學生——教學的起點和歸宿

單敏

【摘要】乘法分配律包含兩種運算，其形式與交換律、結合律差別較大，學生已經掌握的運算律知識無法順利遷移到乘法分配律的學習，所以本課一直是運算律教學的難點。本文從教材、教師、學生三個角度分析難點形成的原因，結合案例解析突破難點的方法，提出“以生為本”的教學策略——教師需把學生作為教學的起點和歸宿，充分發揮組織引導的作用，幫助學生實現對知識的意義建構，提升數學素養。

【關鍵詞】學生立場；數學素養

《義務教育數學課程標準》指出，教學的內容不僅包括教學的結果，也包括結果的形成過程和其中蘊含的思想方法。筆者認為運算律的教學，不僅要讓學生認識和運用規律，同時還要讓學生經歷獲得運算律的過程，積累探索、思考的經驗；不僅要引導學生關注運算律等式的外在形式，更要重視對其本質意義的理解。乘法分配律是第八冊的教學內容，教學實踐告訴我們，學生學習這部分內容時困難重重。究其原因，是教材例題對知識的呈現還停留在形式感知階段，缺少對算式內在規律的提煉；教師囿于教材編排，多注重對等式形式的感知，是缺少對知識內涵的挖掘；學生第一次遇到包含了兩種運算的運算律，而且等式兩邊數的個數不相等，規律表達式的形式和內涵的復雜性讓學生難以順利掌握。這三方面的原因讓乘法分配律的學習成為整數運算中的難點。

蘇霍姆里斯基說，如果說有什么影響了我們的教學，那應該是學生已經知道了什么，即學生的學習現狀是教學的出發點。鑒于以上的教學現實，教師要再豐實例題的內容，組織更有層次的探究活動，要引導學生發現兩種算法之間的內部聯系，巧妙利用教學媒體從形象到抽象幫助學生逐步理解規律，獲得對知識的意義建構，積累數學研究的經驗。簡言之，教師要以學生現狀為教學依據，而不以文本為起點，要以促進學生發展為教學追求，而非掌握規律形式為目的，最終發展學生的數學素養。

一、找準知識生長點，優化情境創設

教材例題如下：

教材往往呈現的是靜態的知識，無法完整展開知識的發生發展過程。教材中僅針對情境提出了一個問題，列出了一組算式，據此進行的思考和研究難免單薄，學生只能關注算式的外部形式，發現不了兩個算式的內在聯系，所以舉出的例子也只是停留在模仿階段，這是對規律低階水平的認識，如果在未來學習中遇到變式，很容易混淆出錯。所以在實際教學中教師對例題進行了改編，使情境更豐實，以幫助學生對知識進行更細致的加工。

【片段一】

1.出示例題，提出問題：你能用兩種方法解決嗎？（學生獨立嘗試。）

2.反饋：讓學生說說方法，同時結合PPT課件直觀演示兩種方法之間的聯系。

方法一： 方法二：

方法一：（6+4）×20，先算出共有10個20，然后算出10個20 是多少；方法二：6×20+4×20，先算出6個20是多少，再算4個20 是多少，最后算出一共是多少。

3.朗讀等式，體會聯系。師板書等式（6+4）×20=6×20+4×20，讓學生齊讀，體會算式等式兩邊在形式上的聯系。

4.改編例題，再次體驗規律。

學生列出算式，并連寫成等式：（6+4）×8=6×8+4×8然后個別說說兩種算法分別是怎么想的，并且再次用PPT 課件演示兩種方法之間的聯系，最后讀一讀等式。

方法一： 方法二：

5.再次改編例題，并提問：你也能用兩種方法解答嗎？

學生列出算式后，教師追問，這兩個算式得數相等嗎？不計算，怎么判斷得數相等呢？此時，學生已經能清晰熟練地表達兩個算式為什么得數相等。

【思考】建構主義觀點認為，兒童的學習總是和一定的情境相關聯，概念學習的過程不能逾越表象的建立階段，而直接實現對概念本質的理解。乘法分配律在學生以往的學習和現實生活中有非常豐富的原型，只是學生在學習這個規律之前，對它的認識還停留在無意識階段。現實情境的作用如果僅用于提供一個供研究的算式，則沒有把數學知識與學生已有的學習經驗相聯結。這里教師通過組織學生經歷三次解決同一情境、相同模型問題的過程，熟悉兩種算式的形式關聯，給探索規律以豐富的經驗支撐。同時教師發揮教學媒體的作用，直觀演示兩個算法之間的聯系，并且讓學生說說“不計算怎么判斷兩個算式相等”，幫助學生從形象思維向抽象思維過渡，逐步脫離情境掌握算式之間本質關聯，實現意義理解。對例題的精加工使學生對算式結構形成清晰的表象，從而為下面進行的比較、分析、概括、抽象等數學活動奠定基礎。

二、體驗規律普遍性，豐富探索層次

乘法分配律是客觀存在于數學知識系統中的運算規律，但是其學習對象是兒童，所以對它的認識不僅要遵循數學的邏輯規律，也要遵循兒童的認知發展特點。

【片段二】

1.教師指示片段一中得到的三組等式，提問：（1）左邊的算式有什么相同之處？（2）右邊的算式有什么相同之處？（3）左邊和右邊的算式有什么聯系？讓學生先在小組里交流想法，然后全班交流。

生1：左邊都是先算兩個數的和，再乘一個數，右邊是先算出兩個乘法的積，再相加。（教師相機用不同筆色描出運算符號）

生2：左邊算式有3個數，右邊卻有4個數，有一個數，在右邊出現兩次。（教師相機讓學生舉例說一說）

生3：右邊的乘法是把用原來括號里的數乘括號外面的數。（讓學生看板書舉例說一說）

……

2.教師提出探究要求：像板書上這種形式的等式，你還能再寫幾個嗎？（學生獨立嘗試）

反饋學生算式，教師板書。

（10+20）×8=10×8+20×8

（7+5）×40=7×40+5×40

……

教師追問：你們計算這些算式的得數了嗎？（學生：沒有！）

再追問：沒有計算，你們怎么確定能用等號連接成一個等式呢？你們能像例題中的算式一樣解釋一下為什么左右兩邊相等嗎？

生：左邊有（10+20）等于30個8，右邊10個8，加上20個8，也是30個8，所以相等。

……

【思考】兒童對數學的學習是從情境開始的，但最終要走向“去情境化”，實現對數學的抽象認識。在這個片段中，學生經歷了兩次重要的數學抽象，第一次是從板書算式中發現等式特征，這是對等式形式的有意識認知，當學生有所發現時，教師沒有急于指導學生提煉規律的表達方式，而是讓學生進行第二次數學思考——根據算式特征再寫幾組這樣的等式，并引導學生模仿例題的模型，用乘法的意義解釋等式成立的原因，學生能順利解釋其原因。以往在教學中我們發現學生對表達等式為什么成立顯得困難，原因就是教學中忽視了規律模型在現實生活中的普遍性，割裂了二者之間的聯系。而這一課中學生第一次觀察的這些算式都來自具體情境，有直接經驗做思考基礎，有表象做思維支撐，同時這兩次數學思考又都脫離了原有情境而進行，使學生經歷了“去情境化”的過程，從而跳出了原型，逐步實現數學化。學生經歷了從個別到一般，從數學的外在現象到內在本質的思維過程，符合學生仍以形象思維為主、抽象思維初步發展的規律，此時乘法分配律的揭示與提煉已是呼之欲出了。

三、感悟數學方法，規范提煉表達

【片段三】

教師指著黑板上所板書的所有算式提問：像這樣的算式你寫得完嗎？（學生：寫不完！）

師：那這樣的算式你能用一個算式或者一句話全部總結出來嗎？先自己嘗試說一說，寫一寫，再全班交流。

反饋：

生1：我發現算式兩邊是相等的。

生2：一個數加另一個數，再乘一個數等于前面的數乘這個數，后面的數也乘這個數，再加起來。

生3：（一個數+一個數）×一個數=一個數×一個數+一個數乘一個數。

生4：（甲數+乙數）×丙數=甲數×丙數+乙數×丙數。

生5：（a+b）×c=a×c+b×c。

……

【思考】乘法分配律是一個運算規律，規律的學習必定要經過“發現—歸納”的過程。小學數學中對規律的學習大多是建立在不完全歸納的基礎上的。學生的能力差異客觀存在，不同學生對知識的感悟、歸納的水平、程度各不相同。以上片段中，對于所探究的知識的提煉表達，也不盡相同。雖然不同的學生歸納的形式不同，但是都表現出了很大的創造性。對于兒童來說，理解他人的想法，也可以完善和修正自己的認識。教師在反饋時有意按照從淺顯到深刻，從片面到全面的順序進行展示，讓全體學生經歷從直白表達到抽象表達的提煉過程，如此每個層次的學生都有收獲和發展。

四、反思學習經驗，提升數學素養

【片段四】

揭示乘法分配律后，教師引導學生進行兩次回顧反思。

1.回故整個研究過程：解決實際問題——發現算式特點——仿照自己列式——總結得出規律。

回想一下我們的研究過程：

解決實際問題，得到等式

觀察等式，發現特點

自己列 式

概括等式，歸納運算律

（a+b）×c=a×c+b×c

2.展示乘法分配律在兩位數乘兩位數、長方形的周長等學習中的使用。

【思考】數學活動是學生積累數學學習經驗的重要載體，數學活動經驗的積累是貫穿于數學學習的整個過程，但是具有一定的層級性：是在做的過程中習得和積累，并在反思的過程中得以提升的。通過回顧反思的過程可以讓學生清晰地看到知識從哪里來，怎么來的，又到哪里去。反思活動下，使學生的思維由原來對于相關規律的不自覺認識轉向更為自覺的狀態，使原有的感性經驗改造和提煉，獲得對數學知識的理性理解，實現從低層次向高層次的生長。

縱觀本課的教學實踐，教師從學生立場理解教學難點，突破了傳統的運算律教學過度依賴練習、以知識為本位、教師為中心的課堂結構，以學生的現實水平為起點，在情境創設和規律探究的環節用了較濃重的筆墨；以促進學生認知和思維發展為教學的歸宿，引導學生透過乘法分配律的數學現象追尋本質意義。作為學習的主體，學生在教師引導下，完整地經歷了從直觀思維到表象思維，再到抽象思維的數學建模過程，實現對知識的意義建構。

《義務教育數學課程標準》（2011版）指出：“教學是教和學的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者、合作者。”教師對教學目標、重難點的把握、教學內容的呈現方式，課堂教學環節的設計和組織等都影響著學生的學習效果。教師對知識解剖的深度影響著學生思考的深度。要真正實現“以學生為中心”的教學，教師還要進一步摒棄以本為本、教師中心的傳統觀念，不僅在思想上，更要在行動上確立學生的主體地位，教師不越位，不缺位，以學生為教學的起點和歸宿，才能真正提高課堂學習品質，提升學生數學素養。