小學數學典型錯例分析及矯正策略

小學數學典型錯例分析及矯正策略

編者按：錯例是學生學習知識后的第一反饋，是直接反映學生學習情況的生成性教學資源，能夠幫助教師很好地讀懂學生。以錯例的整理與分析為讀懂學生的切入點，充分挖掘錯例中的教學價值，才能科學合理地設計、實施和改進教學，促進學生的有效學習和教師的專業發展。

數與代數

【錯例】

【診斷】

1.學習經驗的影響。學生從一步計算過渡到兩步計算，是計算技能的一次飛躍。學生對乘（除）加、乘（除）減的算理理解、遞等式的書寫等有一定困難。

2.思維定式的干擾。用原有的運算法則與方法干擾新的運算法則與方法的學習。另外，在日常生活中，看書、寫字等都是習慣于“從左向右”的順序，這種生活經驗干擾了學生對乘（除）加、乘（除）減運算順序的正確深刻理解。

【對策】

1.深刻理解算理、及時鞏固練習。學生對數學算理的理解程度決定了計算結果的對與錯。學生對算理理解不透徹，掌握不牢固，就很容易造成計算出錯。究其原因，主要是學生缺乏對程序性知識的掌握。因此，在計算之前，學生一定要牢固掌握運算相關的程序性知識，為得出準確的計算結果提供保障。

2.打破思維定式，靈活掌握知識。在小學數學的學習中，有許多的計算是相互聯系又相互區別的。在學習的過程中，應該將那些容易混淆、難以區分的計算整理到一起加以辨別，從中明確它們之間的本質區別，掌握兩者間的內在聯系。通過歸納、整理與練習等方式，來促進思維定式帶來的正面影響，排除負面的干擾。提倡學生看到題目后，先確定運算順序，用圈一圈、畫橫線的方法標出先算的部分，提示自己按正確的運算順序逐步計算。計算完成后要回望檢查，養成良好的數學學習習慣。

【錯例】

【診斷】

1.抽象思維欠缺。學生通過操作或直接觀察圖形，解決“比較分數大小”的問題，不會有太大的障礙，而學生一旦離開了直觀的圖形，再加上運算法則的綜合應用，就顯得有些忙亂，極易混淆。

2.知識的負遷移。學生容易受整數、小數大小比較的影響，干擾了異分母分數大小的比較。另外，由于受同分母分數比較大小負遷移的影響，認為分子相同，分母不同時，分母大的分數就大。

【對策】

1.加強動手操作，深入理解知識。在教學中，教師要摒棄“重結論，輕過程”的教學，依據學生的年齡特點和已有的知識經驗開展活動，引導學生親自動手折一折、分一分、畫一畫等實踐活動，感知分數大小比較的方法，讓學生在小組操作中充分地交換意見、總結方法，從而深層次理解和發現分數大小比較的規律。

2.構建知識聯系，促進積極遷移。學習的積極遷移，需要有必要的知識、經驗、技能做鋪墊。我們可以在教學分數比較大小前復習整數、小數、同分母分數比較大小的方法，并從數學本質上理清這些知識的異同，為學生掌握分數比較大小做好孕伏。

【錯例】

【診斷】

1.思維定式影響。學生學了簡便計算后，認為所有的運算就都可以進行簡便計算，而當碰到不能簡便的運算題時，就不知所措了。

2.算式結構干擾。“湊整”能使計算簡便，但“湊整”必須建立在正確運用運算定律的基礎上，不能盲目地追求“湊整”。如上題中，學生因看到“25×4=100”“23+7= 30”，就誤以為可以把后兩個數直接進行計算，從而導致計算結果的錯誤。

【對策】

1.整體把握知識，促進知識形成。教師要樹立大計算教學觀，簡便計算的教學應建立在真實的計算教學背景上，不應該脫離計算教學來談簡便計算。在教學簡便計算時，最好把能簡便與不能簡便的習題同時呈現，讓學生知道有些習題通過運用運算定律能使計算簡便，而有些則不能，甚至用了運算定律反而使計算變得復雜。

2.深刻理解知識，發展學生思維。通過簡便計算的學習，不僅要讓學生體會到數學知識內在的簡潔美，還要培養學生思維的靈活性，切忌讓學生形成“簡便計算就是湊整”的錯誤思想。針對這類錯誤，一方面，教師要加強學生對運算定律的認識與理解，另一方面還應培養學生認真負責的學習態度，讓他們從小養成用估算或按運算順序再算一遍進行驗算的良好習慣。

【錯例】

【診斷】

運算定律理解不透徹。由于乘法結合律與乘法分配律在表現形式上十分相近，致使一些學生容易造成知覺上的錯誤，誤把乘法結合律當乘法分配律運用，這說明學生對這兩條運算定律的理解還不夠透徹。乘法分配律是乘法對于兩個數的和或差的分配律。而乘法結合律是幾個數連乘時，可以交換運算順序。像上題三個數連乘應選用乘法交換律或乘法結合律，而不應選用乘法分配律。

【對策】

1.結合生活情境，深刻理解知識。教師不能只是簡單地從形式入手，告訴學生括號里是乘號時不能運用乘法分配律，只能當括號里是加法或減法時才能用乘法分配律。而應從乘法結合律和乘法分配律的意義入手，并通過結合具體的情境讓學生加以理解，也可以讓學生對這兩條運算定律進行比較，深入地理解乘法結合律及乘法分配律的意義，自主建構起知識體系。

2.對比相似知識，鞏固基礎知識。為區別兩種運算定律的不同之處及其運用后所產生不同的簡便程度，可以加深學生對這兩種運算定律的理解，教師可引導學生用以下兩種不同的思路加以練習。

【錯例】

【診斷】

1.知識本質認識不到位。判斷一個分數能否化為有限小數，關鍵有兩點：第一，要求這個分數是最簡分數；第二，要求這個分數的分母中只含有因數2或5。學生容易把“只要有”代替了“只含有”，如的分母是30，它的因數中有2和5，學生就誤認為該分數能化為有限小數。另外，學生在判斷之前往往沒有先看該分數是否已化為最簡分數，如中分母12的因數中除了2還有3，學生就誤認為該分數不能化為有限小數，但該分數還不是最簡分數。

2.已有知識經驗不豐富。“分數能否化為有限小數的規律”的理解非常抽象，學生基本上沒有什么已有知識和生活經驗得以借鑒，對抽象思維能力薄弱的小學生來說，容易判斷失誤。

【對策】

1.巧設數學活動，經歷自主探究。在教學中，要結合學生已有的認知水平，引導學生通過猜想、驗證、交流、歸納等數學活動，從分類中進行比較和探究，從中發現“分數能化為有限小數”的規律，培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。

2.鼓勵大膽設疑，深入理解知識。教師引導學生通過舉例驗證，完善規律，讓學生自由舉出分數，利用發現的規律檢驗每一個分數能否化為有限小數。這樣的教學，能讓學生在大膽設疑、合理猜想、合作討論中，積極參與探索數學知識的形成，從而深入理解一個分數能否化為有限小數的規律，防止學習由于對規律的不完全理解而導致判斷的錯誤。

【錯例】

1.5.5中的兩個“5”表示的意義相同。 （√）

2.小數都比1小。 （√）

【診斷】

1.知識的負遷移。由于學生學習小數是從已有的整數拓展到小數的，是數的認識領域的一次拓展，許多學生因難以逾越這個“坎兒”而形成認識盲點。另外，小學生在長期學習中積累的整數經驗特別是大數的經驗定式，束縛了他們對小數意義的認識，相對于整數的大數而言，有的學生會誤認為“小數比1小”。

2.缺少生活經驗。小學生在日常生活中積累的有關小數的生活模型較少，生活經驗的缺失也制約了他們對小數意義的理解與建構。

【對策】

1.強調直觀教學，注意教學層次。教學小數的意義應充分采用直觀教學的方法，并注意教學的層次性。第一層次:讓學生親手量一量課桌、課本、鉛筆、文具盒等身邊的物品，充分體驗不能得到整數結果的情境，激發其學習小數知識的內在動機。第二層次:應用米尺通過實際度量課桌長度，以“米”作單位，用分數表示幾分米、幾厘米、幾毫米，進而抽象為用小數表示結果。說明把一個整體平均分成10份、100份、1000份……這樣的幾份就分別是十分之幾、百分之幾、千分之幾……可以用小數表示。一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾……第三層次:引導學生從具體到抽象、從特殊到一般，觀察、思考、分析、歸納，從中認識小數的產生以及小數的意義，通過多種活動使學生較好地理解小數的意義。

2.宏觀把握知識，加強知識聯系。教師要關注學生的認知背景，抓住整數與小數知識的連接點，精心創設為學生所熟知的情境，提供足夠的思考空間，改進教學方式，讓學生親歷小數的“再創造”過程，發現、感悟小數的意義。小數是從整數擴充來的，所以整數知識對小數知識的學習會有兩種遷移作用。一種是正遷移，如整數的記數位值原則、十進關系等對小數學習有促進作用；二是負遷移作用，如小數大小的比較，數位名稱及讀法、寫法都會受整數知識思維定式的干擾，因此教學中要加強對比，充分利用已有的整數知識來學習小數。

3.聯系生活實際，建構小數意義。在日常教學中應多引導學生將小數知識與實際生活相聯系，深刻理解小數的意義，如，引導學生體驗生活后寫一寫數學日記《生活中的小數》等。

【錯例】

小麗m歲，媽媽（m+a）歲，b年后，媽媽比小麗大（A）歲。

A．a+b B.a-b C.a D.b

【診斷】

代數知識抽象。學生不能接受字母可以像數一樣參與運算等特征，在用字母表示數的練習中，學生不容易分清每個代數式的意義，在理解題意時容易產生錯誤。

【對策】

1.重視學習過程，感受代數思想。怎樣讓學生理解“為什么要用字母表示數”“在什么情況下用字母表示數”呢？在整個教學活動中，教師應重視利用所學知識解決實際問題，使學生經歷由符號表示數過渡到用字母表示數。在這一過程中，可以讓學生先自己觀察，解決問題，然后同學之間再互相啟發、互相補充，在解決問題的過程中深化對數學知識的認識。

2.聯系生活實際，加強應用意識。用字母表示數的教學應該從學生已有的生活經驗出發，由符號表示數過渡到用字母表示具體的數，讓學生體會、認識到用字母表示數在實際生活和學習中的廣泛應用。再讓學生列舉生活中見過的用字母表示數的例子，使學生感受到數學就在身邊，同時增強對用字母表示的數的認識。

【錯例】

【診斷】

1.忽視算理理解。教師只重視計算操作技能的形成，卻忽視相關算理的理解，也就是片面地向學生強調“因數有幾位小數，積就有幾位小數”這一計算操作技能，而忽略了對積中小數點由來的探究。

2.數學體驗不足。學生不能從小數乘法法則的“再創造”活動中獲得豐富的數學體驗，導致學生給積點上小數點時盲目、隨意，缺乏準確性。

【對策】

1.自主探究算理，鞏固基本技能。在教學中，教師要注意放手讓學生去探究小數乘法法則，引導學生充分交流、互相分享，讓學生深刻理解處理積中小數點的算理，形成自覺、正確地給積加上小數點的技能。

2.加強合作交流，提升計算能力。在小數乘法的教學中，教師可以從“合作交流”的教學方式入手，讓學生對小數乘法轉化成整數乘法的策略充分交流、評價、質疑，從而理解、內化小數點的處理策略。這里需要注意的是，學生的交流并不能簡單地停留于“說”的層面上，也就是說并非是將各種觀點進行“堆砌”，而是要引導學生互相評析、質疑、比較，讓學生在積極主動的交流互動中，實現思維的激活、碰撞，深刻理解小數乘法中積的變化規律，進而正確處理好積中小數點的問題，提升學生的計算技能。

【錯例】

一根繩子長90%米。 （√）

【診斷】

1.概念理解不清。對百分數的意義缺乏深度理解，即對“百分數是表示一個數是另一個數的百分之幾”“指兩個數之間的倍數關系”的實際內涵理解不清。

2.知識關系模糊。百分數是一種特殊的分數，它與分數既有聯系又有區別，不少學生對分數與百分數之間的關系容易混淆，把分數可以表示具體的數量的用途遷移到百分數中，導致判斷錯誤。

【對策】

1.創設生活情境，自主建構概念。在日常教學中，教師要在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上，聯系生活實際，留給學生充分從事數學活動的機會，讓學生在具體的生活素材中去積累對百分數的感性認識，從而自主構建“百分數”的概念。

2.加強知識對比，理清相互關系。組織學生通過小組合作學習，比較百分數與分數的異同，通過積極思考，與同伴的交流，進一步理解百分數和分數的區別與聯系，獲得正確的認識。

【診斷】

1.概念認識不清。對倒數的定義缺乏本質的認識和理解，即對“積是1”“兩個數”“互為倒數”等知識的實際含義以及互相關系并沒有真正弄懂。

2.知識理解偏差。學生容易認為倒數就是“倒過來”“顛倒一下”“上下對調”“結果是1”，理解錯誤而出現概念偏差。倒數是兩個數之間的一種特殊關系，即這兩個數的積是1。在此前提下，才有兩個數互為倒數的概念。

【錯例】

【對策】

1.基于已有經驗，經歷知識形成。讓學生從自己的數學經驗出發，經歷思考、概括或發現有關數學結論的過程。針對學生在求一個數的倒數時，認為只要把這個數倒過來或兩個數的計算結果等于1，這兩個數就成互為倒數的錯誤情形，教師可以讓學生從自學課本入手，以已有的經驗來解釋“積是1的兩個數互為倒數”這句話；通過師生共同交流的方式，從初步剖析意義到深入探究倒數的意義，學生在活動中經歷獨立思考、探究問題、應用知識的全過程，突出學生的主體地位，發揮學生學習的能動性。

2.加強變式練習，鞏固基礎知識。在“倒數”教學的練習環節應該加強變式練習，如0.2的倒數是（ ），1的倒數是（ ）等。在學生思考“0.2×5=1”所以0.2的倒數是5,“1×1=1”所以1的倒數是它本身的過程中，引導學生從知識的本質出發思考問題，而不僅僅從知識的表現形式出發思考問題，有助于學生形成對倒數這一概念正確而深刻的認識。

（楊志宇）

圖形與幾何

【錯例】

上海在北京南偏東約30°的方向上，北京在上海的西偏北約（ ）的方向上。

錯解：30°

【診斷】

1.學習方式不當。學生普遍存在著通過死記硬背的學習方式來解決此類問題。如：給出A在B的東（西）偏北（南）方向上，反過來B就在A的相反方向上，B在A西（東）偏南（北）上，但度數是不變的。這樣的學習方式并沒有達到對知識的真正理解，沒有真正掌握解決問題的方法。當題目加以變化時（改變了方向的表述順序），學生就不能靈活加以解決。

2.推理能力不足。學生在學習“位置與方向”這一領域的內容時，較多地經歷了測量、描述物體的位置的活動，但缺乏對方向標中的角度進行計算的經驗，思考缺乏方向。學生在解決此類問題時，不能在已知和未知之間建立橋梁，不能通過構造三角形來溝通各個角之間的聯系，不能借助兩條直線的垂直關系、三角形的內角和等知識綜合解決問題。

【對策】

1.優化學習方式。在教學中，要避免死記硬背的學習方式，要設法激活學生的思維，把問題拋給學生，讓學生充分經歷觀察、猜想、測量、討論等活動過程；要切實突出學生的主體地位，讓學生表達自己的發現，交流不同的想法，總結解題的方法，積累解題的經驗，體會到解決此類題有三個步驟：一是根據問題確定好觀測點，二是以觀測點為中心建立方向標；三是想辦法求出方向角的度數。

2.滲透推理方法。在解決復雜問題之前，引導學生思考這樣三個問題：已知是什么（題目給了哪些信息）？未知是什么（要解決的問題是什么）？已知和未知之間如何建立聯系？在本題中，已知是∠1=30°，未知是∠2等于多少度，如何溝通∠1和∠2之間的聯系呢？將以北京為觀測點的向南方向直線延長，將以上海為觀測點的向西方向直線延長，兩條直線交于點O，根據方向標中東西方向的直線和南北方向的直線互相垂直的特點，知道∠O=90°，在三角形ABO中，能夠求出∠2=180°－90°－30°=60°，從而成功解決問題。

【錯例】

用一些小正方體搭成一個立體圖形，從三個不同方向看到的形狀如下。

搭成的立體圖形一共有多少個小正方體？

錯解一：9個

錯解二：10個

【診斷】

1.重觀察，輕想象。學生較多經歷了從不同方向觀察實物或立體圖形得到平面圖形，這樣的由三維圖形到二維圖形的轉換活動，卻很少經歷由從不同方向看得到的平面圖形想象出實物或立體圖形，這樣的由二維圖形到三維圖形的轉換活動，導致學生的空間想象力沒有得到有效地鍛煉，學生的空間觀念沒有得到很好地建立。

2.重操作，輕感悟。對于上面的問題，教師們普遍重視借助直觀教學具還原立體圖形，這樣處理，實現了問題的快速解決。但由于教師缺乏引領學生在頭腦中想象、感悟各個位置小正方體層數的確定方法，從而導致學生對于直觀教學具的過度依賴，出現離開直觀教學具就不能正確解答的現象。

【對策】

1.觀察和想象并重。三維圖形與二維圖形的相互轉換是培養學生空間觀念的主要途徑。在學習“觀察物體”這部分內容時，在開展從不同方向觀察實物或立體圖形得到的平面圖形活動之后，還要有意識地引導學生由不同方向看得到的平面圖形，去想象實物或立體圖形。

如：教材中有很多與下面題目類似的問題：

（1）分別畫出從正面、左面、上面觀察下面的立體圖形得到的平面圖形。

教師在教學上面的題目之后，可以即時跟進出示這樣的題目：

（2）用一些小正方體搭成一個立體圖形，從三個不同方向看到的形狀如下。

搭成的立體圖形一共有多少個小正方體？

問題（1）重在培養學生由三維圖形到二維圖形的觀察能力，學生在平時接觸較多，在問題（1）的基礎上，教師如果順勢提出問題（2），有利于促進學生根據從某一方向看得到的平面圖形，想象立體圖形的可能情況，綜合根據三個方向看得到的平面圖形，還原出立體圖形，這樣通過由二維圖形到三維圖形的轉換，有利于發展學生的空間想象能力和空間觀念。

2.操作和感悟并行。在學生借助小正方體學具進行動手操作的基礎上，教師要努力引導學生在頭腦中進行想象，通過比較、推理，尋找確定各個位置的小正方體的層數的方法，積累解決此類問題的經驗。

首先根據上面看得到的平面圖形，可以知道A、B、C、D、E、F六個位置至少有1層小正方體。（如下圖）

然后結合正面看得到的平面圖形，可以確定C、E、F三個位置各有1層小正方體。（如下圖）

最后結合左面看得到的平面圖形，可以確定另外A、B處各有2層小正方體，D處有1層小正方體。（如下圖）

所以，搭成的立體圖形一共有8個小正方體。如下圖所示。

【錯例】

一根圓柱形的木料長10米，截成長度相等的25段，表面積增加了6平方米，原來的木料的體積是多少立方米？

錯解一：6÷25=0.24（平方米）

0.24×10=2.4（立方米）

錯解二：6÷50=0.12（平方米）

0.12×10=1.2（立方米）

錯解三：6÷24=0.25（平方米）

0.25×10=2.5（立方米）

【診斷】

1.思維缺乏敏感性。錯解一的學生認為“增加的表面積÷截的段數=圓柱的底面積”，錯解二的學生認為“每段都多出兩個底面”，錯解三的學生認為“增加的表面積÷截的次數=圓柱的底面積”，這些學生的思維不夠敏感，并沒有意識到增加的表面積與截圓柱的段數、次數之間的關系的易錯之處，在分析問題過程中沒有給予足夠的重視和深入的分析。

2.分析缺乏直觀性。學生分析和解決此類問題時，沒有養成畫圖的習慣，不能借助直觀圖形進行分析、推理，而是憑空在頭腦中粗略地得出增加的表面積與截圓柱的段數、次數之間的關系，導致列式出錯。

3.思考缺乏深刻性。部分學生對于段數較少的簡單問題，可以直接數出增加的截面數。但面臨段數較多的復雜問題時，并沒有從中發現增加的截面數與段數之間的關系，思考不夠深刻，解題能力不足。

【對策】

1.積累活動經驗。在教學中，要避免將結論直接告訴學生的簡單做法，而是要努力創造條件讓學生通過動手操作活動，從中體驗發現其中的規律。對于截圓柱增加的表面積問題，可以讓學生親自動手切火腿腸段，從中體會截的段數與截的次數之間的關系，增加的截面數與截的次數之間的關系。

2.嘗試畫圖分析。在解答圖形與幾何部分的習題時，要注重對學生畫圖習慣的培養，通過畫圖將相對抽象的思考對象圖形化，借助圖形的直觀幫助分析、解決問題。對于上面的問題，通過畫圖，能夠得出一組截的段數、截的次數與增加的截面數的具體數據（下圖中，截的段數是3，截的次數是2，增加的截面數是4），這些數據為下一步發現三者之間的關系提供了素材。

3.逐步抽象歸納。結合直觀圖形，將截的段數、截的次數、增加的截面數的幾組數據整理到下表中：

2 4 6截的段數截的次數增加的截面數2 3 4 1 2 3

在些基礎上，引導學生發現其中的規律：

（1）截的次數=截的段數－1；

（2）增加的截面數=截的次數×2。

有了這樣的發現，上面的問題很容易就解決了。截的段數是25段，截的次數是24次，增加的截面數是48。表面積增加了6平方米，每個截面的面積（圓柱的底面積）是6÷48=0.125（平方米）。原木料的體積為0.125×10= 1.25（立方米）。

【錯例】

如圖，某公園有四塊圓心角是90°的扇形的草坪，它們的周長都是285.6米，這四塊草坪的總面積是多少平方米？

錯解：

285.6×4÷2÷3.14≈181.91（米）

3.14×181.912≈103906.52（平方米）

【診斷】

1.概念建構模糊。由于受圓的周長的概念的影響，圓的周長是圓一周的長度，部分學生在研究半圓的周長和圓心角是90°的扇形的周長時，只關注了曲邊的長度與圓周長之間的關系，而忽略了對圓的直徑和半徑的考慮，認為半圓的周長等于整個圓周長的，圓心角是90°的扇形的周長是整個圓周長的，從而導致出錯。

2.解題策略欠缺。一部分學生認識到圓心角是90°的扇形的周長等于整個圓周長的加2條半徑的長，但缺少進一步求解的策略。也有一部分學生僅僅局限于從一個圓心角是90°的扇形的部分研究周長和面積，缺乏將四個圓心角是90°的扇形拼成一個完整的圓的角度研究周長和面積，導致解題過程繁瑣，容易出現計算錯誤。

【對策】

1.開展對比分析，準確建構概念。抽象的概念能否在具體問題中正確運用，是檢驗學生概念建構是否準確的標準。對于“封閉圖形一周的長度，是它的周長。”這一概念,可以抓住一組典型題進行對比分析。

計算下面各圖形的周長：

通過研究圓形、半圓形、圓心角是90°的扇形、半圓環的周長，理清相近概念之間的區別與聯系，促進學生準確建構周長概念。

2.滲透數學思想，豐富解題策略。有針對性地滲透數學思想對于豐富學生的解題策略，培養學生創新解決問題的能力意義重大。上面的問題中，由圓心角是90°的扇形的周長求扇形的半徑不容易直接求解，而如果設圓心角是90°的扇形的半徑為r米，可以列出方程（2×3.14×r）÷4＋2r=285.6，進而求出圓心角是90°的扇形的半徑。

運用整體思想分析問題，容易獲得更簡捷的求解路徑。上面的問題中，每個圓心角是90°的扇形的周長是整個圓周長的加2條半徑的長，4個圓心角是90°的扇形的周長就是整個圓的周長加8條半徑的長，容易列出方程2×3.14×r＋8r=285.6×4，求出圓心角是90°的扇形的半徑“r=80”后，求4個圓心角是90°的扇形的總面積，也就是求整個圓的面積3.14×802=20096（平方米）。

【錯例】

如圖，一塊長方體的木料（圖中單位：厘米）。把這塊木料加工成一個最大的圓柱。這個圓柱的體積是多少立方厘米？

錯解：3.14×（4÷2）2×8=12.56×8=100.48（立方厘米）

【診斷】

1.原有認識的負遷移。學生的原有知識對解決本題產生的負遷移主要表現在兩個方面：一是相似問題的負遷移。在三年級解決“在一張長形紙上剪下最大的正方形”這一類的問題時，要以長方形的短邊為正方形的邊長。導致多數學生直接將其遷移到本題中，只要以長方體的底面的短邊長4厘米為圓柱的直徑，就可以得到最大的圓柱。在圓柱和圓錐這一單元的習題中，涉及到把正方體木料加工成最大的圓柱的問題，由于正方體的各個面的形狀和大小相同，掩蓋了把長方體木料加工成最大的圓柱問題的復雜性；二是生活經驗的負遷移。學生通過見到的圓柱都是正立的，底面朝下，導致多數學生認為本題的最大的圓柱也是正立的，底面在長方體木料的底面上。

2.知識建構的片面性。在教學中，教師沒有引導學生對圖形形成多角度的認識：一是缺乏多角度觀察。“橫看成嶺側成峰”，以觀察圓柱為例，可以將圓柱的底面上下放置，也可以將圓柱的底面左右放置，還可以將圓柱的底面前后放置，學生尤其缺乏將圓柱的底面前后放置的觀察經驗。二是忽視多角度計算。把長方體木料加工成最大的圓柱，需要根據圓柱的底面在長方體的上（下）、左（右）、前（后）面進行多角度計算。由于學生缺乏對圖形的多角度觀察和計算，導致學生解決上面的問題角度單一，因考慮不全面而出錯。

【對策】

1.開展專題研究，促進知識正遷移。對于圓柱體積最大問題，可以開展一次專題研究，將以下問題集中歸類研究：

（1）一張長方形紙的長是20厘米，寬是10厘米。以這個長方形紙一邊所在的直線為軸旋轉一周，得到的最大圓柱的體積是多少？

（2）一張長方形紙的長是9.42厘米，寬是12.56厘米。將這個長方形紙卷成圓柱，得到的最大圓柱的體積是多少？

通過此類問題的研究，讓學生認識到最大圓柱問題的多種情況，尋找多樣化的思考角度，從而深化學生對于此類問題的認識。

2.發展求異思維，優化思維品質。學生解決問題之后，要注重引導學生思考兩個問題：一是本題還有沒有其他解法?二是本題還有沒有其他情況？從而促進學生形成反思性學習的習慣，發展學生的求異思維，提高學生思維的靈活性和深刻性。如，本題學生列出3.14×（4÷ 2）2×8這個算式后，引導學生思考，本題還有沒有其他情況，從而將學生認為圓柱的底面在長方體木料的上、下面的片面認識，擴展到圓柱的底面還可以在長方體木料的左、右面和前、后面的全面認識。進而分別求出各種情況時圓柱的體積：

圓柱的底面在長方體的上、下面時，圓柱的體積= 3.14×（4÷2）2×8=12.56×8=100.48（立方厘米）；

圓柱的底面在長方體的左、右面時，圓柱的體積= 3.14×（4÷2）2×6=12.56×6=75.36（立方厘米）；

圓柱的底面在長方體的前、后面時（如右圖），圓柱的體積=3.14×（6÷2）2×4=28.26× 4=113.04（立方厘米）。

通過比較發現，在本題中，圓柱的底面在長方體的前、后面時，圓柱的體積最大，圓柱的最大體積是113.04立方厘米。

（孫立革）

統計與概率

【錯例】

投擲3次硬幣，有2次正面朝上，有1次反面朝上，那么，第4次投擲硬幣正面朝上的可能性是（ ）。

錯解：D

【診斷】

1.忽略了客觀事實。一枚硬幣只有正、反兩個面，拋硬幣的結果一共有2種情況，正面朝上或者反面朝上，這是最客觀、最自然的事實。

2.經驗不恰當遷移。生活中如果某一件事情經常發生，我們往往會把它與別的事情聯系起來。上例中因為前3次投擲硬幣，有2次正面朝上，正面朝上的次數占總次數的，所以就誤以為后面投擲硬幣正面朝上的可能性也是。而實際上，每次投擲硬幣都是獨立事件，硬幣正面朝上的概率不受前面所投的次數的影響，不管前面發生什么，再次擲硬幣正面朝上的可能性還是。

【對策】

1.發揮生活經驗在數學學習中的積極作用，防止生活經驗對數學理解的干擾。在“可能性”教學中，要注意選取學生熟悉的生活情境及感興趣的游戲活動作為教學素材，但要防止學生的生活經驗對數學理解造成干擾，從而影響了數學判斷。

2.重視活動與反思，引導學生在觀察、猜測、實驗與交流過程中，體驗可能性的大小，發展統計觀念。描述可能性的大小通常有兩種辦法，一是直接用數據來刻畫，如“從一個裝有4個黃球、1個白球的盒子里摸一個球”，可以說“摸到黃球的可能性為80%”；二是通過大量重復摸球試驗的統計結果來描述，鼓勵學生根據自己的生活經驗提出猜想，并嘗試解釋“摸到黃球可能性大”的含義。

【錯例】

有7個球，上面分別寫著1、2、3、4、5、6、7。現在把這7個球裝入一個不透明的袋中，每次任意摸出一個再放回。請你設計一個公平的游戲規則。

錯解：任意摸出一個，摸到奇數的算甲贏，摸到偶數的算乙贏。

【診斷】

1.原理理解不透徹。雖然“可能性”是生活中的常見現象，但將其從生活中抽象出來，學生仍然會感到有些陌生。學生沒有在活動操作中體驗可能性大小和游戲規則的公平性的聯系，就不能理解怎樣的游戲規則是公平的規則。

2.情況列舉不全面。學生沒有根據“游戲各方贏的可能性相等——游戲規則公平”這一數學模型來設計公平的游戲規則，對甲乙雙方贏的可能性沒有充分列舉。在1到7這7個數中，奇數偶數的個數不同，游戲各方贏的可能性自然不會相等。

【對策】

1.在活動中體驗。要通過“摸球”“玩轉盤”等游戲活動，討論游戲規則是否公平，并通過動手實踐，初步感受游戲規則公平的原理；能自己嘗試設計使雙方都公平的游戲。通過“提出問題——開展辯論——得出結論——試驗驗證——分析數據——修改規則——自己設計新游戲規則”這一系列的活動，讓學生在活動中獲得直觀感受，從而體會事件發生的可能性和游戲規則的公平性之間的聯系。

2.經歷建模過程。建模的過程就是數學化的過程，從生活情境抽象為數學問題，在這個過程中培養學生分析、綜合、抽象等能力。我們應該從學生熟悉的“摸球”游戲出發，將事件發生的可能性和游戲規則的公平性建立聯系，引導學生經歷“創設情境、初次建模——體驗驗證、抽象模型——鞏固深化、應用模型”的全過程。

3.加強對比辨析。在教學中合理地運用比較的方法，不僅可以幫助學生建立概念、理解概念，而且有利于學生在頭腦中建立起事物或概念間的內在聯系。無論是摸球游戲活動，還是練習應用，都把公平的和不公平的游戲放在一起，讓學生在辨析游戲規則是否公平中，多次感受游戲規則公平的原理，深化對游戲規則公平性的體驗。

【錯例】

小明和爸爸到離家60千米的野外春游，去時每小時行10千米，返回時每小時行15千米，他們往返的平均速度是每小時幾千米？

錯解：（10+15）÷2=12.5（千米）

【診斷】

1.平均數意義理解錯誤。產生錯誤的原因是對“平均速度”與“速度的平均值”這兩個概念混淆，錯誤地認為速度的平均值就是平均速度。

2.數量關系模型沒有建立。求一段路程的平均速度，先要知道這段路程的總距離及行完這段路程所用的總時間，然后根據“距離÷時間=速度”的關系求出平均速度。

【對策】

1.實際引入平均數概念。結合實際問題，例如男女生套圈比賽，問學生哪個隊會獲勝，引導學生交流、思考。學生認識到在人數不同的情況下，比總數顯然不公平；而平均數能代表他們的整體情況，因此感受平均數是實際生活的需要，也產生了學習“平均數”的需求。教學只有組織了這個過程，學生對平均數的統計意義以及作用才有比較深刻的理解，也才能在面臨相類似問題時，能自主地想到用平均數作為一組數據的代表，去進行比較和分析。

2.有效理解平均數意義。“平均數”是一個統計量，平均數的統計學意義是能刻畫、代表一組數據的整體水平。教學中我們不能單純地進行求平均數的練習，而應該將學習平均數放在完整的統計活動中，在描述數據、進行整體水平對比的過程中，深化“平均數是一種統計量”的本質，實現從統計學的角度學習平均數。

3.自主探索平均數算法。教學中應采用自主探究的方式讓學生自己探索出求平均數的方法：先合再分或移多補少。然后引導學生感受到這兩種方法的本質都是讓原來不相同的數變得相同，從中引出求平均數的方法。同時可以適時滲透平均數處于一組數據的最大值和最小值之間，能反映整體水平，但不能代表每個個體的情況，幫助學生對平均數這一概念獲得更為深刻和全面的認識。

4.激活學生內在的發展潛能。在求平均數應用題中，經常有學生將兩個平均數相加除以2，這是平均數應用題中極易出錯的典型問題。例如，三年級一班男生平均身高是147厘米，女生平均身高是143厘米。我們可以對這個素材進行深度挖掘，引導討論：什么樣的情況下，全班身高的平均數是（147+143）÷2=145厘米？假如男生人數多一些，全班身高的平均數比145大還是小？為什么？假如女生人數多一些呢？進行多次討論，讓學生享受數學思維帶來的樂趣。

【錯例】

下面的統計圖和統計表記錄了小林家五月份部分費用的支出情況。請把表格填寫完整。

支出金額/元所占百分比——支出項目合計水電、通訊等費用伙食費其他費用600 35%

錯解：

支出項目合計水電、通訊等費用伙食費其他費用所占百分比——40% 35% 25%支出金額/元2400 960 840 600

【診斷】

1.對扇形認識有缺陷。扇形統計圖能反映部分與整體的關系，是通過扇形圓心角的度數占整個圓周角度數的百分數來表示的，缺少了對扇形認知的支撐，就很難把握扇形統計圖部分與整體的關系。

2.圖表綜合能力薄弱。學生雖然對扇形統計圖和統計表具備了一定的感性認識，但是對圖表所呈現信息進行綜合加工的能力不強，導致扇形統計圖和統計表提供的信息匹配失誤。

3.知識體系構建不牢。上例圖表中問題涉及百分數意義以及應用、扇形與圓的關系等知識，尤其是根據扇形統計圖進行簡單的計算，實際上就是不同類型的百分數應用題的計算，應按照百分數應用題的解題思路和解題方法進行計算。

【對策】

1.充分感知材料。扇形統計圖的學習是基于折線統計圖、條形統計圖以及圓的知識。由于教材編排對于扇形比較簡略，因此，教學時要充分考慮學生的知識現狀，從扇形的感性認識入手組織教學，由淺入深地認識扇形統計圖的特征和用途。

2.系統建構認知。要引導學生結合實例認識扇形統計圖，并聯系百分數的意義，對扇形統計圖提供的信息進行簡單的分析。根據扇形統計圖進行簡單的計算，應按照百分數應用題的解題思路和解題方法進行計算，例如已知總數量和部分數量占總數量的百分數，求部分數量實質上就是求一個數的百分之幾是多少，用乘法計算。

3.提升信息獲取能力。要培養學生從相關聯的圖表中獲取信息的能力。既要從整體上觀察統計圖中的項目信息，看出各部分占總數的百分數，又要進行對比觀察，尋找對應關系，獲得解題思路，解決實際問題。

【錯例】

有一個裝有進、出水管的容器，每分鐘進、出水量都是一定的。如果從某時刻開始的4分鐘內只進水不出水，在隨后的6分鐘內既進水又出水，得到的水量與時間之間的關系如圖。10分鐘后，如果只出水不進水，容器中的水多少分鐘可以放完？

錯解1：

32÷（20÷4）

=32÷5

=6.4（分鐘）

錯解2：

32÷[（32-12）÷（10-4）]

=32÷2

=16（分鐘）

【診斷】

1.對數量的增減變化理解有誤。圖中反映水量變化的折線依次表示“4分鐘水量增加20升”“6分鐘水量增加12升”，要同時關注時間與水量的變化。

2.對引起變化的原因分析不透。前4分鐘，每分鐘水量增加20÷4=5（升）；隨后的6分鐘，平均每分鐘只增加（32-12）÷6=2（升）。導致每分鐘增加水量下降的原因是既進水又出水，那么我們可以知道每分鐘的出水量是5-2=3（升）。因此，如果只出水不進水，放完容器中的水所需要的時間是32÷3=（分鐘）。

【對策】

1.樹立正確的統計觀念。統計圖選取的數據應該注重生活實際，聯系身邊事例，引導學生從統計的角度思考與數據信息有關的問題。教師要引導學生對這些數據經過適當整理和分析，通過圖表現象，在此基礎上進行相應的推斷。

2.注重數據的收集與整理。統計是一個包括數據的收集、整理、描述和分析的完整過程。折線統計圖選用的數據應該是連續性的數據，都是有實際背景或含義的，教學中盡可能為這些數據賦予實際背景，讓他們在實際應用中了解折線統計圖的使用條件和使用價值。

3.體會統計對決策的作用。折線統計圖既可以反映數量的多少，更能反映數量的增減變化。比如氣象臺為了分析氣溫的變化情況，使用折線統計圖來記錄氣溫。我們不僅從折線統計圖上看出數量增減變化，還要根據曲線變化趨勢分析產生的原因，推測下一階段的數量變化情況。所以折線統計圖學習的首要目標是能認識到折線統計圖對決策的作用，有意識地從統計的角度思考有關問題。

（朱宇）