高考背景下的交匯試題研究

【摘 要】隨著課改的深入，知識與能力并重的考察目標催生了試題的交匯，基礎知識、思想方法、基本能力等方面的融合成為試題命制的重要方式，并逐漸成為一種趨勢。加強對試題中各種類型交匯的研究，挖掘其特點和內在聯系，能夠檢測學生個體思維的廣度和深度，有效提高學生的數學素養。

【關鍵詞】高考背景；交匯試題；研究

交匯試題由來已久。《普通高等學校招生全國統一考試大綱（數學）》中曾明確指出，命題者在知識網路交匯點處設計相應的試題，必須要促使對學生所展開數學基礎知識的考查，具有一定的深入性。隨之課改的深入，基礎知識與技能的整合，過程和方法的滲透逐漸成為命題的一種趨勢，并呈現出多樣化的形式，交匯的內容不再局限于知識模塊之間，技能、方法等綜合能力的考察也備受關注。

一、知識模塊的交匯

1.以函數與導數為主的交匯

“函數”是歷年高考熱點，分值占有較大比重。與傳統的知識相結合，無論在難度，還是深度上都具有很強的交匯能力，將其同"導數"相關知識結合在一起，更是備受命題教師的青睞，關鍵原因還是拓寬了高考對函數，不等式問題的考查范圍。

例1（2015湖南）已知a>0，函數f（x）=sinx（x∈[0，+∞）），記為f（x）的從小到大的第n（n∈N*） 個極值點，證明（1）數列{f（xn）}是等比數列（2）若，則對一切n∈N*，xn<|f（xn）|恒成立。

評析：因為三角和數列的特殊性，從函數的角度出發都可以與導數產生碰撞的火花，架起了數列與函數相通的橋梁。

2.以立體幾何為主的交匯

近年來，用“空間向量法”替代立體幾何以往的解題手段成為一種捷徑，成為命題者青睞的“交匯”平臺。同時也要關注平面幾何在立體幾何中的應用。

例2（2017課標1理）如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O，D、E、F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱錐，當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位： cm3）的最大值為 。

評析：對于三棱錐最值問題，肯定需要用到函數的思想進行解決，本題解決的關鍵是設好未知量，在立體幾何的“平展與翻折”中，利用“降維”思想，通過平面幾何在立體幾何中的應用，把握圖形特征表示出三棱錐體積，從而達到對立體幾何知識點進行考查的目的。當變量是高次時需要用到求導得方式進行解決。

3.以解析幾何為主的交匯

除了立體幾何，解析幾何內容之間的“交匯”形式同樣豐富。

例3（2017課標Ⅱ理）設O為坐標原點，動點M在橢圓上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.（1）求點P的軌跡方程；（2）設點Q在直線x=-3上，且.證明：過點P且垂直于OQ的直線1過C的左焦點F。

評析：這一類題型主要是考查學生綜合運用向量工具去解決和幾何知識有關的代數問題的一種能力，通俗而言，就是用“數”去研究幾何問題。其中，向量只是作為解題的重要工具，即融數、形于一體，最終實現轉化的目的。把向量點綴于解析幾何問題之中，這也是近幾年高考數學中的一個熱點問題。

4.以概率為主的交匯

實際上，與概率交匯的綜合性問題是非常好的學習素材，它對提高學生的數學能力和素養都有重要的意義，與此同時，還能為學生為今后高等數學知識的學習打下堅實的基礎。 尤其是幾何概型的考察，與其他知識模塊的交匯形式靈活多樣，成為高考試題中的一個重要交匯點。

例4（2016年山東）在[-1，1]上隨機的取一個數k，則事件“直線y=kx與圓（x-5）2+y=9相交”發生的概率為_____

評析：本題結合區間取值，直線與圓的位置關系，設置了概率與解析幾何之間的交匯命題。利用解析幾何的“坐標化”核心方法，以及幾何概型的“幾何”因素，就能夠將區間問題“幾何”化。總之，題干雖然比較短，但是內容卻是相當的精煉。

5.以三角函數為主體的交匯

“三角函數”是常見的交匯主體之一。近年來，高考中的三角函數交匯點逐漸拋開了三角形載體，呈現交匯形式多樣化。

例5（2015廣東）在平面直角坐標系xoy中，已知向量，，.（1）若，求tanx的值；（2）若 與的夾角為，求x的值。

評析：平面向量之所以能與三角函數常交匯，關鍵還在于它們之間存在一個共性因素，即“角”，從而才促使三角問題得以充實，加強，本題經典常規。

6.以數列為主體的交匯

“數列”是初等數學與高等數學的橋梁。其變幻多樣的“散”、“聚”形式，常常同中學數學的其它內容形成交叉以及滲透的關系。除此之外，其交匯的問題也是尤其新穎和別致，有時還會令人賞心悅目。

例10（2016年浙江），點列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且，，，，n∈N*，（P≠Q表示點P與Q不重合），若， 的面積，則（ ）

A.{ Sn}是等差數列 B.{Sn2}是等差數列

C.{dn}是等差數列 D.{dn2}是等差數列。

評析：本題在問題的轉化中，凸顯本質，“列”是數列的基本特征，重點考查等差數列的定義，又因“點”在銳角邊上，對三角形面積公式及直角三角形邊角關系等的考查同時也涉及。

二、數學思想方法之間的交匯

《課標》中明確指出，高中數學的學習目的除了掌握知識之外，還要學習數學思想方法的滲透，提高綜合應用能力。

例6（2015天津）已知函數，函數g（x）=b-f（2-x），其中b∈R，若函數y=f（x）-g（x）恰有4個零點，則b的取值范圍是（ ）

評議：本題是涉及函數的零點個數問題，必然考查了函數與方程的思想方法，利用等價轉換，由“數”想“圖”，借“圖”解題，考查學生的運算能力、動手作圖能力以及觀察能力，是提高題。

三、數學基本能力之間的交匯

數學基本能力是數學思維的一種體現，綜合能力交匯的考察常隱含眾多高考經典試題中。

例7（2015湖北理）已知符號函數，f（x）是R上的增函數，g（x）=f（x）-f（ax）（a>1） ，則（ ）

A.sgn[g（x）]=sgnx B.sgn[g（x）]= -sgnx

C.sgn[g（x）]=sgn[fx] D.sgn[g（x）]= -sgn[fx]

評析：新定義問題重點考查學生的邏輯推理能力和創新意識。

四、總結與展望

交匯試題運用多種不同的方式融合了高中數學的知識、能力和方法，強調綜合性，深入數學學科的內在本質，是鍛煉學生基本能力的有效手段。而通過反復的訓練，學習，學生不僅能夠提升自己的知識遷移能力，而且還能有效提升核心素養。它有力地詮釋課標課程新理念，是今后試題命制和解題研究必將仍然堅持的高考視角。因此，在高考復習過程中，尤其要注重：知識、能力和方法三者之間的內在聯系，與此同時，重視在交匯處的素材挖掘，加強對學生各種類型交匯試題的訓練，才更利于增強他們在新高考環境下的適應能力。

參考文獻：

[1]莊靜云.基于交匯的數學試題研究[D].福建師范大學，2012（10）.

[2]李紹波，覃羅江.高考中函數問題新交匯的探討[J].科教文匯（上旬刊），2009（11）.

作者簡介：

林秀麗（1973.06～），女，福建省寧德人，漳州師院數學專業，本科生。