數形結合思想在初中數學教學中的實踐研究

李焱

摘 要：對于初中數學科目的學習來說，數形結合思維在許多題目的解答中很常見。顧名思義，數形結合就是開拓思維、另辟蹊徑，通過將“數”和“形”這兩種要素結合到一起，綜合把握題目所給的條件，深入分析問題、簡化解題思路的方法。

關鍵詞：初中數學；數形結合；教學策略

對于初中數學科目的學習來說，數形結合在許多題目的解答中非常常見。顧名思義，數形結合就是開拓思維、另辟蹊徑，通過將“數”和“形”這兩種要素結合到一起，綜合把握題目所給的條件，深入分析問題、簡化解題思路的方法。數形結合作為一種應用廣泛且難度較大的數學方法，在初中數學課程教學中占據著極為重要的地位。對于初中數學老師來說，教導學生掌握好數形結合的方法，不但可以做到以“數”解“形”，通過代數知識深入理解題目圖形所表達出的數量關系，而且可以做到以“形”解“數”，通過圖形模型化抽象為形象，從而降低純粹代數方法解題的難度。

一、以“數”解“形”

1.以“數”解數軸問題

數軸本來就是數形結合的產物。“數”和“形”的關系通過數軸表現為每個點的實數顯示和位置顯示。“數”和“形”在數軸上的統一為數形結合、簡化求解提供了極大便利。因此，有些時候以“數”解數軸問題，可以彌補學生在空間思維上的不足，將距離的運算或者式子的運算轉化為坐標的運算。比如，在計算數軸上A、B兩點間距離時，通常以“數”解“形”，采用兩點坐標對應相減的方式求解。再比如，給出數軸上M、N的圖形表示，然后根據M、N的位置關系判斷一個式子（如2M+N）的正負或者比較兩個式子（如比較2M+N與2N+M）的大小。

2.以“數”解圖形面積

以“數”解圖形面積是幾何中常見的一種解題方法，這種方法主要依靠建立坐標系來完成。在坐標系中，點通過二維或者三維坐標來確定，線段通過兩點之間的坐標運算來表示，而圖形面積可以通過特定線段（長、寬、高等）長度的運算來求得。舉個簡單例子，在坐標系中求解三角形的面積。根據面積公式，三角形的面積等于底乘高除以2。所以，首先要在坐標系中找到組成“底”的兩點，確定坐標，并求出線段長度；然后在坐標系中作出底邊上的高，找到組成“高”的兩點，并求出線段長度；最后套用三角形面積公式，就可解出題目。

二、以“形”解“數”

1.以“形”解不等式

以“形”解“數”，在解答不等式問題上發揮著極為重要的作用。由于不等式的結果往往是一個值域，而非某個固定的值，所以單純借助代數方法解答不等式問題具有較大的難度。但是，通過作圖，不等式問題將變得清晰明了、一目了然。以“形”解不等式，不僅可以用直線表示出式子，還可以通過直線以上或者直線以下的區域表示出不等式的取號，最終通過幾條直線圍成的區域聯合確定值域。舉個簡單例子，式子x+1就是一條過點（0，1）、向上傾斜45度的直線（記作直線A），而式子1-x就是一條過點（1，0）、向下傾斜45度的直線（記作直線B），而x+1≤1-x在圖上就表示為直線A在直線B下方，即兩直線交點左邊所夾成的區域，根據圖形很容易求得該不等式的值域。

2.以“形”解絕對值

絕對值問題是以“形”解“數”的另一個典型案例。以“形”解答絕對值問題不僅要聯系到常用的坐標知識，有時還要聯系到數學中的象限知識。象限是兩條數軸的組合，是借助數軸方式解答絕對值問題的二維延伸。在象限圖形中，絕對值表現為線段長度，而絕對值內變量的符號則表現為點所在的象限。舉個簡單的例子，已知m的絕對值大于n的絕對值，m<0，n>0，判斷m+n的正負符號。將這道題放到數軸圖形中分析，m<0代表m位于數軸上原點左側，n>0代表n位于數軸上原點右側，又知m的絕對值大于n的絕對值，即m距原點的距離比n距原點的距離遠，所以m+n應為負號。再比如，點A（1，1）在第一象限，點B（-1，2）在第二象限，求解線段AB的長度。根據數形結合思想，就是在象限中以A、B為兩個頂點構建一個直角三角形，然后通過象限坐標確定直角三角形中兩個直角邊的長度，計算出直角三角形斜邊的長度，即線段AB的長度。

以“數”解“形”，可以通過代數知識深入理解題目圖形所表達出的數量關系；以“形”解“數”，可以通過圖形模型化抽象為形象，降低純粹代數方法解題的難度。初中數學教師在教學中注重“數”與“形”結合，一方面能夠以更加靈活、更加直觀的方式展現數學知識，有效改善初中數學課堂教學效果、大大提高學生群體的整體數學成績；另一方面能夠優化學生數學思維，推進學生開動腦筋、認真思考，多角度探求解決問題的辦法。綜上所述，初中數學教師教導學生數形結合方法、培養學生數形結合思維，有其現實意義上的重要性和必要性。

參考文獻：

[1]羅新兵.數形結合的解題研究：表征的視角[D].華東師范大學，2005.

[2]劉紅艷.高中生運用數形結合思想解題的調查研究[D].南京師范大學，2014.

編輯 謝尾合