用線性規劃方法創新解題

修延彬+陳敏

簡單的線性規劃知識給學生提供了數學建模，“用數學”的意識和實踐機會。要求學生在重點理解基本概念的基礎上，學會利用“圖解法”解決平面區域問題，這也充分體現了數學的應用性和工具性。

一、用線性規劃方法解二次方程問題

例1 實系數一元二次方程x2+ax+2b=0有一個根大于0且小于1，另一個根大于1且小于2，試求 的取值范圍。

分析：本題利用二次方程根的分布，可得到關于的三個不等式，相當于線性規劃問題中的約束條件，而 可看作目標函數，因此可考慮將本題轉化為線性規劃問題。并且這個目標函數的形式與直線的斜率的計算公式很相似，提示我們構造兩點連線的斜率。

解：設f（x）=x2+ax+2b，

由題意可得，

f（0）>0f（1）<0f（2）>0？圯b>01+a+2b<02+a+b>0

如圖1所示，建立以a為橫軸，b為縱軸的平面直角坐標系，找到可行域，設可行域內動點M（a，b），則表達式 表示動點M（a，b）和定點C（1，2）連線的斜率，即KMC= ，由圖1可知KBC

二、用線性規劃方法解三角形問題

例2 已知△ABC的三邊長a，b，c滿足b+c≤2a，c+a≤2b，求 的取值范圍。

分析：根據三角形三邊之間的關系，及已知條件的不等式關系可得到a0，b>0，c>0這個不等式組是關于三個變量a，b，c的，要求的是兩個量的比值的范圍，看上去似乎很難與 建立起聯系，但如果根據其特點進行變形，就可以轉化為關于兩個變量的不等式組，并且可以作為約束條件，這樣就可轉化為線性規劃問題了。

解：設x= ，y= 則有10，y>0

因此，原問題轉化為在上述約束條件下求的取值范圍的問題，如圖2所示做出上述這個約束條件下的可行域，由方程組x+y=1y+1=2x可得點A ， ，再由方程組x+y=2y+1=x可得點C ， ，易知

三、用線性規劃方法解取值范圍問題

例3 已知f（x）=px2-q，且-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，求f（3）的取值范圍。

分析：根據已知條件可得到關于p，q的不等式組，f（3）也是關于p，q的線性方程，我們就可以將不等式組作為約束條件，

f（3）=9p-q作為目標函數，將其轉化為線性規劃問題，這樣就可使問題變得簡易可行。

解：因為f（1）=p-q，f（2）=4p-q

所以-4≤p-q≤-1，-1≤4p-q≤5，

于是問題轉化為：在約束條件p-q≥-4p-q≤-14p-q≤54p-q≥-1下，求Z=f（3）=9p-q的取值范圍的問題。如圖3，找到可行域ABCD（包括內部及邊界），設Z=9p-q，即q=9p-Z，則Z表示直線q=9p-Z在q軸上截距的相反數。過點A（0，1）的直線的截距的最大值為1，于是Z的最小值為-1，過點C（3，7）的直線截距最小值為-20，于是Z的最大值為20。所以，-1≤Z≤20，即-1≤f（3）≤20。

以上幾個例題雖有一定的難度，但具有幾何意義，運用線性規劃的方法解決，解法非常靈活巧妙，易于學生理解和掌握。

編輯 彭 鎖