讓學生在數學實驗中自主地獲取知識和經驗
——《“做”菱形之矩形中的菱形問題》課堂教學實錄與思考

江蘇省蘇州工業園區星海實驗中學 高 銘

讓學生在數學實驗中自主地獲取知識和經驗
——《“做”菱形之矩形中的菱形問題》課堂教學實錄與思考

江蘇省蘇州工業園區星海實驗中學 高 銘

一、知識背景

在課堂教學中，尤其是在數學實驗的教學中，教師要引導學生自主探究，讓學生經歷從多角度認識問題、多種形式表達問題、多種策略思考問題的活動，發展其創新意識和應用意識，提高解決問題的能力，感受數學創造的樂趣，增進學好數學的信心，獲得對數學較為全面的體驗與理解。在此理念指導下，實驗教學一定要倡導學生自主學習，強調學生通過觀察、實驗和探索等切身體驗來體會數學探究過程的樂趣，感受數學知識的魅力。

二、師生目標

1.學生達成目標

（1）解決在矩形中做菱形的一般思路和常規方法。

（2）進一步發展學生的推理論證能力。

2.教師達成目標

讓學生在實踐中自主、愉快學習，創造研究性學習的氛圍，引導學生進行深刻的思考，滲透從特殊到一般的數學思想。

三、課前熱身

1.題目

如右圖，在矩形ABCD中，將△ABD沿著對角線BD翻折，與BC邊交于點E，求證：△BED是等腰三角形。

【設計思路】從簡單題入手激發學生的興趣，同時教會學生通過折疊可以產生相等的邊或角，再加上平行，可以得到等腰三角形。

2.追問

按如此折疊的圖形展開后，四邊形BEDF是一個菱形嗎？

【設計思路】引入課題“做菱形”，激發學生去思考，不需要學生馬上作答，讓學生帶著思考進入課堂（板書課題）。此題一方面是為了之后引導學生如何找到矩形的對稱中心，從而找到一種折菱形的方式準備，另一方面，也是為后面先折疊產生等腰三角形，進而得到菱形做準備的。

四、課堂操作

（一）課堂操作一：將一張矩形紙片先折疊，再剪一刀，展開，得到一個菱形。

【設計思路】通過較為簡單的“剪”的方式，讓學生輕松上手。請學生展示成果并說明理由，從而得到對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，即菱形的一種判定方法。（板書）

（二）課堂操作二：若只通過折疊，你能折出一個菱形嗎？

【設計思路】收起剪刀，只通過折疊得到菱形，學生需要思考一定的時間，方法也很多，但是想先通過從一些特殊的方式入手，再回歸到一般情況，讓學生探索出其中奧妙。

方法1：通過兩次對折，找到各邊中點，連接各中點折出菱形。

實際課堂交流中，發現不少同學能夠找到此方法。

方法2：課前熱身的方法。

【設計思路】課前熱身中已經提出問題，在此讓學生先自己折疊，發現原因，給出證明。有前兩題做鋪墊，學生可以很快證出。本題在此出現的設計意圖在于引導學生深刻思考： “為什么這樣折疊是菱形？這幾種方式有什么共同的特點？”從而帶領學生回顧出菱形的一種判定方法：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。（板書）

在之前試課時，我發現很少有學生能夠發現其共同點：兩條對角線都經過矩形的對稱中心，所以在正式上課時，筆者給學生做了引導：“前兩次的折疊方法中的兩次對折之后，兩條對角線的交點有什么特點？”這樣學生很快就發現了它們的共性。接著又提出問題：“是不是只要兩條互相垂直的對角線都經過矩形對稱中心，這樣構成的四邊形就一定是菱形呢？”提出這個問題后，先讓學生動手折紙，再請幾位同學分別展示成果并作簡要證明。在交流過程中，學生一般有以下兩種情況：

生1：

生2：

在這里，我們用從特殊到一般的數學思想揭示了本課的第一條主線，即矩形折菱形的第一種一般方法——對角線互相垂直平分。

（三）課堂操作三。

師：之前有位同學發現了一種折菱形的方法，但是他不會證明，請大家幫忙，看看他的折法是否正確？（設置懸念）

【設計思路】在試課時，我們發現學生按如圖方式折疊是沒有困難的，但是要他們給出證明，卻存在著很大的困難，所以在正式上課時，我們對這個問題進行了重點解析，采用了筆者帶著學生一起折疊，一邊折，筆者一邊提出問題，學生思考并回答。本質意圖在于引導學生發現其內在聯系，最終做出菱形。

具體過程：

第一步折疊：將矩形對折，展開得到一條折痕。

師：這條折痕對矩形的邊AB有何特點？

生：這條折痕是對稱軸，進而得到這條折痕是線段AB的垂直平分線。

(3)使用化合物灌漿。化合物灌漿法的原理是堵塞含水層中的孔隙空間，井眼附近含水層中的沙粒與化合物混合后固化并變得密實，此后鉆井可以繼續進行。可采用的化合物為丙烯酸酯單體配方(AMS)，這種配方適用于溫度為50～200 ℃的井下。

師：垂直平分線的性質是什么？

生：垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。

第二步折疊：將矩形的頂點A疊在折痕上，同時所產生的折痕經過點B。

師：這次折疊后，點A落在剛才的垂直平分線上，由垂直平分線的性質我們可以得到什么結論？

生：AA′=BA′。

師：除此之外，可以得到哪些深層次的結論？

（在此要得到一系列的結論，需要一步步慢慢證明，環環相扣，層層遞進）

生：△ABA′是等邊三角形，∠ABE=∠A′BE=30°，∠AEB=∠A′EB=60°，∠BED=60°。

做好鋪墊后，繼續追問。

師：EA′所在直線與BC交于點F，你們還有什么發現？

生：△BEF是等邊三角形。

第三步折疊：將△BEF沿著EF翻折，再將剩余部分沿邊BE折疊，產生折痕，最后展開。

師：將△BEF沿著EF翻折后，點B一定會落在邊AD上嗎？為什么？

生：由之前得到的結論∠A′EB=60°，∠BED=60°，可知兩角相等，所以點B一定會落在邊AD上。

師：為什么這些折痕構成的四邊形是菱形？

生：由一組對邊平行且相等得到平行四邊形，再加上一組鄰邊相等，變成菱形。

（板書：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）

師：這個菱形我們可以看作是將等邊三角形BEF沿著邊EF翻折而成的，那么一般的等腰三角形也沿著它的某條邊翻折，也能得到菱形嗎？另外，沿著翻折的這條邊有什么要求？

【設計思路】學生思考問題的同時，也讓學生動手折。先讓學生嘗試著折等腰三角形，引導學生回到課前熱身的問題。課前熱身中已經證出△BED是等腰三角形，所以可以從這種熟悉的折法入手。在實際上課中，的確有學生用這種方法。再讓學生來證明得出結論：一般的等腰三角形沿著它的底邊翻折，也能得到菱形。

師：此種折法中有一個特殊的元素：BD。BD既是菱形的對角線，也是原來矩形的對角線，這很特殊。那么，如果不依托于原來矩形的對角線，你能折出等腰三角形，進而得到菱形嗎？

【設計思路】此處將問題再次升級，從特殊到一般，同時也將學生對問題的認識帶上一個新境界。

如何不依托于BD就能折出等腰三角形呢？

學生小組討論后，并沒有找到方法，于是筆者帶領學生一起折。在折的過程中，學生不僅僅要關注折的“動作”，更重要的是思考折的“道理”，所以在每折一步時，教師都向學生提出問題，引發學生思考。最后學生能夠證出菱形并且歸納得到結論：只要將等腰三角形沿著底邊翻折，就一定可以折出菱形。

在這里，我們用從特殊到一般的數學思想揭示了本課的第二條主線，即矩形折菱形的另一種一般方法——有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

五、課后拓展

請你改造一個矩形，構造一個面積與之相等的菱形。可用工具：剪刀。

【設計思路】這個問題留給學生課后思考，仍然以矩形為載體來構造菱形。學生在已經掌握做菱形的關鍵之后再來完成此題，學會融會貫通，舉一反三。

在課堂實驗交流過程中，筆者意外發現了同學折紙作品有許多再創造的現象，我們同時也感受到許多同學有著十分強烈的創造意識。這節課中，課堂交流的氣氛異常活躍。

回顧整個實驗操作過程，本堂從課前預習題的設計與布置，從兒時的折紙游戲課堂導入開始，逐層遞進地向學生提出了矩形中有關折紙的問題。用不同的形式，不同的問題情境呈現了數學問題的研究的不同方向。學生在老師的引導下，用特殊到一般的思想復習鞏固數學知識，不斷地體驗了幾何的變化，不斷地讓學生在變化的過程中體驗數學實驗的其樂無窮。