境和運營目標發生了變化。基于以上現實背景，本文分析碳限額與交易政策對某零售商在有限計劃期內庫存策略的影響。當產品的銷售價格隨時間連續動態變化時，以有限計劃期內總利潤最大為目標建立了碳限額與交易政策下的庫存優化模型。首先證明最優訂購策略的唯一性并求解了最優訂購次數。然后，與無碳約束情形和以碳排放量最小為目標的碳模型分別進行比較，得出零售商實現高利潤和低排放的條件。最后通過算例驗證了理論結果。本文的創新點在于(1)與當前有限計劃期內易變質產品的庫存優化模型相比，考慮了碳政策對庫存策略的影響；(2)與當前碳政策下的庫存優化模型相比，研究易變質產品在碳排放約束下的運營策略，并對此類產品分析了實現高利潤和低排放的條件。

2 問題描述與符號說明

表1給出了文中相關的符號定義。

表1 符號定義

3 模型的建立和求解

3.1 數學模型的建立

根據問題描述可以知道，在第i訂購周期初si-1時刻開始，產品的需求和變質使得零售商的庫存不斷減少直至在si時刻減少為零。用如下微分方程表示這一變化過程：

(1)

方程(1)定量描述了零售商在第i訂購周期的庫存變化。為了便于分析零售商最優訂購策略的性質，參考庫存優化模型的研究文獻[14-16,19]，我們假設零售商在最初與最終時刻的庫存為零。利用邊界條件I(si)=0求解上述方程(1)得:

(2)

利用(2)， 可以求得零售商在第i訂購周期的庫存總量Ii和訂購量Qi分別為:

(3)

(4)

利用(3)可得第i訂購周期內零售商的庫存成本與產品的變質成本之和為:

(5)

利用(4)可得第i訂購周期內的訂購成本為:

(6)

考慮到零售商銷售產品的價格為時變函數p(t),可以求得第i訂購周期零售商的銷售收入為:

(7)

此外，由于產品在訂購和存貯過程中會產生碳排放，結合(3) 和(4)，可以求得該類產品在整個計劃期內的碳排放量為:

(8)

結合(5)-(8)，可以得到碳限額與交易政策下零售商的總利潤函數為:

(9)

這里，X=C-E(n,{si}) ，其中X=0表示零售商的碳排放量剛好達到碳配額，X>0表示零售商可以賣出一定的碳排放權，而X<0則表示了零售商需要購買一定的碳排放權。

3.2 數學模型的求解

(10)

求解(10)，我們可得如下結論。

接下來，我們證明由(10)確定的{si}使得TP1(n,{si},X)取得最大值。對TP1(n,{si},X)關于si,si-1和si+1分別求二階偏導數得:

(11)

(12)

和

(13)

(14)

當k為奇數時，Mk<0；當k為偶數時，Mk>0,因此TP1(n,{si},X)對應的海森矩陣為負定矩陣。從而定理得證。

利用定理 1，可將零售商在碳限額與交易政策下的總利潤函數TP1(n,{si},X)化簡成自變量為n的一元函數，將其簡記為TP1(n),則有:

(15)

定義函數f(x)=xex-ex+1,這里0≤x≤θH。利用(15)，我們有如下結論。

定理2 對于碳限額與交易政策下的庫存優化問題，若(c+cpce)Df(θH)>θ(A+cpAe),則存在唯一的n1使得零售商的利潤值取得最大；否則，零售商只需訂購1次即可使得其利潤值取得最大。

證明：將訂購周期次數n松弛為連續變量，對TP1(n)關于n求一階和二階偏導數得:

(16)

(17)

(18)

利用定理2，我們有如下推論。

推論1 在碳限額與交易政策下，當零售商獲得最大利潤值時，如下結論成立：

推論1(i)表明碳配額的取值直接影響到零售商的利潤值，并且碳配額取值越大越有利于零售商獲得更多的利潤。推論 1(ii)則通過比較臨界值X0的非負性得到零售商在獲得最大利潤時購買碳排放權的條件。對于政府給定的碳配額，零售商可以根據臨界值X0的大小調整訂購策略從而在獲得最大利潤的同時盡可能降低碳排放量。

3.3 模型的進一步分析

本節，我們首先分析零售商釋放最小碳排放量時對應的訂購策略。類似于碳限額與交易政策下零售商最優策略性質的分析，對于給定的訂購周期次數n,零售商的碳排放總量E(n,{si}),簡記為E(n),可表示如下：

(19)

(20)

利用(19)和(20)可得如下結論。

接下來，我們進一步分析零售商在無碳約束下的最優訂購策略。將零售商在無碳約束下的總利潤TP2(n,{si})簡記為TP2(n),則其函數表達式為:

(21)

(22)

定理3比較了零售商在碳限額與交易政策和無碳約束下的利潤值大小。從定理 3 的證明可以看出，當零售商在碳限額與交易政策下的碳排放量大于碳配額時，零售商獲得的最大利潤值將不大于無碳約束下獲得的利潤值。這說明在碳限額與交易政策下釋放過多的碳排放不利于零售商獲取更多的利潤值。

將(18) 和(20)、(22)分別進行比較， 我們可得如下結論。

(23)

(24)

(25)

定理4 比較了零售商在碳限額與交易政策、無碳約束和釋放最小碳排放量時訂購周期次數的大小。 從定理4的證明可以看出若零售商在碳限額與交易政策下的最優訂購周期次數等于釋放最小碳排放時對應的訂購周期次數則零售商能夠實現高利潤和低碳排放的結果。

4 數值算例

利用以上參數值，我們可以計算得出零售商在碳限額與交易政策下的最優訂購周期次數、訂購量和最優利潤值分別為 15，243.88 和 103520，此時的碳排放量為 17676。在無碳約束下零售商的最優訂購周期次數、訂購量和最優利潤值分別為 13，282.10 和 98918。由于碳排放量小于碳配額，此時零售商在碳限額與交易政策下可以售出一部分碳排放權，這使得零售商的利潤值比無碳約束情形下的利潤值高出了4602。這同時表明碳政策使得零售商獲得了更多的利潤。另一方面，當零售商的碳排放量達到最小時對應的最優訂購周期次數、訂購量和碳排放量分別為 16，228.41和 17664。此時零售商的碳排放量比最小碳排放量多出了12個單位，這表明在本算例中零售商盡管能夠獲得更多的利潤但不能實現最小碳排放。

利用基本算例中的參數值，我們進一步分析H,θ和cp對零售商在碳限額與交易政策下的最優訂購策略的影響，相應的趨勢變化曲線見圖1-3。

從圖1可以看出，隨著計劃期長度H的增加，零售商在碳限額與交易政策下的利潤值呈現先增加后減少的趨勢而在無碳約束下的利潤值一直在增加。當H<7時，零售商在碳限額與交易政策下的利潤值高于無碳約束下的利潤值而當H≥7時，零售商在碳限額與交易政策下的利潤值一直小于無碳約束下的利潤值并且二者之間的差值隨著H的增加而變大。這是因為當H<7時零售商的碳排放一直小于碳配額，此時零售商可以通過售出額外的碳排放權獲得一定收入，這也使得零售商的利潤值大于無碳約束下的利潤值；隨著H的增加，零售商的碳排放量超過了碳配額，在此情形下，零售商只能購買碳排放權這造成了零售商收入的減少同時使得零售商的利潤值小于無碳約束下的利潤值。購買碳排放權成本的增加使得零售商在碳政策和無碳約束下的利潤差值變大。隨著H的增加，零售商在碳限額與交易政策、無碳約束以及釋放最小碳排放量時對應的訂購周期次數分別增加。另一方面，隨著H的增加，零售商的碳排放量和最小碳排放量之間的差值呈現波動性增長，這說明了計劃期長度H越大越不利于零售商實現高利潤和低排放的結果。

從圖2可以看出，隨著產品變質率θ的增加，零售商在碳限額與交易政策和無碳約束下的利潤值分別減少。零售商在碳限額與交易政策下的利潤值一直大于無碳約束下的利潤值，這主要是因為，當零售商的碳排放量小于碳配額時，零售商在碳政策下可以通過售出一部分碳排放權獲得額外的收入。當θ增加時，零售商會采取多次訂購、少量庫存的方式來降低產品變質的風險，在此情形下，結合本算例的數據可以看出零售商在碳限額與交易政策和無碳約束下的訂購次數呈現梯形增加。此外，零售商釋放最小碳排放量時的最優訂購周期次數隨著變質率θ的增加呈現梯形增加的趨勢，并且一直大于碳限額與交易政策和無碳約束下的訂購周期次數。另一方面， 隨著變質率θ的增加，零售商的碳排放量和最小碳排放量的差值呈現波動性變化的趨勢。在產品變質率θ分別為 0.02和 0.07 時，零售商的碳排放量和最小碳排放量之間的差值最小而當θ等于 0.01 和 0.06 時零售商的碳排放量和最小碳排放量之間的差值最大。

圖1 計劃期長度H對模型的影響

圖2 產品變質率θ對模型的影響

圖3 碳排放權交易價格cp對模型的影響

從圖3可以看出，隨著碳排放權交易價格cp的增加，零售商在碳政策下的利潤值增加而在無碳約束下的利潤值保持不變，并且前者一直大于后者。這是因為當零售商的碳排放量小于碳配額時，增加碳排放權交易價格能夠使得零售商出售更多的碳排放權而獲得額外收入。此時零售商會采取增加訂購次數和減少每次訂購數量的策略來降低碳排放，因此，隨著碳排放權交易價格cp的增加，零售商在碳政策下的最優訂購次數呈現增加的趨勢而在無碳約束以及釋放最小碳排放量時對應的訂購次數分別保持不變。這一方面說明，碳排放權交易價格的變化改變了零售商在碳政策下的庫存策略；另一方面說明，當碳排放量小于碳配額時，提高碳排放權交易價格有利于激勵零售商降低碳排放同時還能使得零售商獲取更高的利潤。例如，從圖3(c)可以看出，當cp的取值大于1.5時，零售商的碳排放量和最小碳排放量之間的差值降低為12個單位。

5 結語

我們針對產品在訂購和存貯過程中會產生碳排放且其銷售價格隨時間連續動態變化的情形，研究了有限計劃期內易變質產品的庫存策略問題。首先構建碳限額與交易政策下的庫存優化模型，分析并求解了零售商在有限計劃期內最優訂購策略。然后將零售商在碳限額與交易政策下的最優訂購策略分別與無碳約束和零售商釋放最小碳排放量時對應的最優訂購策略進行比較，得出零售商在碳政策下實現高利潤和低排放的條件。最后結合數值試驗對理論結果進行驗證并分析了相關系數對零售商最優訂購策略的影響。該文得到的相關結論如下：(1)在碳限額與交易政策下，存在唯一的最優訂購時間和訂購周期次數使得零售商在有限計劃期內的總利潤獲得最大；(2)當碳政策約束下的最優訂購周期次數等于釋放最小碳排放所對應的訂購周期次數時，零售商在碳限額與交易政策下能夠實現高利潤和低排放的雙贏結果；(3)有限計劃期長度取值越大越不利于零售商實現高利潤和低排放而當碳排放量小于碳配額時，提高碳排放權交易的價格有利于零售商實現高利潤和低排放。

我們得出的研究成果對于低碳供應鏈中的庫存管理者具有一定的指導意義。比如在碳限額與交易政策下，零售商決策者應該通過改變訂購次數實現高利潤和低排放的雙贏結果。我們的研究結論適合于單個企業的運作決策，而在當前市場環境下，企業的競爭逐漸轉向供應鏈之間的競爭，因此有必要研究碳排放政策下供應鏈的運作決策，這也是今后的研究方向。

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Optimal Inventory Policy for Deteriorating Items Under Cap-and-trade Regulation

BAI Qing-guo1，XU Xian-hao2

(1. School of Management， Qufu Normal University，Rizhao, 276826；2. School of Management，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan，430074，China)

Reducing the excessive emissions of greenhouse gases such as carbon dioxide is an effective way to achieve a low carbon economy. Many governments have carried out carbon cap-and-trade regulation. This regulation has brought more challenges to the firms’ operational management because the firm activities are the main source of carbon emissions. In this scenario, a new inventory optimization problem for deteriorating items is proposed from the perspective of a retailer. The retailer orders a type of deteriorating items from the upstream supplier during a finite time horizon and sells it to customers with a time-varying price. This type of product deteriorates with a constant deterioration rate during the storing process. Moreover, the carbon emissions are generated in the ordering and storing processes. Under the constraint of carbon cap-and-trade regulation, the retailer should determine the optimal number of replenishment cycles, replenishment time and order quantity to maximize his/her total profit. This paper formulates a mixed-integer optimization model for this problem. By analyzing several properties of this model, we solve the optimal solution by using convex optimization method. Further-more,it is compared with the other two replenishment policies of the model without carbon emission consideration and the model with minimizing the carbon emissions. By solving the above thee replenishment policies, the key conditions of attaining higher profit and lower carbon emissions theoretically are cleriued. Finally, numerical analysis is used to illustrate the theoretical results and the effects of some key parameters on the optimal replenishment policy are analyzed. The results show that, the optimal number of replenishment cycles can be uniquely determined to maximize the total profit of the retailer under carbon cap-and-trade regulation; the retailer may obtain higher profit and emit lower carbon emissions when the optimal number of replenishment cycles under cap-and-trade regulation is equals to that of the model with minimizing the carbon emissions; decreasing the length of time horizon or increasing the price of trading carbon emission permit may lead to higher profit and lower carbon emissions. These observations can help firm decision-makers to determine the optimal inventory policy for maximizing his/her profit and reducing carbon emissions. On the other hand, these results can help government policy-makers to determine several feasible carbon parameters in constructing specific carbon emission regulation.

cap-and-trade；time-varying price；inventory model；optimal policy

2016-05-10；

2016-12-13

國家自然科學基金資助項目(71620107002， 71371107);教育部人文社科青年基金資助項目(14YJCZH171)

柏慶國(1979-)，男(漢族)，山東臨沂人，曲阜師范大學管理學院副教授，博士，研究方向：物流與供應鏈管理，E-mail: hustbaiqg@hust.edu.cn.

1003-207(2017)07-0028-10

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.07.004

F253；O227

A