高考函數單調性試題蘊涵的數學思想*

四川內江師范學院數學與信息科學學院 (641112)

李秀萍 趙思林 余小芬

高考函數單調性試題蘊涵的數學思想*

四川內江師范學院數學與信息科學學院 (641112)

李秀萍 趙思林 余小芬

“函數是數學的靈魂”(克萊因語)．[1]函數單調性是每年高考都青睞的考點，它作為函數的一個重要性質，反映了函數增減變化的規律，是解決方程、不等式、最值、含有實際背景的最優化問題的工具，是進一步學習高等數學的重要基礎．

邵光華教授認為：“從數學教育方面來講，數學思想應被理解為更高層次的理性認識，那就是對于數學內容和方法的本質認識，是對數學內容和方法進一步的抽象和概括．”[2]數學思想是對數學對象、數學概念和數學結構以及數學方法的本質性概括性的認識．[3]數學思想是在解決某些數學問題時通過概括而獲得的認識成果，在認識活動中被反復運用并證明其具有指導性、適用性和正確性，在數學的實踐活動中起著重要作用．數學知識和方法是數學思想的主要載體，正如英國數學家哈代說過“沒有脫離數學知識的數學思想，也沒有拋棄數學思想的數學知識．”[4]數學思想孕育在概念的產生、抽象、定義、應用等過程之中，也常常孕育在命題的發現、探索、證明、應用、推廣等過程之中，還孕育在數學問題的分析、探究、解決、反思、總結等過程之中．

函數單調性作為函數的核心知識，飽含數學思想，如數形結合思想、分類討論思想、不等式同解思想、方程同解思想、函數思想、最優化思想等．高考數學試題重視以數學思想方法立意，而函數單調性是考查數學思想方法的有效載體．基于此，本文對近年來高考中函數單調性試題所蘊涵的數學思想方法作了分析，供教學和復習備考時參考．

一、數形結合思想

數形結合是將“數”和“形”統一起來，將抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系聯系起來，通過“以形助數”或“以數輔形”，探究數學問題的本質，化“復雜”為“簡單”，化“抽象”為“直觀”，從而達到優化解題的目的．運用數形結合思想方法解題，思路直觀、簡單易懂．數形結合思想作為數學解題的一條基本策略，受到著名數學家華羅庚先生的特別關注，曾賦詩贊頌：“數缺形時少直覺，形少數時難入微．數形結合百般好，隔離分家萬事非．”

(1)若a=0，則f(x)的最大值為 ；

(2)若f(x)無最大值，則實數a的取值范圍是 ．

圖1

在平面直角坐標系中畫出函數y=x3-3x與函數y=-2x的圖像,如圖1．

由圖像易知，當x=-1時，f(x)取得最大值，且

f(x)max=f(-1)=2.

當x≤a時，令f′(x)=0，解得x=±1．故當x>1或x<-1時，f′(x)>0，函數為增函數；當-1

評注:本題涉及分段函數的應用，函數的最值，重點考查同學們函數單調性的數形結合的思想．(1)問已知a=0時，觀察函數圖像的增減性易得當x=-1時，f(x)有最大值．(2)建立在(1)的基礎之上，要使f(x)無最大值的關鍵在于y=x3-3x取不到x=-1這個點的函數值，從而得到關于a的兩個不等式組，解不等式取其交集可得．此題也可用二次函數在指定區間上的取值條件列式求解.

二、分類討論思想

分類討論是在研究有關數學問題時，根據問題的不同特性，按照一定的標準把問題分為不同的情形，再將各種不同的情形逐一進行討論(探討)，從而得到問題的解決，分類討論思想體現了“化整為零，積零為整”的解題策略．

例2 (2015山東理)已知函數f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定義域和值域都是[-1,0]，則a+b= ．

評注:本題以指數函數為載體考查了單調性的分類討論思想．本題對a分成a>1和0

三、不等式同解思想

設f(x)在定義域內是增函數，則由x1

設f(x)在定義域內是減函數，則由x1f(x2)；由f(x1)>f(x2)可推出x1

四、函數思想

在解三角形、立體幾何、解析幾何等實際數學問題中運用構造函數思想，一方面也用運動變化、聯系制約的觀點看待函數，另一方面是對函數的性質如單調性、奇偶性、有界性、周期性、凹凸性等的運用．

(1)求∠B的大小；

五、最優化思想

圖2

最優化思想的落實常常需要研究函數的最大(小)值，而利用函數單調性知識是求解函數最大(小)值的通性通法．

例5 (2015年四川卷理)如圖2，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E，F分別為AB，BC的中點．設異面直線EM與AF所成的角為θ，則cosθ的最大值為 ．

函數單調性的學習，有利于學生熟悉高中數學的學習特點、變化規律，培養其在圖形與符號語言之間的相互轉化能力，[4]養成從局部與整體的角度來思考問題．通過分析函數單調性所蘊涵的數學思想，包括數形結合思想、分類討論思想、不等式(或方程)的同解思想、函數思想等，可以讓學生體會數學思想，感悟數學思想，應用數學思想．

[1]卡茨．數學史通論[M]．第2版．李文林,鄒建成，胥鳴偉，譯．北京:高等教育出版社，2004:252，442．

[2]邵光華．作為教育任務的數學思想與方法[M]．上海：上海教育出版社，2009：138-139．

[3]哈代．一個數學家的辯白[M]．南京：江蘇教育出版社，1996：77．

[4]涂榮豹，王光明，寧連華．新編數學教學論[M]．上海：華東師范大學出版社，2006：144．

[5]黎棟材,龍正武,王尚志．站在系統的高度，整體把握函數單調性教學[J]．數學通報，2015，(12)：11．

*項目來源：教育部“本科教學工程”四川省地方屬高校本科專業綜合改革試點項目——內江師范學院數學與應用數學“專業綜合改革試點”項目(ZG0464)；四川省“西部卓越中學數學教師協同培養計劃”項目(ZY16001)，內江師范學院2016年度校級學科建設特色培育項目(T160009，T160010，T160011)．趙思林系本文通訊作者．