Ω形可展開彎桿屈曲載荷的經驗公式與試驗驗證

韓大為，朱曉海，靳宗向，楊 青，曹燕燕

Ω形可展開彎桿屈曲載荷的經驗公式與試驗驗證

韓大為1，2，朱曉海2，靳宗向1，2，楊 青1，2，曹燕燕1，2

（1．上海市空間飛行器機構重點實驗室，上海201109；2．上海宇航系統工程研究所，上海201109）

針對Ω形可展開彎桿多參數耦合、設計困難的問題，對Ω形可展開彎桿的屈曲載荷、兩側剛度差異特點等進行了仿真分析，擬合了計算公式；并研制了樣機，進行了試驗測試，仿真結果和試驗結果匹配性良好。研究內容為多參數Ω形可展開彎桿的快速設計和推廣使用積累了技術。

Ω形可展開彎桿；可展開結構；屈曲載荷；數據試驗

1 引言

近些年，隨著空間利用的快速發展，空間碎片數量急劇增加［1］。針對空間碎片清理需求，相關新型飛行器設計正引起國內外專家的重視［2?3］。本文提出一種非破壞、可重復、具有大展收比、不需要目標飛行器提供特定捕獲接口的、半剛性捕獲機構，如圖1所示，該捕獲機構的核心部件是一種橫截面為Ω形的空間彎曲半剛性桿。這種Ω形桿的兩側剛度具有明顯差異（剛度差異特點），工作前可以卷曲收攏，工作時釋放展開，具有大展收比的特征。剛度大的內側可以用作對太空碎片的柔性捕獲工作面，剛度小的外側可以用作卷曲收攏和展開釋放的接觸面。彎曲Ω形桿除了可以用作半剛性捕獲爪，高精度的多根彎曲Ω形桿還可用作新型拋物面天線傘狀支撐結構，可以克服傳統拼接式拋物面天線整體弧度較差的問題。

傳統的直Ω形桿多拼接成豆莢桿進行應用，是一種一維直線伸展的結構，國內外已經進行了較多的研究［4?6］；但彎曲Ω形桿國內外還沒有相關的研究，是一種平面內二維伸展結構，如圖2所示。它具有內外側剛度不同的特點，其內側剛度更大，外側剛度更小，更適合于單側剛度要求高、收攏包絡要求嚴苛的應用場合。

Ω形可展開彎桿具有展收比大、內側剛度大等優點，是一種有廣泛應用前景的新型結構，但是其橫截面曲率和縱向曲率具有耦合關系，如何計算其屈曲載荷和兩側剛度差異特點，對于Ω形彎桿的承載能力計算和參數優化等具有重要影響，本文針對Ω形彎桿的屈曲載荷和剛度差異特點進行仿真分析和試驗驗證。

2 仿真分析

Ω形可展開彎桿的整體半徑R、橫截面半徑r、整體弦長L、橫截面弦長l、材料厚度t等指標參數示意如圖3、圖4所示，對Ω形彎桿的力學特性具有影響，但是何種參數組合情況下，Ω形彎桿的力學性能能夠滿足需求，通過試驗進行逐一驗證是不現實的，所以通過仿真掌握參數變化對于彎桿性能的影響具有重要意義。

2? 1 仿真數模幾何參數

Ω形可展開彎桿的內側剛度較大，作為捕獲工作面；外側剛度較小，作為收攏工作面，用于彎桿發射入軌前的收攏，具體如圖5所示。在工作中，被捕獲的物體會對半剛性桿產生接觸力F，如果該力過大，桿件就會發生屈曲。因此需要對不同幾何參數下的桿件進行屈曲分析，尋找桿幾何參數與臨界屈曲載荷的關系。

針對多尺寸參數（橫截面曲率、縱向曲率、厚度、寬度、弦長等參數）的Ω形可展開彎桿進行分析。Ω形可展開彎桿的物理特性參數統計如表1所示，幾何參數組合統計如表2所示。

表1 半剛性桿物性參數統計表Table 1 Physical parameters of semi?rigid bars

通過對多參數組合的Ω形可展開彎桿進行仿真歸納，總結出關于Ω形彎桿屈曲載荷和剛度差異特點的經驗公式或選型表格。其中，屈曲載荷定義為Ω形可展開彎桿內側承載出現屈曲時候的最大承載；剛度差異特點定義為Ω形可展開彎桿內外側同樣承載條件下，內側抗彎剛度／外側抗彎剛度的比值。

表2 半剛性桿幾何參數組合統計表Table 2 Geometry parameters of semi?rigid bars／mm

2? 2 仿真前處理和參數設置

2? 2? 1 網格劃分

根據以上所述的試驗形式，在仿真分析中采用MSC．Patran 2012進行幾何建模。按照表2的某一組參數繪制三維曲面，使其橫截面及整體都呈圓弧形，與實際桿件完全一致［7］。在曲面的端部取4 mm分割出來，用來施加載荷，如圖6所示。將曲面劃分成殼單元，彎桿橫截面上定義6或12個單元，彎桿整體圓弧方向上，除用來施加載荷的4 mm段，定義100～200個單元，各組幾何參數下殼單元的長寬比都保持在1? 3～1? 7之間。

2? 2? 2 邊界條件及載荷

在屈曲試驗中，半剛性桿的固支段整體被固支，因此有限元分析中可以僅僅取桿的工作段進行建模，并約束其根部的所有自由度，對應實際桿件的橫截面。在分割出來的4 mm段曲面上，對所有節點施加外載荷，力矢量方向試驗工裝加載方向保持一致，對應實際試驗時砝碼重力方向不變的特點，仿真中不做跟隨力處理。

2? 2? 3 求解器參數設置

根據該分析任務大變形、大應變，材料非線性的特點，采用MSC．Nastran 2012的sol600求解器進行隱式非線性準靜態分析。半剛性桿幾何參數改變后，臨界屈曲力會發生較大改變，因此不同工況下所施加的外載荷大小也不盡相同，需要相應地略加調整。采用固定步長的方式施加載荷增量，但如果一個增量步內求解不收斂，允許將載荷步自動二分。采用位移收斂判據，其余所有參數采用默認設置［8］。各組幾何參數情況所用的外載荷及增量步的數目也一并在后續表格中列出。

2? 3 仿真分析結果

2? 3? 1 Ω形可展開彎桿屈曲臨界載荷分析結果

Ω形可展開彎桿（R＝500 mm，r＝20 mm，L＝700 mm，l＝32 mm，t＝0? 4 mm，參數彎桿示例）受載荷作用后發生屈曲的變形情況及應力云圖如圖7所示。彎桿在載荷逐漸增大過程中，會不斷變形，彎桿各點位移也隨著載荷的增大逐漸變化。將該關系繪制成位移?載荷曲線，曲線坡度陡變處對應的即是臨界屈曲載荷點。

Ω形可展開彎桿多參數組合下屈曲載荷統計如表3所示。

如果能在設計Ω形彎桿時，可以通過公式估算出臨界屈曲載荷，將對Ω形彎桿的參數設計帶來極大的便利。接下來本文嘗試將典型工況下的仿真數據進行擬合，得到這樣的經驗公式。如果采用非線性回歸需要事先明確模型的解析形式，再用實驗數據來擬合未知參數，但本課題還沒有對Ω形彎桿臨界屈曲載荷的解析形式進行研究，文獻調查的結果也沒有相關記錄，因此目前適合采用響應面方法。作為線性回歸的一種，該方法用多項式模型來描述響應，多項式模型可以有任意多個變量xi（i＝1，…，N）［9］。下面以完全二次函數為例（見式（1））、結合本次實例對響應面模型進行簡要介紹。

式（1）的模型包含橫截項、線性項、二次交互項、平方項。線性項產生超平面，交互項則使超平面發生翹曲，平方項生成使響應面取極值的最簡模型。半剛性桿結構的弦長與半徑呈比例關系L＝1? 4R，l＝1? 6r，因此模型的變量僅取三個：整體半徑R，橫截面半徑r，材料厚度t。將其中兩個變量固定，臨界屈曲力隨另外一個變量變化的響應曲線如圖8所示，紅色虛線代表90%置信區間。可以看出，在徑向R＝700 mm，橫截面r＝27 mm，材料厚度t＝0? 4附近，臨界屈曲力的誤差最小，為±7 N左右。原因是上述尺寸接近各個工況的統計中心。當徑向R小于400 mm或大于800 mm時，響應的置信度降低；橫截面r小于20 mm時，響應的置信度降低；材料厚度t小于0? 3 mm時，響應的置信度降低。

表3 Ω形可展開彎桿多參數組合下屈曲載荷統計Table 3 Critical buckling loads of deployable Ω?shape bars with different combination of parameters

公式擬合后需要檢驗其誤差，可以采用調整多項式的項和階次的方法優化結果。經過試驗后發現，完全三次模型相比完全二次模型誤差更小，但三次以上的模型則改進甚微，有些檢驗點還會增大。完全三次模型下得到的臨界屈曲載荷經驗公式如式（2）所示：

用各個試驗點來檢驗臨界屈曲載荷經驗公式，以仿真值與公式計算值的偏差占仿真值的百分比為縱坐標，來繪制點圖，如圖9所示，可知在表3所用的幾何參數范圍內，相對誤差小于15%。

采用完全三次多項式擬合，固定R變量時，響應面云圖如圖10所示。

彎桿整體半徑為200 mm時，橫截面半徑小，則材料越厚、臨界屈曲載荷越大；橫截面半徑大于50 mm時，改變材料厚度幾乎沒有影響。

彎桿整體半徑為400 mm時，橫截面半徑小，則材料越厚、臨界屈曲載荷越大；橫截面半徑大于40 mm時，改變材料厚度幾乎沒有影響，但橫截面半徑達到50 mm以上時，材料越厚，臨界屈曲載荷反而會下降。

2? 3? 2 Ω形可展開彎桿兩側抗彎剛度差異特點分析結果

結構的剛度是指彈性體抵抗變形的能力。這里沿用屈曲分析中的約束及加載策略測試外側抗彎剛度，剛度定義為k＝F／δ，F為屈曲前的載荷大小，δ為對應的載荷方向位移。再保持端部載荷的大小不變，將其反向加載，用同樣方法計算內側抗彎剛度，最后計算得出兩側抗彎剛度差異特點（抗彎剛度差異特點＝內側抗彎剛度／外側抗彎剛度）。仍然采用MSC．Nastran 2012的sol600求解器進行隱式非線性準靜態分析。載荷以固定步長增量的方式施加，所用工況均統一為10步，在一個增量步內求解不收斂的情況下允許將載荷步自動二分，采用位移收斂判據，其余所有參數采用默認設置。

在同一工況條件下（選取R＝250 mm，r＝10 mm，t＝0? 2 mm典型工況為例），在Ω形可展開彎桿內、外側施加同樣大小的端部載荷的變形情況分別如圖11、圖12所示。

各組工況所用的外載荷及對應的抗彎剛度統計如表4所示。

表4 剛度差異特點仿真結果Table 4 Simulation results of the rigidity difference

由Ω形可展開彎桿剛度差異特點的仿真結果可知，Ω形彎桿的兩側抗彎剛度差異特點≥1? 5，內外側剛度差異明顯。

3 試驗驗證

選取R250彎桿（R＝250 mm，r＝10 mm，t＝0? 2 mm）和R500彎桿（R＝500 mm，r＝20 mm，t＝0? 5 mm）兩種典型參數的Ω形可展開彎桿進行加工制備，并設計試驗加工試驗工裝，對Ω形彎桿的屈曲力和抗彎剛度進行試驗驗證。試驗工裝中把兩個Ω形彎桿中間通過剛性桿連接，在剛性桿中間進行加載，通過高度尺測量變形數據。剛性桿的彈性模量足夠大，忽略它自身的變形，則試驗中兩個Ω形彎桿并聯實測值變形除以2可以認為是單根Ω形彎桿的變形值，可用于與仿真結果對照。

3? 1 彎桿屈曲臨界載荷

分別對R500彎桿和R250彎桿進行正面懸吊砝碼逐步加載測試，直至彎桿出現屈曲，記錄其屈曲承載載荷，加載過程如圖13所示。

R500和R250彎桿的內側屈曲承載能力測試結果如表5所示。

表5 R500和R250屈曲載荷實測結果Table 5 Measured buckling load of R500 and R250

3? 2 兩側抗彎剛度差異特點

分別對R250彎桿和R500彎桿進行正反向加載，測試二者在表4對應載荷下的剛度差異特點，正反向試驗加載和測試如圖14、圖15所示。

R250彎桿和R500彎桿正反向變形試驗結果如表6所示。

表6 剛度差異特點實測結果Table 6 Measured rigidity difference

3? 3 試驗結果分析

通過試驗結果和仿真結果的對比，R500彎桿和R250彎桿實測屈曲載荷，與仿真經驗公式計算值之間的偏差不大于9? 2%；R500彎桿和R250彎桿實測剛度差異特點，與仿真結果之間的偏差不大于9? 5%，可以用于指導Ω形可展開彎桿的快速參數設計。

4 結論

本文提出一種可用于空間碎片清理捕獲機構和拋物面天線機構的Ω形可展開彎桿，并對其內側承載屈曲載荷進行了仿真分析，歸納了經驗公式，還仿真了Ω形彎桿的兩側剛度差異特點。針對具有代表性的R500彎桿和R250彎桿設計生產了測試工裝，并進行了試驗驗證。屈曲載荷和剛度差異特點實測結果與仿真結果偏差分別不大于9? 2%和9? 5%，仿真結果可行度較高。本文的研究內容為Ω形可展開彎桿的多參數快速設計，尤其是為分析不同組合參數Ω形可展開彎桿的極限承載能力（屈曲載荷）、兩側剛度差異特點計算積累了經驗公式和仿真計算方法，可作為Ω形彎桿推廣使用的基礎。

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（責任編輯：康金蘭）

Empirical Formula and Verification Test of Buckling Load in
Deployable Ω?shape Curved Bars

HAN Dawei1，2，ZHU Xiaohai2，JIN Zongxiang1，2，YANG Qing1，2，CAO Yanyan1，2
（1．Shanghai Key Laboratory of Spacecraft and Machine，Shanghai 201109，China；2．Aerospace System Engineering Shanghai，Shanghai 201109，China）

In this paper，the problem of multi?parameter coupling and design difficulty of deployable Ω?shape curved bar was studied．The buckling loads and rigidity difference of the deployable Ω?shape curved bar were simulated and the fitting formulas were obtained．The prototype testing showed that the experimental results and the simulation results matched well．The research lays a good foundation for the rapid design and promotion of deployable Ω?shape curved bars．

deployable Ω?shape curved bar；deployable structure；buckling load；data test

TH123? 1

A

1674?5825（2017）04?0462?07

2017?01?10；

2017?03?02

國家高技術發展計劃（863計劃）（2013AA7043021）

韓大為，男，碩士，工程師，研究方向為空間載荷機構設計。E?mail：handawei021＠163．com