函數(shù)零點(diǎn)的“尋點(diǎn)”方式探究

江蘇省海門中學(xué) (226100)

何振華

函數(shù)零點(diǎn)的“尋點(diǎn)”方式探究

江蘇省海門中學(xué) (226100)

何振華

函數(shù)的零點(diǎn)可以從“數(shù)”“形”兩個(gè)角度理解，是溝通函數(shù)與方程、不等式的橋梁，因此函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題一直是高考考察的重點(diǎn)和熱點(diǎn).對(duì)于零點(diǎn)問(wèn)題，我們往往運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)的存在性定理(若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn))處理，這就需要我們找到一正一負(fù)的函數(shù)值，也是問(wèn)題的難點(diǎn)，筆者欲和大家一起探究函數(shù)零點(diǎn)的尋“點(diǎn)”方式，以拋磚引玉.

方式一 局部探究，從小處切入，確定“點(diǎn)”

在某些條件下，如果函數(shù)式的某些部分的正負(fù)可以確定，這就可以通過(guò)局部探究，將原函數(shù)式變成一些非負(fù)(正)函數(shù)式的組合，從而找出符合條件的“點(diǎn)”.

例1 (2016江蘇第19題改編)已知函數(shù)f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1)，若01，函數(shù)g(x)=f(x)-2有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求ab的值.

①若g(x0)<0，xaloga2=2，bx>0，則g(x)>0；x>logb2時(shí)，ax>0，bx>blogb2=2，則g(x)>0；因此x10，因此g(x)在(x1,x0)有零點(diǎn)，x2>logb2且x2>x0時(shí)，g(x2)>0，因此g(x)在(x0,x2)有零點(diǎn)，則g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，與條件矛盾，舍；

局部探究，從小處切入，減少干擾，可以快速找到符合條件的“點(diǎn)”.

方式二 明確方向，合理取值驗(yàn)證，確定“點(diǎn)”

函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征(對(duì)數(shù)式、指數(shù)式等)往往使取值變得有跡可尋，可以通過(guò)不斷檢驗(yàn)，找到符合題意的“點(diǎn)”.

x(0,1a)1a(1a,+∞)f'(x)+0-f(x)遞增極大值遞減

依據(jù)結(jié)構(gòu)特征，探明方向，取值驗(yàn)證，可以減少取“點(diǎn)”的盲目性，提升取“點(diǎn)”的精準(zhǔn)度.

方式三 巧用不等式，適度放縮，確定“點(diǎn)”

利用一些常見(jiàn)的不等式(ex≥x+1,lnx≤x-1,...)，適度放縮，化超越式為常見(jiàn)的初等函數(shù)處理，從而快速找出符合條件的“點(diǎn)”.

x(0,1)1(1,+∞)h'(x)-0+h(x)遞減極小值遞增

利用不等式，適度放縮，挖掘本質(zhì)，有助于我們找對(duì)“點(diǎn)”，探求到無(wú)數(shù)符合條件的“點(diǎn)”.

總之，依據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過(guò)局部探究、合理取值驗(yàn)證、利用不等式適度放縮的方式，找到符合題意的“點(diǎn)”，可以在一定程度上解決函數(shù)零點(diǎn)的難“尋點(diǎn)”的問(wèn)題.