例析充要條件在數(shù)學(xué)解題中的導(dǎo)向性

江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) (215000)

董逸婷

例析充要條件在數(shù)學(xué)解題中的導(dǎo)向性

江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) (215000)

董逸婷

高中數(shù)學(xué)經(jīng)歷了多次課程改革，充要條件的內(nèi)容都做了保留甚至是強(qiáng)化.2003年《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》中“常用邏輯用語(yǔ)”作為單獨(dú)一章被列入選修1-1、選修1-2中.充要條件是一種邏輯思維方法.但是，反觀我們的教學(xué)，一般都詳細(xì)講解了充分條件、必要條件的含義及判斷方法，而弱化了充要條件在解題時(shí)的向?qū)ё饔?本文筆者從運(yùn)用充要條件優(yōu)化解題策略方面談?wù)劥譁\的看法，以期拋磚引玉.

利用結(jié)論成立的必要條件優(yōu)化解題過(guò)程

例1 設(shè)0(ax)2的解集中的整數(shù)恰好有三個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

含參整數(shù)解問(wèn)題一直是不等式的一個(gè)難點(diǎn).學(xué)生處理時(shí)往往不能準(zhǔn)確的進(jìn)行條件轉(zhuǎn)化.如本例的充要條件也很難一步到位.遇到此類問(wèn)題我們可以先把條件弱化，求出問(wèn)題弱化后的參數(shù)a的取值范圍，即原問(wèn)題的一個(gè)必要條件，再在這個(gè)必要條件的基礎(chǔ)上尋找突破口，進(jìn)一步探究原問(wèn)題的充要條件，從而求出參數(shù)的取值范圍.

首先，將不等式(x-b)2>(ax)2先轉(zhuǎn)化為(a2-1)x2+2bx-b2<0(*)

因?yàn)?-1.此條件為題目的第一個(gè)必要條件，利用該條件，可以局限住參數(shù)a的取值范圍，有效縮小了a的討論范圍.

下面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了假二次不等式的整數(shù)解問(wèn)題.現(xiàn)將問(wèn)題弱化成不等式有解：

①當(dāng)-1

因?yàn)閍>1，所以2a-2

又已知0

回顧本題解題過(guò)程，解題的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)圖像求出恰有三個(gè)整數(shù)解的一個(gè)必要條件a>1，在這個(gè)必要條件下得出原不等式的解集是一個(gè)開(kāi)區(qū)間，再在這個(gè)必要條件下，求出區(qū)間右端點(diǎn)只能在某一個(gè)小區(qū)間內(nèi)活動(dòng)，從而由已知可以確定這個(gè)區(qū)間的三個(gè)整數(shù)，進(jìn)而得出這個(gè)區(qū)間左端點(diǎn)的活動(dòng)區(qū)范圍，列出不等式，求出參數(shù)范圍.充分體現(xiàn)了必要條件的解題功能.

解題過(guò)程中如能合理利用題中的必要條件，首先縮小題設(shè)參數(shù)范圍，再在該范圍下討論，可以極大減少分類討論情況，降低解題難度.如下例,2008年江蘇卷填空第14題：

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x+1(x∈R)，若對(duì)于任意x∈[-1,1]，都有f(x)≥0成立，則實(shí)數(shù)a的值為 .

命題者將此題放在填空的最后一道題，作為把關(guān)題.乍一看，這類問(wèn)題很容易想到求f(x)=ax3-3x+1,x∈[-1,1]的最小值；或者利用參數(shù)分離法，注意到x∈[-1,1]，必須分類討論，求參數(shù)分離后的函數(shù)的值域或最值.無(wú)論哪種方法，都會(huì)消耗學(xué)生太多時(shí)間與精力.如能從另外一個(gè)角度考慮，先嘗試求它的必要條件，再進(jìn)行下一步研究：

顯然，必要條件的利用得到了意想不到的簡(jiǎn)化作用.

2.利用結(jié)論成立的充分條件優(yōu)化解題過(guò)程

例3 設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

(1)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

本題第一問(wèn)是常規(guī)的單調(diào)性計(jì)算，通過(guò)求導(dǎo)可得f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

第二問(wèn)常見(jiàn)方法有兩種：一是分類討論的方法，可能會(huì)出現(xiàn)不知如何分類，或者分類太多，不容易找到分類標(biāo)準(zhǔn)；二是分離參數(shù)法，只需求出參數(shù)分離后的函數(shù)的最值或值域即可.但是，參數(shù)分離后的函數(shù)的值域或最值求解時(shí)可能比較困難，需要對(duì)函數(shù)多次求導(dǎo)或借助高等數(shù)學(xué)中的洛比達(dá)法則，這也明顯超出了中學(xué)數(shù)學(xué)的范圍.這種情況如果我們可以有意識(shí)合理的使用題目的充分條件優(yōu)化解題過(guò)程，可以極大降低題目解答的復(fù)雜性.

分析本題，依題當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0，即f(x)=ex-1-x-ax≥0，而f(0)=0.即f(x)≥f(0).如果可以證得f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，即f′(x)=ex-1-2ax≥0，則結(jié)論成立.

本題是可以直接對(duì)a進(jìn)行分類討論求解不等式恒成立問(wèn)題的，但是上述解法先探求結(jié)論成立的充分條件，再證明其必要性.這種方法操作性很強(qiáng)，不失為處理該題的一種妙法.

前蘇聯(lián)大教育家贊可夫強(qiáng)調(diào)知識(shí)間的聯(lián)系，他認(rèn)為，“聯(lián)系的確立，并不是因?yàn)椴牧系母鱾€(gè)片段的學(xué)習(xí)在時(shí)間上相近，而是因?yàn)椴牧系母鞑糠种g每一種關(guān)系本身在學(xué)生知識(shí)體系的形成過(guò)程標(biāo)志著前進(jìn)的運(yùn)動(dòng)”.邏輯從內(nèi)容上看似乎很獨(dú)立，在高考中看似也只體現(xiàn)在一個(gè)填空題或是第15題中一部分，但是它是一種辯證的思維方法，是各部分知識(shí)的紐帶.

反觀上述幾例，充要條件作為邏輯思維方法，在解題中形成策略，其解題策略在數(shù)學(xué)中廣泛應(yīng)用.如在例1中，先討論不等式有解，再討論有有限個(gè)整數(shù)解；例3中先求出其充分條件，即使函數(shù)在定義域上單調(diào)時(shí)a的范圍，再證明其必要性，避免了含參討論.另外，在函數(shù)一章中，對(duì)于含參不等式恒成立，求參數(shù)取值范圍一類問(wèn)題時(shí)，也可利用特殊值法先求出其充分條件，局限范圍后再討論.

因此，在平時(shí)教學(xué)中，應(yīng)該重視充要條件在解題導(dǎo)向性中的應(yīng)用，特別是在高三專題復(fù)習(xí)時(shí)尤其注意其作為解題策略的重要性，指導(dǎo)學(xué)生合理利用題目充要條件突破難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生辯證思維的能力.