解三角形的一般方法與策略分析

上海市世界外國語中學 方敏潔

解三角形的一般方法與策略分析

上海市世界外國語中學 方敏潔

筆者在長期的教學實踐中發現，許多學生在解三角形這類問題的過程中缺乏系統的思考方法，有時對三角形的轉化十分不合理，走了很多彎路。本文現將解三角形的各種情況做出梳理與歸納。

解三角形；合理作高

一、可解三角形的一般解法

一個三角形共有6個基本元素，分別是3條邊和3個角，其中至少已知3個元素，且必須已知一條邊，此三角形確定了形狀大小，那么此三角形的另外三個元素可求，即稱此三角形可解。下面舉例說明每一種情況下，解三角形的一般方法和步驟：

1.AAS,兩角及其對邊…………………………………………

【分析】在△ABC中，若已知∠B、∠C是特殊角或其三角比和邊AB，那么可過點A作AH⊥BC于H，先解Rt△AHB，再解Rt△AHC。

2.SAS,兩邊及其夾角

【分析】在△ABC中，若已知∠B是特殊角或其三角比，邊AB和邊BC，那么可過點A作AH⊥BC于H，先解Rt△AHB，再解Rt△AHC。

3.ASA,兩角及其夾邊…………………………………………

【分析】在△ABC中，若已知∠B、∠C是特殊角或其三角比和邊BC，那么可過點A作AH⊥BC于H，可利用三角比設k表示邊C，建立方程求解。

4.SSS,三邊

【分析】在△ABC中，若已知邊AB、邊C和邊AC，那么可過點A作AH⊥BC于H，由于AH是公共直角邊，可利用勾股定理建立方程求解。

【點評】解斜三角形的本質是通過作高，轉化為解兩個直角三角形,而添高時要注意不分割已知角。

二、可解三角形的特殊情況的轉化

1.在ASA和AAS這兩種情況中，若已知的角非特殊角，就不適合過第三個角的頂點作高

【例1】（1）在△ABC中，已知∠B=30°，∠A=15°，邊B=2，求邊BC和邊AC。

（2）在△ABC中，已知∠B=75°，∠A=45°，邊AB=2，求邊BC和邊AC。

（1）ASA

【分析】已知兩角及其夾邊，但∠A=15°不知其三角比，過C作邊AB的高，不可解。可發現30°與15°的和是45°，是特殊角，那么可過點A作AH⊥BC交延長線于H，解△AHB和△ACH。

（2）AAS

【解答】過A作AH⊥BC交延長線于H，

在Rt△ABH中，∠B=30°，AB=2，

【分析】已知兩角及其對邊，但∠B=75°，不知其三角比，過A作邊BC的高，不可解。可發現75°是30°和45°的和，那么可過B作BH⊥AC交于H，解△AHB和△BCH。

【解答】過B作BH⊥AC交于H，

在Rt△ABH中，∠ABH=30°，AB=2，

【點評】如遇非特殊角，可轉換外角為特殊角或分割成兩個特殊角。

三、合理選擇、合理計算

【作圖】只需作點C的對應點即可，AC=AC′，且∠CAC′=60°，△ACC′是等邊三角形。

【分析】圖中有多個可解三角形，如等腰三角形BCC′，30°，75°，75°，腰（需利用75°，計算量大）;等腰三角形BGC′，30°，75°，75°，邊未知，得C′B=BG（不可解）;△BGC，30°，，45°（ASA，需引進未知數，解方程）;△BAC′，30°，2，15°（外角45°，可作形外高，最優）。

【解答】將△BCC′孤立出來，如下圖所示。

【點評】在復雜圖形中，可利用的可解三角形較多，需要進行計算量的評估。一般地，盡可能使用SAS和AAS，因為SSS和AAS需引入未知數，利用公共高建立方程。