打破慣性思維 把握問題本質

江蘇省儀征市月塘中學 錢元科

打破慣性思維 把握問題本質

江蘇省儀征市月塘中學 錢元科

一位學生拿著考卷來問我一道題目錯在哪里了：

如圖所示，兩個村子A、B在一條河CD的同側，A、B兩村到河邊的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米。現要在河邊CD上建造一水廠，向A、B兩村送水，鋪設水管的工程費用為每千米15000元，請你在CD上選擇水廠位置，使鋪設水管的費用最省，并求出最省的鋪設水管的費用W。

學生的解答是這樣的：

解：如圖，過點A作AE⊥BD于點E，連接AB。

∴四邊形ACDE是矩形，∴AC=DE=1。

在Rt△ABE中，

答：鋪設水管的最省費用約為69150元。

這是期中考試卷中的一道題，源于古希臘著名的“將軍飲馬問題”，是利用軸對稱找出最近距離的實際應用。試題的參考答案是這樣的：

解：作點A關于河CD的對稱點A′，連接A′B交CD于O點，則點O就是水廠的位置，此時水管道最短，最短長度=AO+BO=A′O+BO=A′B；

過點A′作A′E⊥BD延長線于點E，∵AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米，∴A′E=CD=3千米，BE=1+3=4(千米)，由勾股定理得，A′B=（千米）,∴W=15000×5=75000（元）。

答：鋪設水管的最省總費用75000元。

試卷剛剛評講不久，問問題的學生數學成績也還算不錯，難道不少學生對這一類問題還不理解？心里一邊思忖著，一邊對比著兩個不同的解答……咦，學生答案中的總費用怎么比標準答案中的還少呢？

經過耐心地詢問與交流，原來學生對題意的理解與參考答案的理解有不同。參考答案的理解是：水廠應建在到A、B兩村距離之和最短的地方，問題即轉化為“將軍飲馬問題”這一基本數學模型，通過軸對稱構建出三點共線，再利用“兩點之間線段最短”得出從A到O再到B的距離是最近的，故只要按此路線鋪設管道所需費用就是最省的了。而學生則認為：題中“要在河邊CD上建造一水廠，向A、B兩村送水”，可以將水廠建在C處，水管鋪設可以經過A村再到達B村，這樣的路線比之答案中的路線還要近些（是CA+AB=1+≈1+3.61≈4.61＜AO+BO= A′B=5），也是符合題意的，為什么還要選答案中的路線呢？

是啊，如果真的還有更近的路線，為什么不選擇呢？我又認真地查驗了學生的解題過程及計算結果，一切無誤。問題出在哪了呢？經過認真比較、分析與思考，原來適用“將軍飲馬問題”這一數學模型的要求是“從定直線中找一點到兩個定點的距離之和最小”，如果要運用此模型來解答，水廠應分別向兩村鋪設管道送水。而此題的要求是“要在河邊CD上建造一水廠，向A、B兩村送水”，按題意的理解，水廠并不一定要分別向兩村送水，可以經過A村再到達B村，也可以經過B村再到達A村，都是符合題意的。如是這樣，應該是我們的思維定式導致出現錯誤了。

為了驗證我的觀點是否正確，我又請教了網絡。發現此類與實際結合的問題網上也有很多，而題中幾乎都沒有“分別”的字樣，但是人教版八年級數學上冊P42中有一道探究題說的卻很是清楚：“如圖1，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A，B兩鎮供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？（圖略）”這里很明確地說明了泵站要“分別”向兩鎮供氣，毫無疑義，問題應轉化為“將軍飲馬問題”來解決，然而上述那些更多的此類問題中并無“分別”字樣，其解法幾乎都是化歸為“將軍飲馬問題”這一基本數學模型來解的，都沒有比較兩種路線的長短再擇其短而選之。僅僅兩個字的差異，我們都讓表面的現象迷惑了問題的本質。導致錯誤的原因究竟在哪兒呢？筆者以為：都是慣性思維惹的禍。

慣性思維也稱思維定式，是由先前的活動而造成的一種對活動的心理準備狀態或活動的傾向性。先前形成的知識、經驗或習慣，都會使人們形成認知的固定傾向，從而影響后來的分析與判斷，形成“慣性思維”。在不變的條件下，慣性思維能使人應用已掌握的方法迅速地解決問題，而在情境發生變化時，深入到潛意識中的慣性思維也會反過來支配自己的言行，使我們忽視對問題本質的把握，擺脫不了已有“框框”的束縛，表現出消極的思維定式。

本質往往會被一些表面現象掩蓋著，使你容易混淆、識別不清，如果我們不深入挖掘，常常會誤入“歧途”，離問題的本質越走越遠。思維最大的敵人，是習慣性思維，生活環境和知識背景都會影響到人們的思維方式，不過最重要的影響因素是過去的經驗。所以，在解決數學問題時，我們不能墨守成規，一定要回到問題的原點，仔細閱讀每一個字句，準確把握題目的意思，打破慣性思維，要積極進行思維發散，抓住問題本質，千萬不要讓表面的現象蒙蔽了我們的雙眼、影響正確的判斷。