《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

河北省承德市第一中學(xué) 郝 晶

《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

河北省承德市第一中學(xué) 郝 晶

筆者有幸參加了2016年“第八屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動”，并得到了與會專家和老師的一致認(rèn)同，榮獲了優(yōu)秀課全國一等獎。以下是本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，以此拋磚引玉，與同行共勉。

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

教師首先讓學(xué)生觀察一個圖形（函數(shù)），通過多媒體給出承德今年8月8日氣溫變化曲線圖。

教師提問1：同學(xué)們和我一起來觀察承德今年8月8日的氣溫曲線圖，如果用函數(shù)觀點(diǎn)來分析，設(shè)時間為t，溫度為T，那么這條曲線表達(dá)的是關(guān)于這兩個變量的函數(shù)關(guān)系嗎？為什么？

教師（結(jié)合學(xué)生回答）提問2：如果設(shè)時間t為自變量，能從圖中得出自變量的變化范圍嗎？師追問：這個函數(shù)的定義域及它的對應(yīng)關(guān)系是什么？

【設(shè)計(jì)意圖：回歸函數(shù)定義，教師總結(jié)：該曲線反映了氣溫T隨時間t的變化規(guī)律，在區(qū)間[0，24]內(nèi)每給一個時間t的值，根據(jù)圖象都有唯一確定的溫度T與之對應(yīng)，是一個函數(shù)。】

教師提問3：觀察圖象，結(jié)合已學(xué)過的函數(shù)觀點(diǎn)，你能說出這一天的氣溫變化規(guī)律嗎？（學(xué)生獨(dú)立思考5秒后回答）

預(yù)案：（1）當(dāng)天的最高氣溫、最低氣溫何時達(dá)到；（2）某些時段溫度升高，某些時段溫度降低。

（師追問：最高氣溫和最低氣溫是在什么范圍研究的？結(jié)合學(xué)生的回答給予及時評價；如果在定義域內(nèi)一部分一部分地研究，你又會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？學(xué)生補(bǔ)充）

教師歸納關(guān)鍵點(diǎn)：研究函數(shù)性質(zhì)要在整個定義域內(nèi)研究；在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上，隨著時間t的增加，對應(yīng)溫度升高、降低的變化規(guī)律就是函數(shù)的單調(diào)性——引出課題，板書課題）

教師提問4： 除了氣溫在某一范圍的變化規(guī)律，你還能舉出生活中具有單調(diào)性質(zhì)的實(shí)例嗎？

預(yù)案：（1）承德橡膠壩水庫一年中水位隨時間的變化；（2）某段時間學(xué)生身高的變化。

教師歸納：拋開實(shí)際背景，從函數(shù)觀點(diǎn)看，它們都反映了在定義域內(nèi)的某區(qū)間上，隨著自變量的變化，函數(shù)值變大或變小的規(guī)律（即函數(shù)的單調(diào)性）。同學(xué)們在初中就已學(xué)會用文字來描述函數(shù)的單調(diào)性，這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)一種更為方便的定義形式——用符號語言對單調(diào)性進(jìn)行代數(shù)刻畫。

【設(shè)計(jì)意圖：從生活情境引入新課，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)來源于生活，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識可以解決生活中的實(shí)際問題，并向?qū)W生提出這節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)。】

二、探索歸納，建構(gòu)定義

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步研究。

觀察下列函數(shù)圖象（教師提問5：根據(jù)我們剛剛對“函數(shù)單調(diào)性的初步討論”，說出函數(shù)的變化規(guī)律。）

（學(xué)生回答圖象變化趨勢并描述函數(shù)的變化規(guī)律，參照學(xué)案內(nèi)容）

【設(shè)計(jì)意圖：（1）由圖象認(rèn)識增函數(shù)與減函數(shù)，直觀且易于學(xué)生接受；（2）為單調(diào)函數(shù)定義中的關(guān)鍵詞“區(qū)間上”作鋪墊；（3）讓學(xué)生初步體會數(shù)形結(jié)合的思想。】

探究一：

師追問：如果要定義增函數(shù)，應(yīng)該選擇在定義域上還是在定義域內(nèi)的區(qū)間上呢？（學(xué)生答）

教師歸納：單調(diào)性應(yīng)與定義域內(nèi)的區(qū)間相對應(yīng)。

預(yù)案：增函數(shù)的共同特征：在定義域內(nèi)某區(qū)間D上，函數(shù)值隨自變量的增大而增大。（此處不同小組進(jìn)行符號表述，但學(xué)生描述可能不準(zhǔn)確，如：在區(qū)間D上，取兩個自變量值時，有則稱函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)）

【設(shè)計(jì)意圖：由特殊到一般，歸納得到增函數(shù)的定義。（此時定義還需進(jìn)一步完善）】

教師提問產(chǎn)生認(rèn)知沖突。

師生合作：歸納得到增函數(shù)的定義（此處增函數(shù)定義得到完善，師完善板書）

三、知識應(yīng)用

探究二：

師生合作完成如下步驟：（1）用區(qū)間表示定義域；（2）取值（突出“任意性”）兩個不等的自變量值（預(yù)案：以下由學(xué)生完成：不妨設(shè)將自變量的值代入到解析式中，得到相應(yīng)函數(shù)值師問：如何比較的大小呢？）希望獲得的關(guān)系，結(jié)論是什么。

（師：用多媒體展示完整的證明過程和證明步驟）【設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生學(xué)會如何分析問題，并初步體會用定義法證明單調(diào)性的過程中邏輯的嚴(yán)密性和言必有據(jù)，增強(qiáng)了學(xué)生運(yùn)用代數(shù)法描述單調(diào)性的信心。】

教師演示（小實(shí)驗(yàn)）：向上拉動活塞，在實(shí)驗(yàn)儀器中用手指封住一定量的氣體，記下此時儀器上的刻度，用力向下壓活塞，并記下此時儀器上顯示的刻度，結(jié)合手指的感覺，猜想壓強(qiáng)P隨體積V的變化規(guī)律。

（師：多媒體給出例題）

四、課堂小結(jié)：本節(jié)課你有哪些收獲

學(xué)生交流本節(jié)課學(xué)習(xí)過程中的體會和收獲，師生合作共同完成小結(jié)：

①定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟：取值，作差變形，判定符號，下結(jié)論；

②數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合；等價轉(zhuǎn)化；歸納和類比等思想方法的運(yùn)用。

五、分層作業(yè)

1.必做題：課本第32頁 練習(xí)。