條件極值的求解及其應(yīng)用

陳飛翔

【摘 要】本文主要討論了多元極值的求解方法及其應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】駐點(diǎn)；極值；條件極值

函數(shù)極值是有關(guān)函數(shù)的一個(gè)重要的研究課題，它對(duì)于掌握函數(shù)有著重要的作用。求條件極值是高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到的一種問(wèn)題，拉格朗日乘數(shù)法是一種較為普遍、簡(jiǎn)單的方法。本課題主要探討求函數(shù)極值的方法，有關(guān)函數(shù)極值在不同情況下的求值問(wèn)題，特別是當(dāng)函數(shù)是一元、二元或者多元時(shí)的極值求解條件，并討論了多元函數(shù)條件極值的幾種解法，以及條件極值在生活中的應(yīng)用。

一、基本概念

定義1[1]、求函數(shù)在滿足函數(shù)方程組（限制條件）

二、條件極值的求解

求解步驟：（1）由拉格朗日乘數(shù)法，做輔助函數(shù)，

（2）求的穩(wěn)定點(diǎn)，即求方程組（n+m個(gè)方程）：

（3）由問(wèn)題的實(shí)際意義，如果函數(shù)存在條件極值，通常方程組又只有唯一一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，則該點(diǎn)必為所求的極值點(diǎn)。

例1、求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面

三、條件極值的應(yīng)用

1.利用條件極值證明不等式

例2、證明不等式其中，

證明：設(shè)函數(shù)再求條件下的最小值

2.利用條件極值求最值

例3、將長(zhǎng)度為l的鐵絲分為三段，用此三段分別做成圓，正方形，等邊三角形，問(wèn)如何分法，才能使這三個(gè)圖形的面積之和最小。

解；法一：取x，y，z，分別表示圓之半徑，正方形的邊長(zhǎng)，等邊三角形的邊長(zhǎng)，于是總面積（目標(biāo)函數(shù)） （1）

從而按上述比例分割鐵絲，所圍的面積極小，也是最小。

無(wú)論在理論上還是在實(shí)踐中，函數(shù)的極值和最值具有廣泛的應(yīng)用，極值和最值是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分之一，研究求函數(shù)的極值和最值的方法具有重要意義和現(xiàn)實(shí)必要性。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉玉璉，傅沛仁等.數(shù)學(xué)分析講義（第四版）上冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，2003