小學階段“數形結合”思想初探

江蘇省蘇州工業園區青劍湖學校 祁衛勇

小學階段“數形結合”思想初探

江蘇省蘇州工業園區青劍湖學校 祁衛勇

數學是研究數量關系和空間形式的科學，“數與代數”、“圖形與幾何”是小學階段兩個重要的課程內容。從數學發展史中我們可以看出這兩者有著緊密的關系，利用“數形結合”方法能使“數”和“形”兩個方面統一起來。數、形都來自于自然，因此“數形結合”更有其現實意義。

數形結合；數學發展史；數、形、自然

在《義務教育數學課程標準（2011年版）》中，“數與代數”、“圖形與幾何”是小學階段兩個重要的課程內容。翻開數學發展史，我們看到從遠古人類發現數、形開始，數與形就從來沒有分開過，小學階段強調“數形結合”不但體現了數學教學要符合兒童思維發展的規律，更體現了我們探索數學之源的方法和古人是一脈相承的。在小學階段，“數形結合”的方法不應該只停留在一種解題的策略，更應該從歷史中看它的意義，將它提高到一個應有的高度。

一、什么是“數（式）形結合”

數與形是數學中最基本的兩個研究對象，數與形是有聯系的，這個聯系稱之為數形結合或形數結合。借助于“形”的直觀來理解抽象的“數”、運用“數”與“式”可以更深刻、細致地研究“形”的特征，直觀與抽象相互配合，取長補短，從而順利、有效地解決問題。

正如華羅庚先生所說：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數無形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事非；切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離！”

二、探討“數形結合”的內涵

1.神奇的“黃金分割”數告訴了我們什么

大家都知道黃金分割數，從舞蹈演員的身材到黃金螺線形，從蒙娜麗莎迷人的微笑到宇宙天體的形狀，都可以發現這個神奇的數字0.618，但是直到現在，人們還是沒有搞清楚為什么自然界與這個數有這么大的關系。似乎冥冥之中這個數字在揭示著宇宙中的奧秘，是偶然巧合，還是一種必然？

如果我們追溯遠古，想象一下古人是如何認識這個世界的，我們會發現，古人一定是先看到這個自然界，觀察很多物體的形狀或事物發生的規律，將這些用某種圖形描繪下來，而有的圖形就轉化成現在的數。所以我們發現，人類應該是從自然界到圖形、數這樣一個認知的過程，再用數、形去反映、刻畫他們所看到的世界。現在我們發現了數居然與自然界有如此緊密的聯系并不奇怪，這不是恰恰說明我們的數或形對自然界的規律進行了簡潔的總結和描繪，將自然界的統一規律用一個最簡潔的數字0.618敘述出來了嗎？0.618這個密碼顯示了什么？是事物生長的規律還是宇宙起源的秘密？這些需要科學家去給出答案了，簡單的結果可能隱藏著更深奧的道理。

2.從一維、二維、三維空間中看“數形結合”

小學階段的幾何知識從直線上的點開始，直線上有無數個點，那么這些點和數又有什么關系呢？如果將這條直線規定了原點、單位長度、正方向，這條直線就是一條數軸，這條數軸上的點和數之間是一一對應的。

如果將兩條數軸互相垂直相交，有同一個原點，這個數軸所在的平面上的任意一點與數對之間也是一一對應的。

如果經過一個原點三條互相垂直的數軸所在的空間中，任意一點和坐標也是一一對應的。

我們看出在直線、平面、空間中的點，都和數之間存在著一一對應關系，而點是最簡單的圖形，任何圖形都可以看作是由點組成的，顯然圖形和數之間存在著重要的關系。

3.式（特殊的數）與形的關系

在小學階段，有一個章節是“用字母表示數”，學習了用“式”或“方程”表示數，它們在一維、二維、三維空間中點與數又是什么關系呢？x=5、x+5=6,這些方程的解表示的是一維空間中數軸上的點；y/x=k(一定)、xy=k(一定)表示的是二維空間平面上特定的線（直線、曲線）；而z=x2+y2得到的曲面是三維空間上的拋物面。從這些方程中我們看出，在線、面、空間中，方程在不同的維度中可以用獨特的圖形進行呈現，這也是數與圖形獨特關系的最好詮釋。

三、小學階段“數形結合”的教學應用

在小學教學中，用直觀的形來研究數的規律更加形象清楚。如在《非零自然數和的奇偶性》教學中，教師分三種類型進行教學：偶數+偶數、偶數+奇數、奇數+奇數。在教學中，教師充分應用幾何直觀進行教學，取得了良好的效果。

教師用點表示數，兩個點表示2，成對出現的圖形就是偶數，圖形中有不成對的點就表示奇數。

如圖：偶數+偶數。

兩個成對出現點的圖形，合成一個圖形還是成對出現，所以偶數+偶數=偶數。

我們再來研究奇數+奇數，兩個不成對出現的點合并在一起配成一對，變成了一個都是成對出現的圖形，這個圖形表示的就是偶數，所以奇數+奇數=偶數。

同樣方法，我們可以研究偶數+奇數等問題，這節課從用點圖表示奇偶性到合成圖形表示的奇偶性，形象直觀地反映出數字奇偶性求和的規律。

研究用數、式可以細致入微地研究“形”的特征，如用y/x=k(一定)、xy=k(一定)方程研究正反比例圖數圖象的性質等。

老子說：“道生一，一生二，二生三，三生萬物。”從老子這句樸實的哲學思想中，就道出了數、形（陰陽圖）、自然界有著千絲萬縷的聯系。正是由于數、形有著緊密的聯系，我們就不能將二者割裂開來，應該將“數形結合”作為小學數學教學的一個重要組成部分，不僅僅是通過“幾何直觀”作為解題的一種策略，更應該將“數形結合”的數學思想在小學階段教給學生，讓學生在認識自然、解釋自然中可以充分利用這個思想工具。