矩陣對角化的應用

陳飛翔

【摘 要】本文通過實例說明矩陣對角化方法在矩陣研究中的作用。

【關鍵詞】對角化；實對稱矩陣

矩陣是高等代數中的一個重要的基本概念，是代數學的一個主要研究對象。對角矩陣是最簡單的一類矩陣，研究起來非常方便。通過相似這種等價關系，對角矩陣相當于對一類矩陣在相似意義下給出的一種簡單的等價形式，這對理論分析是方便的。相似的矩陣擁有很多相同的性質，比如特征多項式，特征根，行列式等。本文主要研究矩陣對角化的幾個簡單應用。

1幾個基本概念和基本定理

定義1[1]、設A是一個n階方陣，如果存在一個可逆矩陣P，使得P-1AP為對角矩陣，那么就說矩陣A可以對角化。

定理1[1]、 n階方陣A可對角化的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量。

定理2[1]、 n階實對稱矩陣一定可以對角化。

2矩陣對角化的應用

例1、設n階實對稱矩陣A2=A且A的秩為r，試求行列式|2E-A|的值.

解：設Ax=λx，x≠0，是對應特征值λ的特征向量，因為A2=A，則λx=Ax=A2x=λ2x，從而有（λ2-λ）x=0，因為x≠0，所以λ（λ-1）x=0，即λ=1或0，又因為A是實對稱矩陣，所以A相似于對角矩陣，A的秩為r，故存在可逆矩陣P，使，其中Er是r階單位陣，從而

例2、設3階實對稱矩陣A的特征值為λ1=-1，λ2=λ3=1。對應于λ1的特征向量 為P1=（0，1，1）T，求矩陣A.

解：因為A是實對稱矩陣，所以A可以對角化，即A有三個線性無關的特征向量。設對應于λ2=λ3=1的特征向量為P=（x1，x2，x3）T，它應與特征向量P1正交，即，該齊次方程組的基礎解系為，它們即是對應于λ2=λ3=1的特征向量。

例3、下述矩陣是否相似， 。

解：矩陣A1，A2，A3的特征值都是λ1=2 （二重），λ2=3，其中A1已是對角陣，所以只需判斷A2，A3是否可對角化，先考查A2，對于特征值λ1=2，解齊次線性方程組（2E-A2）x=0得其基礎解系為，由于λ1=2是A2的二重特征值，卻只對應于一個特征向量，故A2不可對角化或者說A2與A1不相似。

再考查A3，對于特征值λ1=2，解齊次線性方程組（2E-A3）x=0，得基礎解系，對于特征值λ2=3解齊次線性方程組，得基礎解系，由于A3有三個線性無關的特征向量，所以A3可對角化，即A3與A1相似。

參考文獻：

[1] 同濟大學應用數學系編.線性代數[M]. 北京：高等教育出版社，2007年1月.endprint