引入切線，柳暗花明
——一道競賽試題引發的思考

安徽省樅陽縣宏實中學 (246700)

王玉寶 江保兵

引入切線，柳暗花明
——一道競賽試題引發的思考

安徽省樅陽縣宏實中學 (246700)

王玉寶 江保兵

1.試題及其解答分析

例1 (2016年全國高中數學聯賽福建預賽第12題)已知函數f(x)=ln(ax+b)+x2(a≠0).

(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=x，求a,b的值；

(2)若f(x)≤x2+x恒成立，求ab的最大值.

2.引入切線，柳暗花明

在代數式ln(ax+b)≤x中，包含著曲線和直線的基本關系：直線在曲線的左上方.結合幾何畫板，不難看出當直線與曲線相切時，ab取最大值，如圖1所示.按照這種思路，很快得到本題的第二種解法：

圖1 圖2

3.試題的引申：切線法的初步應用

我們可以看到，借助于函數切線，在解題時給我們以形象生動的直觀啟示，從而使我們的解題方法顯得簡潔明快.我們先來看兩道類似的數學試題.

(1)求f(x)的解析式及單調區間；

例3 (2013年高考新課標Ⅱ理21)已知函數f(x)=ex-ln(x+m).

(1)設x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調區間；

(2)當m≤2時，證明f(x)>0.

圖3

(2)當m≤2時，證明f(x)>0?ex≥ln(x+2).結合幾何畫板，畫出y=ex與y=ln(x+2)的圖像.如圖3所示.我們發現，直線y=x+1是y=ex與y=ln(x+2)公共切線，顯然有ex≥x+1，x+1≥ln(x+2)，(這個證明留給讀者).即?m≤2,ex≥ln(x+2)?f(x)>0.

4.切線法的進一步應用

仔細思考上面幾例的證明方法，可以發現，在解函數類不等式問題時，借助于函數的切線，可以使解題過程顯得干凈利索.那么針對不同的函數，對應的切線又有什么性質呢？

①若函數y=f(x)在定義域I上連續且?x0∈I,f″(x0)>0，則有f(x)≥f′(x0)(x-x0)+f(x0).

②若函數y=f(x)在定義域I上連續且?x0∈I,f″(x0)<0，則有f(x)≤f′(x0)(x-x0)+f(x0).

我們只證明①，②的證明留給讀者.

證明：構造F(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0)-f(x0)，求導F′(x)=f′(x)-f′(x0)，F″(x)=f″(x)>0，F′(x)單調遞增，又F′(x0)=0，所以F(x)≥(F(x))min=F(x0)=0，即f(x)≥f′(x0)(x-x0)+f(x0).

我們再來看一個利用切線性質證題的經典范例:

(1)求y=g(x)的解析式；

(2)證明：當x>0時，恒有f(x)≥g(x)；

在解函數類綜合性大題時，在涉及不等關系時，如果我們能利用好切線，不僅能達到以簡馭繁、簡縮思維功效，而且讓人對數學問題有一個直觀的理解，更好地理解命題人的命題意圖、洞察試題的結構，從而提高解題的效率.