投影法找“線線平行”

李秋

摘 要：“”，這是空間幾何中，線線平行、線面平行、面面平行三者的聯系，揭示了平行關系的本質.在實際操作中，難點往往是尋找線線平行，無論是證明線面平行，還是對線面平行的應用，都涉及尋找線線平行.

關鍵詞：投影法；線線平行；定理

將一支筆放在桌面的上方，且平行于桌面的位置.在燈光的照射下，會發現筆所在直線與它的影子所在的直線是平行的.由此得到啟發，在找線線平行時，若能在需要的面內找到已知直線的“影子”，即可找到線線平行.而投影又分為中心投影和平行投影，所以一般找“影子”，我們從兩種不同的投影方式來進行.

例1.如圖3所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，側面對角線 AB1，BC1上分別有兩點E，F且B1E=C1F，求證：EF∥平面ABCD.

【分析】我們考慮從線線平行的角度證明該題.

【方法一】：光線從EF的上方往平面ABCD正投影，由于是正投影，顯然此時的光線必定是垂直于下底面ABCD，故此時的“影子”應是直接在EF上取點，往平面ABCD引垂線，垂足的連線即為我們需要的“影子”.

【證明】：如圖4，過E作EE1交AB于一點E1，過F作FF1⊥BC交BC于一點F1，連結E1F1.（顯然，E1F1即為我們需要的“影子”，下面只需證明EF∥E1F1，可以通過證明四邊形EFF1E1是平行四邊形即可），∵EE1∥FF1，又B1E=C1F，故AE=BF，∴△AEE1≌△BFF1∴EE1=FF1，故四邊形EFF1E1是平行四邊形.

∴EF∥E1F1，又E1F1∪平面ABCD，EF∪平面ABCD

∴EF∥平面ABCD.

【方法二】：當光源由線光源變成點光源，即投影變成中心投影的時候，亦可在地面形成直線EF的“影子”.取B1為點光源的位置，則此時在底面ABCD的“影子”為B1E和B1F于底面ABCD 的交點的連線.

【證明】：如圖5，連結B1F并延長，交BC的延長線于點O，連結AO.（顯然，AO即為我們需要的“影子”，下面證明EF∥AO

即可）

由題意可知， = ，又B1E=C1F，∴ = ，

故 = ，

∴EF∥AO，又AO∪平面ABCD，EF∪平面ABCD

∴EF∥平面ABCD

【總結】：“影子”根據投影而定，根據特定的題目，選擇合適的投影方式（中心投影或者平行投影）和投影方向（平行投影）或投影點（中心投影），從而確定最容易得到的“影子”，以便進行證明得到做題時需要的線線平行.

變式：如圖6所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M，N分別為AB，PC的中點.求證：MN∥平面PAD.

編輯 魯翠紅