新課程下微分基本定理教法探究與分析

劉旭

一、教材分析

1.教材的地位及作用

《微積分基本定理》安排在普通高中課程標準實驗教科書人教B版選修2—2，1.4.2節.微積分基本定理給微積分學的發展帶來了深遠的影響，是微積分學中最重要、最輝煌的成果.

本節課是學生學習了導數和定積分的概念后的學習內容，它不僅揭示了導數和定積分之間的內在聯系，同時為計算定積分提供了一種有效方法，為后面的學習特別是高等數學的學習奠定了基礎.因此，它在學生學習中起到了承上啟下的作用，在教材中處于極其重要的地位.

2.教學目標

根據學生的認知結構特征以及教材內容的特點，依據新課程的標準要求，確定本節課的教學目標如下：

（1）知識與技能目標：

①了解微積分基本定理的含義.

②會用牛頓-萊布尼茲公式求簡單的定積分.

（2）過程與方法目標：

通過直觀實例體會用微積分基本定理求定積分的方法.

（3）情感、態度與價值觀目標：

①通過微積分基本定理的學習，體會事物間的相互轉化、對立統一的辯證關系，提高理性思維能力；

②了解微積分的科學價值、文化價值.

3.教學重點、難點

重點：使學生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運用基本定理計算簡單的定積分.

難點：了解微積分基本定理的含義.

二、教法和學法

1.教法設想

我的教學設計主要采用探究式教學方法.即“問題誘導—啟發討論—探索結果”以及“直觀觀察—歸納抽象—總結規律”的一種探究式教學方法，注重“引、思、探、練”的結合，引導學生學習方式發生轉變，采用激發興趣、主動參與、積極體驗、自主探究的

學習.

2.學法指導

通過山體高度的表示過程，體會微積分基本思想的運用；體會微積分學在認識論上的價值，體會任何高深的理論都源于簡單的、基本的事實；任何復雜的事物都可以化解為一個一個的簡單問題；體會用微觀認識宏觀的辯證方法.

三、教具

多媒體課件，白板輔助教學.

四、教學設想

1.創設情境

定積分是怎樣定義的？嘗試用定義計算 dx.

2.探索新知

問題1：有沒有其他途徑來計算這個函數的定積分呢？我們再來看看爬山的過程.

——以學生現有的知識水平聯想到導數和定積分的內在聯系并不現實，但相同的事例會激發部分學生大膽猜想兩者之間或許有所聯系.根據學生反應適時地加以引導，令大多數學生回想起導數概念的引入曾用此例.

問題2：如果曲線F（x）代表一段山脈，之前我們借助它的陡峭程度認識了平均變化率，現在如果想求山的高度，大家有什么辦法？

——F（b）-F（a），結合圖象學生很容易得到相應的數學表達式.

問題3：如果在山上設有C和D兩個觀測臺，山體的高度可以表示成什么形式？

——[F（c）-F（a）]+[F（d）-F（c）]+[F（b）-F（a）]，即通過分割，高度又可以寫成累和的形式.

通過圖形，刺激學生知識的最近記憶區，為無限分割，以直代曲思想的運用做鋪墊.

問題4：a，c間的高度差可以用累和的形式表示嗎？山高h又可以怎樣表示？

——h=h1+h2+h3+…hi+…+hn，學生具有無限分割，以直代曲的基本思想，通過前面知識的鋪墊有能力類比求曲邊梯形的面積的方法對所求復雜問題進行分割.

問題5：如何求解hi？

——體會用微觀認識宏觀的辯證方法.有以直代曲的思想作指導，學生可以提煉出直角三角形的模型.由于學生對直角三角形本身已經非常熟悉，而在導數概念引入時對這個模型有了更充分的認識，因此，能自發將斜率與高聯系起來.hi=F（xi+1）-F（xi）= Δx

當Δx→0時， →F′（xi）

即hi≈F′（xi）Δx

這一過程既體現了定積分的基本思想，又突出了導數的幾何含義.學生充分體會數形結合這一最基本的數學思想方法.

3.歸納總結

問題6：能用文字語言描述一下這個公式嗎？這個公式又有什么作用呢？（請大家打開書，了解微積分基本定理.）

——學生根據公式形式易觀察得出“一個函數的導數從a到 b的積分，等于這個函數在右端點的值減去它在左端點的值”.通過由直觀的符號語言轉化為抽象的文字語言的過程，學生慢慢體味導數和求積分兩種運算間的聯系.

4.知識鞏固

練習：計算 dx.

思考探究：如果路程s=s（t），則時刻t的速度v（t）=s′（t）.你能從導數和積分的定義來說明微積分基本定理成立嗎？即： s′（t）dt=

s（b）-s（a）.

——從定積分角度來看：如果物體運動的速度函數為v=v（t），那么在時間區間[a，b]內物體的位移s可以用定積分表示為

s= v（t）dt；

另一方面，從導數角度來看：如果已知該變速直線運動的路程函數為s=s（t），則在時間區間[a，b]內物體的位移為s（b）-s（a），所以又有 v（t）dt=s（b）-s（a）.

由于s′（t）=v（t），即s（t）是v（t）的原函數，這就是說，定積分 v（t）dt等于被積函數v（t）的原函數s（t）在區間[a，b]上的增量 s（b）-s（a）.

通過分析說明，學生鞏固和深化所學知識，提高認識，歸納得出微積分基本定理的特例，體驗從一般到特殊的數學思想方法.

5.課堂小結

通過山體高度計算的探究，遵循著微積分學的基本思想，沿著古人的腳步，體會了微積分基本定理的發現過程，將兩個貌似毫不相關的問題聯系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題（積分學的中心問題），感受到數學的奇妙和魅力.明確了求定積分最終轉化成求原函數的問題.

6.教學感想

學習任何知識的最佳途徑即是由自己去發現，因為這種發現，理解最深刻，也最容易掌握其中的內在規律、性質和聯系.本節課由學生直接發現兩者聯系并不容易，但求高這一情境的創設為學生的“發現”提供了途徑，并在后面的教學中，盡力把學習主動權交給學生，讓學生在自主探索中學到知識、掌握方法、提高

能力.

編輯 魯翠紅