學生——教學的起點和歸宿

單敏

【摘要】乘法分配律包含兩種運算，其形式與交換律、結合律差別較大，學生已經(jīng)掌握的運算律知識無法順利遷移到乘法分配律的學習，所以本課一直是運算律教學的難點。本文從教材、教師、學生三個角度分析難點形成的原因，結合案例解析突破難點的方法，提出“以生為本”的教學策略——教師需把學生作為教學的起點和歸宿，充分發(fā)揮組織引導的作用，幫助學生實現(xiàn)對知識的意義建構，提升數(shù)學素養(yǎng)。

【關鍵詞】學生立場；數(shù)學素養(yǎng)

《義務教育數(shù)學課程標準》指出，教學的內(nèi)容不僅包括教學的結果，也包括結果的形成過程和其中蘊含的思想方法。筆者認為運算律的教學，不僅要讓學生認識和運用規(guī)律，同時還要讓學生經(jīng)歷獲得運算律的過程，積累探索、思考的經(jīng)驗；不僅要引導學生關注運算律等式的外在形式，更要重視對其本質(zhì)意義的理解。乘法分配律是第八冊的教學內(nèi)容，教學實踐告訴我們，學生學習這部分內(nèi)容時困難重重。究其原因，是教材例題對知識的呈現(xiàn)還停留在形式感知階段，缺少對算式內(nèi)在規(guī)律的提煉；教師囿于教材編排，多注重對等式形式的感知，是缺少對知識內(nèi)涵的挖掘；學生第一次遇到包含了兩種運算的運算律，而且等式兩邊數(shù)的個數(shù)不相等，規(guī)律表達式的形式和內(nèi)涵的復雜性讓學生難以順利掌握。這三方面的原因讓乘法分配律的學習成為整數(shù)運算中的難點。

蘇霍姆里斯基說，如果說有什么影響了我們的教學，那應該是學生已經(jīng)知道了什么，即學生的學習現(xiàn)狀是教學的出發(fā)點。鑒于以上的教學現(xiàn)實，教師要再豐實例題的內(nèi)容，組織更有層次的探究活動，要引導學生發(fā)現(xiàn)兩種算法之間的內(nèi)部聯(lián)系，巧妙利用教學媒體從形象到抽象幫助學生逐步理解規(guī)律，獲得對知識的意義建構，積累數(shù)學研究的經(jīng)驗。簡言之，教師要以學生現(xiàn)狀為教學依據(jù)，而不以文本為起點，要以促進學生發(fā)展為教學追求，而非掌握規(guī)律形式為目的，最終發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)。

一、找準知識生長點，優(yōu)化情境創(chuàng)設

教材例題如下：

教材往往呈現(xiàn)的是靜態(tài)的知識，無法完整展開知識的發(fā)生發(fā)展過程。教材中僅針對情境提出了一個問題，列出了一組算式，據(jù)此進行的思考和研究難免單薄，學生只能關注算式的外部形式，發(fā)現(xiàn)不了兩個算式的內(nèi)在聯(lián)系，所以舉出的例子也只是停留在模仿階段，這是對規(guī)律低階水平的認識，如果在未來學習中遇到變式，很容易混淆出錯。所以在實際教學中教師對例題進行了改編，使情境更豐實，以幫助學生對知識進行更細致的加工。

【片段一】

1.出示例題，提出問題：你能用兩種方法解決嗎？（學生獨立嘗試。）

2.反饋：讓學生說說方法，同時結合PPT課件直觀演示兩種方法之間的聯(lián)系。

方法一： 方法二：

方法一：（6+4）×20，先算出共有10個20，然后算出10個20 是多少；方法二：6×20+4×20，先算出6個20是多少，再算4個20 是多少，最后算出一共是多少。

3.朗讀等式，體會聯(lián)系。師板書等式（6+4）×20=6×20+4×20，讓學生齊讀，體會算式等式兩邊在形式上的聯(lián)系。

4.改編例題，再次體驗規(guī)律。

學生列出算式，并連寫成等式：（6+4）×8=6×8+4×8然后個別說說兩種算法分別是怎么想的，并且再次用PPT 課件演示兩種方法之間的聯(lián)系，最后讀一讀等式。

方法一： 方法二：

5.再次改編例題，并提問：你也能用兩種方法解答嗎？

學生列出算式后，教師追問，這兩個算式得數(shù)相等嗎？不計算，怎么判斷得數(shù)相等呢？此時，學生已經(jīng)能清晰熟練地表達兩個算式為什么得數(shù)相等。

【思考】建構主義觀點認為，兒童的學習總是和一定的情境相關聯(lián)，概念學習的過程不能逾越表象的建立階段，而直接實現(xiàn)對概念本質(zhì)的理解。乘法分配律在學生以往的學習和現(xiàn)實生活中有非常豐富的原型，只是學生在學習這個規(guī)律之前，對它的認識還停留在無意識階段。現(xiàn)實情境的作用如果僅用于提供一個供研究的算式，則沒有把數(shù)學知識與學生已有的學習經(jīng)驗相聯(lián)結。這里教師通過組織學生經(jīng)歷三次解決同一情境、相同模型問題的過程，熟悉兩種算式的形式關聯(lián)，給探索規(guī)律以豐富的經(jīng)驗支撐。同時教師發(fā)揮教學媒體的作用，直觀演示兩個算法之間的聯(lián)系，并且讓學生說說“不計算怎么判斷兩個算式相等”，幫助學生從形象思維向抽象思維過渡，逐步脫離情境掌握算式之間本質(zhì)關聯(lián)，實現(xiàn)意義理解。對例題的精加工使學生對算式結構形成清晰的表象，從而為下面進行的比較、分析、概括、抽象等數(shù)學活動奠定基礎。

二、體驗規(guī)律普遍性，豐富探索層次

乘法分配律是客觀存在于數(shù)學知識系統(tǒng)中的運算規(guī)律，但是其學習對象是兒童，所以對它的認識不僅要遵循數(shù)學的邏輯規(guī)律，也要遵循兒童的認知發(fā)展特點。

【片段二】

1.教師指示片段一中得到的三組等式，提問：（1）左邊的算式有什么相同之處？（2）右邊的算式有什么相同之處？（3）左邊和右邊的算式有什么聯(lián)系？讓學生先在小組里交流想法，然后全班交流。

生1：左邊都是先算兩個數(shù)的和，再乘一個數(shù)，右邊是先算出兩個乘法的積，再相加。（教師相機用不同筆色描出運算符號）

生2：左邊算式有3個數(shù)，右邊卻有4個數(shù)，有一個數(shù)，在右邊出現(xiàn)兩次。（教師相機讓學生舉例說一說）

生3：右邊的乘法是把用原來括號里的數(shù)乘括號外面的數(shù)。（讓學生看板書舉例說一說）

……

2.教師提出探究要求：像板書上這種形式的等式，你還能再寫幾個嗎？（學生獨立嘗試）

反饋學生算式，教師板書。

（10+20）×8=10×8+20×8

（7+5）×40=7×40+5×40

……

教師追問：你們計算這些算式的得數(shù)了嗎？（學生：沒有！）

再追問：沒有計算，你們怎么確定能用等號連接成一個等式呢？你們能像例題中的算式一樣解釋一下為什么左右兩邊相等嗎？

生：左邊有（10+20）等于30個8，右邊10個8，加上20個8，也是30個8，所以相等。

……

【思考】兒童對數(shù)學的學習是從情境開始的，但最終要走向“去情境化”，實現(xiàn)對數(shù)學的抽象認識。在這個片段中，學生經(jīng)歷了兩次重要的數(shù)學抽象，第一次是從板書算式中發(fā)現(xiàn)等式特征，這是對等式形式的有意識認知，當學生有所發(fā)現(xiàn)時，教師沒有急于指導學生提煉規(guī)律的表達方式，而是讓學生進行第二次數(shù)學思考——根據(jù)算式特征再寫幾組這樣的等式，并引導學生模仿例題的模型，用乘法的意義解釋等式成立的原因，學生能順利解釋其原因。以往在教學中我們發(fā)現(xiàn)學生對表達等式為什么成立顯得困難，原因就是教學中忽視了規(guī)律模型在現(xiàn)實生活中的普遍性，割裂了二者之間的聯(lián)系。而這一課中學生第一次觀察的這些算式都來自具體情境，有直接經(jīng)驗做思考基礎，有表象做思維支撐，同時這兩次數(shù)學思考又都脫離了原有情境而進行，使學生經(jīng)歷了“去情境化”的過程，從而跳出了原型，逐步實現(xiàn)數(shù)學化。學生經(jīng)歷了從個別到一般，從數(shù)學的外在現(xiàn)象到內(nèi)在本質(zhì)的思維過程，符合學生仍以形象思維為主、抽象思維初步發(fā)展的規(guī)律，此時乘法分配律的揭示與提煉已是呼之欲出了。

三、感悟數(shù)學方法，規(guī)范提煉表達

【片段三】

教師指著黑板上所板書的所有算式提問：像這樣的算式你寫得完嗎？（學生：寫不完！）

師：那這樣的算式你能用一個算式或者一句話全部總結出來嗎？先自己嘗試說一說，寫一寫，再全班交流。

反饋：

生1：我發(fā)現(xiàn)算式兩邊是相等的。

生2：一個數(shù)加另一個數(shù)，再乘一個數(shù)等于前面的數(shù)乘這個數(shù)，后面的數(shù)也乘這個數(shù)，再加起來。

生3：（一個數(shù)+一個數(shù)）×一個數(shù)=一個數(shù)×一個數(shù)+一個數(shù)乘一個數(shù)。

生4：（甲數(shù)+乙數(shù)）×丙數(shù)=甲數(shù)×丙數(shù)+乙數(shù)×丙數(shù)。

生5：（a+b）×c=a×c+b×c。

……

【思考】乘法分配律是一個運算規(guī)律，規(guī)律的學習必定要經(jīng)過“發(fā)現(xiàn)—歸納”的過程。小學數(shù)學中對規(guī)律的學習大多是建立在不完全歸納的基礎上的。學生的能力差異客觀存在，不同學生對知識的感悟、歸納的水平、程度各不相同。以上片段中，對于所探究的知識的提煉表達，也不盡相同。雖然不同的學生歸納的形式不同，但是都表現(xiàn)出了很大的創(chuàng)造性。對于兒童來說，理解他人的想法，也可以完善和修正自己的認識。教師在反饋時有意按照從淺顯到深刻，從片面到全面的順序進行展示，讓全體學生經(jīng)歷從直白表達到抽象表達的提煉過程，如此每個層次的學生都有收獲和發(fā)展。

四、反思學習經(jīng)驗，提升數(shù)學素養(yǎng)

【片段四】

揭示乘法分配律后，教師引導學生進行兩次回顧反思。

1.回故整個研究過程：解決實際問題——發(fā)現(xiàn)算式特點——仿照自己列式——總結得出規(guī)律。

回想一下我們的研究過程：

解決實際問題，得到等式

觀察等式，發(fā)現(xiàn)特點

自己列 式

概括等式，歸納運算律

（a+b）×c=a×c+b×c

2.展示乘法分配律在兩位數(shù)乘兩位數(shù)、長方形的周長等學習中的使用。

【思考】數(shù)學活動是學生積累數(shù)學學習經(jīng)驗的重要載體，數(shù)學活動經(jīng)驗的積累是貫穿于數(shù)學學習的整個過程，但是具有一定的層級性：是在做的過程中習得和積累，并在反思的過程中得以提升的。通過回顧反思的過程可以讓學生清晰地看到知識從哪里來，怎么來的，又到哪里去。反思活動下，使學生的思維由原來對于相關規(guī)律的不自覺認識轉向更為自覺的狀態(tài)，使原有的感性經(jīng)驗改造和提煉，獲得對數(shù)學知識的理性理解，實現(xiàn)從低層次向高層次的生長。

縱觀本課的教學實踐，教師從學生立場理解教學難點，突破了傳統(tǒng)的運算律教學過度依賴練習、以知識為本位、教師為中心的課堂結構，以學生的現(xiàn)實水平為起點，在情境創(chuàng)設和規(guī)律探究的環(huán)節(jié)用了較濃重的筆墨；以促進學生認知和思維發(fā)展為教學的歸宿，引導學生透過乘法分配律的數(shù)學現(xiàn)象追尋本質(zhì)意義。作為學習的主體，學生在教師引導下，完整地經(jīng)歷了從直觀思維到表象思維，再到抽象思維的數(shù)學建模過程，實現(xiàn)對知識的意義建構。

《義務教育數(shù)學課程標準》（2011版）指出：“教學是教和學的統(tǒng)一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者、合作者。”教師對教學目標、重難點的把握、教學內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，課堂教學環(huán)節(jié)的設計和組織等都影響著學生的學習效果。教師對知識解剖的深度影響著學生思考的深度。要真正實現(xiàn)“以學生為中心”的教學，教師還要進一步摒棄以本為本、教師中心的傳統(tǒng)觀念，不僅在思想上，更要在行動上確立學生的主體地位，教師不越位，不缺位，以學生為教學的起點和歸宿，才能真正提高課堂學習品質(zhì)，提升學生數(shù)學素養(yǎng)。