淺談數學史在數學教育中的價值

李元坤

【摘 要】 在數學教育中數學史能讓學生更好地發現數學，了解數學，吸取知識的原汁，它還可以培養學生的創新意識、民族自豪感和愛國主義，提高毅力和學習興趣，形成辨證唯物主義世界觀。

【關 鍵 詞】 數學史；數學教育

大學時，學校已經開設過《數學史》這門課程，在中學數學教育中，我又經常結合教學實際，向同學們介紹數學史的相關知識。多年的實踐使我感到數學史知識的適當滲透不但沒給我的教學和學生的學習增加壓力，反而有力地促進了學生對數學本質的掌握。

一、在大學數學教育中必須開設《數學史》

若同學們大學畢業后面臨教育教學工作，自身不僅要透徹了解所教的那一部分數學，更要從宏觀上知道數學知識的發生與發展、內在結構的關系。當所教的學生通過教師也能知道知識的前因后果時，他們將會對數學更感興趣，能更好地掌握相關知識。因此，教師必須具備《數學史》的知識。

若同學們畢業后面臨數學教研工作，學習《數學史》后，更能把握數學這門學科的各分支學科的進展情況及相互關系，這樣，易于把握研究方向，減少重復性、盲目性。例如：知道三大作圖問題已不可能解決后，也就不會在這方面浪費精力了。

二、通過學習《數學史》，充分認識到數學來源于實踐

在遠古時代，因為產品交換和分配等需要，人們已認識了自然數。自然數的形成經歷了數覺階段、等數性的發現階段、屈指計數階段、數符與位置原則的發現階段，并由意大利數學家Peano于1901年闡述了自然數公理。

而在對自然數的運算中人們發現加法的逆運算減法運算在自然數范圍內不封閉，從而引入負數，把自然數集擴充到整數集。同樣，乘法的逆運算除法運算在整數集內不封閉，又引入分數，把整數集擴充到有理數集。后來，人們因解決單位正方形的對角線的長度、已知正方形的面積計算其邊長等問題，逐步認識并引入無理數，把有理數集擴充到實數集，Dedekind于19世紀創立了完全嚴格的實數理論，Cantor還認為，實數系是完備的阿基米德全序域。

1545年，Cardano遇到負數不能開方，不得不面對新數，但又始終不為數學界接受，故一直被看作“虛數”、“想象的數”。直到19世紀，在Guass、Hamilton等人的努力下，創立了嚴密的復數理論后，數系才從實數集擴展到復數集。

為了解決空間問題，Hamilton于1843年提出了四元數，1847年，Cayley又提出了八元數，但八元數的乘法運算既不滿足交換律，也不滿足結合律，在日常生活中難以遇到，于是數系的推廣，到八元數告終。

三、數學的美，其實質在于思維的和諧性

從古至今，從內到外，無數先輩們為數學研究奉獻了畢生精力，有的甚至招來橫禍。究其原因，一方面，人們被數學在現實生活中的適用性所吸引；另一方面，更為數學的發展不斷追求完美性、思維的和諧性這種魅力所陶醉。從數學史中縱觀對曲線概念的研究，就是不斷追求這個概念的和諧性的過程。

Euclid在《幾何原本》中回答道“曲線是無寬的長”、“曲線是表面的邊界”，這種回答雖然直觀，但犯了邏輯循環的錯誤。

Rene Descartes又說“曲線是滿足方程F（x，y）=0的點（x，y）運動所形成的圖像”，這個定義的實質是一自由度的流形。但存在兩方面的缺陷：一是有些方程如x2+y2=-3并不表示“尋常曲線”；二是不少曲線找不到方程與之對應。為此，Jordan又給曲線定義為：函數關系式x=f（t）y=g（t）（a≤t≤b，f（x），g（x）是連續函數）所形成的圖像叫做曲線，該定義強調連續性。

最后，烏利松用拓撲學的觀點完美地對曲線解釋如下：

單位線段上的點經過同胚映射f所形成的圖形叫作曲線，其中同胚映射f滿足三個條件：（1）同胚映射f是一一映射；（2）同胚映射f的象在曲線上；（3）同胚映射f的原象及象都是連續的。

至此，一個全新的、完美的、和諧的曲線定義展現在我們眼前。

四、數學史的教育功能

（一）開闊學生視野，激發學習興趣

事實證明，課堂授課時那些知識豐富、循循善誘的老師遠較那些授課時簡單乏味、就事論事的教師受學生歡迎。如果教師在教授數一些常見的數學概念、理論和方法時，能夠指出它們的來源、典故及歷史演變過程，將會使學生興趣盎然。比如，教師在講授“勾股定理”時，如果僅僅給出推導證明，學生也能夠掌握。但是，如果教師給出中國古代的證明思路，或者提及古希臘畢達哥拉斯發現這個定理的經過，課堂氣氛就會活躍起來。

在教授數學知識的時候，教師如果能不失時機地、適當向學生滲透一些相關典故、背景或名人趣事，學生開闊了視野，知道了數學知識的取得是如此曲折動人，就會對知識點產生更深刻的認識。知道了知識的來龍去脈，學生的知識面會得到不同層次擴展。如果他們知道，從古至今，“勾股定理”的證法已經超過300多種，甚至還曾經有一位美國總統醉心于這個定理的證明，學生們一定會產生旺盛的求知欲，努力從各方面去思考證明思路。

（二）感受前人嚴謹態度，增強自我探索精神

數學是人類文明的重要組成部分，是人類智慧的結晶，數學的歷史像一條大河幾乎貫穿了人類的整個文明史，它時而波濤洶涌，時而風平浪靜。數學今天的繁榮昌盛是千百年來無數數學先驅前仆后繼，辛勤耕耘的結果。數學先賢們的嚴謹態度值得我們學習，他們的獻身精神值得我們景仰，他們的經驗教訓值得我們去借鑒，許多數學家孜孜不倦、鍥而不舍地追求真理的精神值得我們去感動。

以繼牛頓之后最偉大的數學家之一、18世紀數學界的靈魂人物歐拉（L. Euler，1707—1783）為例，他在年近花甲時雙目失明，不久，除了其本人和一些手稿幸免于難外，他的住所和財產全都在一場大火后蕩然無存，正所謂禍不單行。盡管遭受一系列的不幸和沉重打擊，歐拉仍然沒有倒下，他的科學活動絲毫沒有減少。歐拉的記憶力和心算能力是罕見的。心算不僅限于簡單的運算，高等數學同樣可以心算。歐拉在完全失明前，還能朦朧地看到一些東西，他抓緊這最后的時刻，在一塊大黑板上寫下他發現的公式，然后口述其內容，由他的學生筆錄。

在數學史上，這樣的數學先賢不勝枚舉，他們崇高的理想、頑強的意志、為真理獻身的精神及高尚的道德情操，無不是后人應該繼承的寶貴遺產。

（三）了解祖國傳統數學，培養學生愛國情懷

就數學而言，中華民族有著光輝燦爛的過去，在元代以前，中國的許多成果處于世界領先位置。可以說，數學是中國古代最發達的基礎科學之一。僅以現在的初中數學知識為例，十進位值制、線性方程組的解法，正負數運算、開平方開立方法則，圓周率的計算都是古代取得的輝煌成就，有些成就領先世界千年以上。

數學是璀璨奪目的中國古代文化的重要組成部分，古代偉大的數學貢獻不僅是當今進行愛國主義教育的絕佳材料，古代數學家實事求是，敢于堅持真理、勇于攀登高峰的高尚品德，也可以激勵后人振興中華，為實現中華民族偉大復興的而奮斗的自強精神。

總體來說，在數學教學中滲透數學史知識的終極目的就是提高學生學習數學的積極性，使學生加深對數學本質的理解，增長知識面，擴大視野。作為挑起21世紀數學教育重擔的數學教師們應深切理解這一點，盡早學習、研究一些數學史，提高自身數學史素養，將數學史與教育結合起來。讓我們的學生能真正了解數學、學好數學、掌握數學。

【參考文獻】

[1] 張奠宙. 數學史選講[M]. 上海：上海科學技術出版社，1997.

[2] 梁宗巨. 世界數學通史[M]. 沈陽：遼寧教育出版社，2005.