以形助數，以數解形
——數形結合思想在高中數學解題中的應用研究

江蘇省睢寧縣李集中學 呂永勝

高中數學習題基本都圍繞著數與形這兩個概念，因此在解題過程中，數與形大多可以相互滲透、相互轉化。換言之，就是通過數來闡述圖形的某樣性質，通過圖形來描述數和數的關系。關于數形結合當中的數，在高中數學階段代指函數、解析式等，而其中的形代指韋恩圖、空間圖形等。教會高中生掌握數形結合思想，可以幫助學生實現形象數學思維與抽象數學思維之間的轉化，從而解決絕大部分數學問題。在此過程中，高中數學教師需要糾正學生的各項學習誤區，比如作圖不仔細，遺漏了重要的信息條件，或是題目研究比較淺顯，數形結合思想沒有得到充分體現，由此讓高中生的解題過程能更為順利地開展，促進數形結合思想與學生思維的有效融合。

一、數形結合思想在集合問題中的應用研究

集合不僅是高中生學習數學的開端，也是近現代數學教學的基礎。而集合教學引入了韋恩圖的概念，也是對數形結合思想的初步應用。對于集合中“元素與子集”“屬于與包含”“并集與交集”等概念的講解，如果僅憑文字進行描述，學生很容易將這些概念知識弄混淆。而結合圖形，概念的講解將更為形象，可以讓學生直觀體會到圖示法在解題過程中的重要性。

比如例題：某個班級有25 名學生，會下象棋的有7 人，會下五子棋的有15 人，兩種棋都會下的有5 人，試問兩種棋都不會下的有（ ）人？乍一看，想要解決這道題，需要將整個班級的下棋情況分成四組：兩種棋全會、兩種棋全不會、只會象棋、只會下五子棋。而題干中只知道其中一組的信息，如果通過計算來求得其他條件，計算過程將較為復雜。若假設會下五子棋的為集合A，會下象棋的為集合B，結合圖1 的韋恩圖進行分析，將不難得出答案為8。

圖1

除了韋恩圖以外，數軸圖示也能在集合問題中良好地體現數形結合思想。比如例題：有集合M=｛a|-10 ≤a ≤-1，且a ∈Z｝，集合N=｛b|b ∈Z，且|b|≤5｝，M ∪N 中的元素個數為（ ）。通過圖2 的數軸圖示進行分析，不難得知元素為-10 到5 之間的整數，所以答案為16。

圖2

二、數形結合思想在函數問題中的應用研究

通過圖像來分析函數問題是高中數學中屢試不爽的解題方法，尤其是針對方程習題和不等式習題，由“數”來定“形”，可以充分剖析題干，幫助學生簡潔明了地理解解題思路。從而深入體會解題過程，將抽象的函數通過圖像表達出來，有助于強化高中生對函數概念的認知水平，深度挖掘函數的內在性質，實現數形結合思想在函數問題當中的靈活應用。

比如例題：已知函數y=x 和x2+y2=1，試問兩個函數的圖像交點有（ ）個？分析本道例題，很容易發現函數y=x 的圖像是一條經過直角坐標系原點的直線，函數x2+y2=1 的圖像是以直角坐標系原點為圓心，半徑為1 的圓，作出兩個函數的圖像如圖3 所示，可以清晰明確地得出答案為2。

又以不等式的教學為例，數形結合思想一樣能起到良好的解析作用。比如例題：假如log2（-x）＜x+1，求x 的取值范圍。如果單純從代數角度進行計算，需要經過論證，解題思路將十分復雜。若令函數y1=log2（-x），函數y2=x+1，并在同一個直角坐標系中分別作出兩個函數的圖像，如圖4 所示，可以直觀簡潔地發現當x ∈（-1，0）時，滿足log2（-x）＜x+1。

圖4

三、數形結合思想在三角問題中的應用研究

針對高中數學的三角問題，利用數形結合思想，不僅便于解答，也能讓學生更好地理解題干。數形結合思想的本質在于將題干信息與圖像進行統籌分析，轉化為一目了然的解析思路，相較于思路僵硬的代數計算法，數形結合能充分挖掘三角問題中的幾何內涵，直觀展示核心問題。比如在解析三角函數問題時，通過“單位圓”的引入，就能靈活運用解題思路，節省高中生的做題時間。

圖5

對于三角函數的解析，應用數形結合思想也能收獲解題奇效。比如求取兩種不同三角函數共同解的個數，就可以從圖像入手分析，相對于代數計算，圖像能將題干分析得更為透徹。譬如例題：方程sin2x=sinx 在區間（0，2π）有幾個解？通過分析，令f（x）=sin2x，x ∈（0，2π）；g（x）=sinx，x ∈（0，2π）。分別在同一個直角坐標系中作出相應的圖像，如圖6 所示，可以直觀地發現兩個圖像有三個交點，因此可以得出結論：方程sin2x=sinx 在（0，2π）區間內有三個解。

圖6

為了有效提升高中生對數形結合思想的應用能力，優化課堂教學質量，高中數學教師應當從實際教學出發，幫助學生從習題案例中總結規律。當學生能結合題干條件精準繪圖，并且將題干信息準確地通過圖形表達出來時，就能大量減少解題過程中出現的錯誤。對此，數學教師應當在教學過程中做到深入淺出，將數學知識與圖像統籌到一起，引導學生進行聯想思考。同時，教師也要細心考慮學生的學情，了解每個人的思維理解能力。在課堂上，數學教師可以應用小組合作教學法討論例題、用多媒體教學法展示例題圖像，保障數形結合教學能深入人心，在課后也要針對高中生的學習能力布置適中難度的習題，讓每一名學生都能循序漸進地接受數形結合思想，幫助學生打好數學基礎，從而養成良好的解題思路與解題習慣。