重溫高考經典問題，體會模型化思想方法

浙江省金華市湯溪高級中學 郭 增 張擁軍

重溫高考經典問題，體會模型化思想方法

浙江省金華市湯溪高級中學 郭 增 張擁軍

翻折問題是立體幾何動態問題中的一類常見問題。翻折問題都可以理解為圓錐或圓錐的組合體。在圓錐的背景下理解翻折問題，可以揭示它們的命題背景，看清數學本質，盡顯數學之美。

動態問題；翻折問題；圓錐；數學本質

作為高中數學的重要組成部分，立體幾何在培養學生空間想象能力、鍛煉學生思維、引導學生認識事物本質這一層面有著不可替代的作用。高中立體幾何部分內容不多，所涉及的公理、定理與性質也不太難理解，需重點掌握的證明與計算都有現存模型，但還是有不少學生對立體幾何問題無所適從，特別是對動態問題更是望而生畏。其實，立體幾何問題，特別是動態問題，一般都可以通過改變視角，或平面化，或尋找變化過程的不變因素，從而把問題化歸到最本質的定理、性質、現有結論或簡單的幾何模型中。

翻折問題是動態問題中的一類最常見問題，學生對翻折過程缺乏深刻認識而導致缺乏足夠的空間位置把握能力，加之求解策略也比較匱乏，因此對求解空間翻折問題總感到力不從心。鑒于此，筆者擬結合浙江省2010年高考試題中的立體幾何問題的分析與思考，力求梳理求解空間翻折問題的策略，供讀者參考。

空間翻折問題的本質是一個局部旋轉問題，其旋轉軸即為翻折的折線，因此它具備旋轉的特點，從幾何體的視角看翻折問題，它實質上是圓錐或圓錐組合，或是圓臺的部分。這些幾何體中的幾何元素的位置關系與數量關系將有助于更深刻地理解翻折問題，更好地把握翻折問題中的不變量與不變關系，從而形成有效的求解策略。

一、問題展示

（2010年浙江省高考數學理科卷第20題節選）如圖1，在矩形BCD中，點E，F分別在線段AB,AD上，AE=EB=FD=4。沿直線F將△AEF翻折成AE'EF，使平面A'EF⊥平面BEF。點M，N分別在線段FD，BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使與A重合，求線段FM的長。

二、求解策略分析

顯然，直線MN是旋轉軸，如果以直線MN為旋轉軸旋轉一周，那么點C與點D的軌跡都是圓，它們的半徑是點C與點D到直線MN的距離。線段MD是以M為頂點D的軌跡為底面圓的圓錐的母線，同理可以分析NC，CD在旋轉過程中形成的幾何量。

1.利用圓錐母線等長分析翻折問題

反思：借助于圓錐的模型分析翻折過程，利用母線長相等一下子抓住了問題的本質與關鍵。

2.利用圓錐的旋轉軸垂直于底面這一簡單的性質分析翻折問題

反思：圓錐母線等長是圓錐模型中的一個核心關系，它還有另一個核心關系：旋轉軸垂直于底面，它同樣是把握翻折問題的一個關鍵。

3.利用圓錐的母線與旋轉軸所成的角相等分析翻折問題

反思：母線與旋轉軸所成的角相等與母線等長本質上是一致的，只是轉換一下看問題的角度，并無本質上的差別。

4.利用圓錐的底面半徑長度不變性質分析翻折問題

如圖4，作CH⊥MN于點H，延長CH交于點G，連接A1H，A1G，則A1H，CH就是圓錐底面圓的半徑。所以，因為MN⊥A1H，MN⊥GH，所以MN⊥平面A1GH，所以A1G⊥MN，即G為EF的中點。

綜上所述，盡管空間翻折問題變化多端，靈活多樣，但是在讓人眼花繚亂的表象中我們還是可以總結出解決問題的規律——找出圓錐的模型，利用圓錐中基本的相等與垂直關系，從而有效地把握翻折后的空間位置，將翻折問題順利解決。

[1]鄭日鋒.特色依然，再現波瀾—2016年浙江省高考試題評析[J].中學教研(數學)，2016(8)，32-35.

[2]蔡小雄.更高更妙的高中數學思想與方法(第三版)[J].杭州：浙江大學出版社.