二次曲線系視角下對(duì)2017年全國Ⅰ卷理數(shù)20題的反思

江西省南昌市第三中學(xué) (330049)

張金生

二次曲線系視角下對(duì)2017年全國Ⅰ卷理數(shù)20題的反思

江西省南昌市第三中學(xué) (330049)

張金生

2017年高考新課標(biāo)全國Ⅰ卷理數(shù)的設(shè)計(jì)遵循《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和《高考說明》的要求和闡述，緊密聯(lián)系高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，滲透學(xué)科核心素養(yǎng).

本文從二次曲線系的角度去研究該卷20題，請(qǐng)看題：

常規(guī)解法略，為巧解該題，我們先看關(guān)于二次曲線系的相關(guān)概念：

二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示的曲線叫做二次曲線，它包括圓、橢圓、雙曲線、拋物線以及兩條直線(退化的二次曲線).

二次方程(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0表示兩條直線，但這個(gè)方程展開后，是一個(gè)二次式，因此我們說這是退化的二次曲線.

已知兩條二次曲線Γ1:f(x,y)=0與Γ2:g(x,y)=0相交，且有四個(gè)交點(diǎn)，則方程λf(x,y)+μg(x,y)=0(λ,μ為參數(shù))表示經(jīng)過其四個(gè)交點(diǎn)的二次曲線系方程.若能確定所求的曲線不是Γ1:f(x,y)=0或Γ2:g(x,y)=0，我們可以只設(shè)一個(gè)參數(shù).

當(dāng)我們已知曲線h(x,y)=0，要求某些未知數(shù)時(shí)，我們可以利用λf(x,y)+μg(x,y)=h(x,y)，兩邊對(duì)比系數(shù)即可.

下面利用該知識(shí)解決筆者原創(chuàng)的南昌市2017年一模試題20題：

圖1

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)若過點(diǎn)B且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，已知直線A1M與A2N相交于點(diǎn)G，試判斷點(diǎn)G是否在定直線上？若是，請(qǐng)求出定直線的方程；若不是，請(qǐng)說明理由．

(2)常規(guī)方法計(jì)算量較大，此處略.

設(shè)MN:y=k(x-4)，易知A1M:x+2=t1y，A2N:x-2=t2y，A1A2:y=0，

圖2

如圖2，若一條直線與一條二次曲線交于P,Q兩點(diǎn)，那么對(duì)于這兩條直線OP·OQ，怎么來刻劃呢？設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m①，曲線方程為Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0②.

注意到點(diǎn)P,Q滿足③式，又③為二次齊次式，所以它一定能分解成(y-k1x)(y-k2x)=0，這就是過原點(diǎn)的兩直線OP·OQ，也可以將兩邊同除x2，視其為關(guān)于的二次方程，解出兩根，即為k1,k2，這即為OP,OQ的斜率．

由上可得2017年高考解析幾何20題的巧解：

我們?cè)賮砩钔谠擃}背景性質(zhì)：

這兩條性質(zhì)讀者不妨用前面二次曲線系的方法去簡潔證明.

關(guān)于橢圓類似性質(zhì)的探究，筆者在《對(duì)一次試卷講評(píng)課的一點(diǎn)感悟》(見本刊2016年第4期)一文中有以下兩個(gè)結(jié)論：

2017高考全國Ⅰ卷解析幾何解答題考查了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，重點(diǎn)考查思維品質(zhì)，減少計(jì)算量.數(shù)學(xué)離不開計(jì)算，核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題.主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果.重在運(yùn)算法則的掌握、運(yùn)算方向的探究、方法的選擇，也就是“多一點(diǎn)想、少一點(diǎn)算”.基于核心素養(yǎng)視角的教育教學(xué)將是今后相當(dāng)長時(shí)間段內(nèi)的熱點(diǎn).

本文從二次曲線系視角下探索試題的多種解法，挖掘試題的本質(zhì)屬性，在提高數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)方面作出一點(diǎn)探索，不到之處敬請(qǐng)批評(píng)指正.